Диаграммная техника Фейнмана в осреднении уравнений движения упругого композита со случайными неоднородностями

Исследуется нелинейная динамика случайно-неоднородной упругой среды. Под случайно-неоднородными средами мы понимаем композиционные материалы, гранулированные материалы, пористые горные породы с хаотическим расположением компонент. Для описания такой среды необходимо перейти от эйлеровых координат к лагранжевым координатам. В качестве тензора напряжений в этом случае выступает лагранжев тензор (тензор Пиолы–Кирхгофа). Он несимметричен и определяется производной от энергии системы не по симметричному тензору деформации, а по дилатации, т. е. по градиенту вектора смещений. Нами использован наиболее простой, на наш взгляд, подход к лагранжеву описанию, разработанный в модели Ландау–Лифшица.
В данной работе подход Ландау–Лифшица обобщается на нелинейную случайно-неоднородную упругую среду. Соответственно, уравнения движения содержат случайные зависящие от координат коэффициенты. В работе рассмотрено влияние начальных напряжений и конечных деформаций на колебания среды в окрестности областей с большими начальными напряжениями. Получены уравнения распространения волн в окрестности напряженной области. Эти уравнения вследствие случайной неоднородности среды описывают не только распространение волн, но содержат и все многократные отражения волн от неоднородностей.
Для усреднения в работе используется диаграммная техника Фейнмана. Эта техника позволяет получить точное уравнение для усредненного упругого поля, описывающего когерентное распространение волн с учетом многократного рассеяния. Это уравнение является интегро-дифференциальным. Его ядро (корреляционный оператор) содержит вклад от корреляционных функций случайных неоднородностей всех порядков. Этот оператор непосредственно определяет скорости продольной и поперечных волн в случайно-неоднородной упругой среде. Эти скорости зависят от начальных напряжений и наш подход позволяет приближенно вычислить эту зависимость. В обратном случае, экспериментально измеряемые скорости звука в окрестности напряжений, близких к критическим для разрушения вещества, позволяют определить состояние напряженной среды и ее эффективные параметры. В данной работе обратная задача не рассматривается, мы ограничимся только выводом основных уравнений, позволяющих поставить эту обратную задачу.