Замечание к одной теореме Суноути

Показано, что для отрицательных $\alpha$ становится неверной данная Суноути оценка величины
\begin{gather*} H_n(f,\alpha,\beta,x)=\frac1{A^\beta_n}\sum_{k=0}^nA_{n-k}^{\beta-1}|f(x)-\sigma_k^\alpha(f,x)|,\\ \alpha>-\frac12,\quad\beta>\frac12, \end{gather*}
где $\sigma_k^\alpha(f,x)$ — $(C,\alpha)$-средние ряда Фурье функции $f(x)\in\mathrm{Lip}\,\gamma$, $0<\gamma<1$. Дается оценка величины $H_n(f,\alpha,\beta,x)$ при всех $\alpha>-1$, $\beta>-1$, которая при $\alpha+\beta>0$, $\alpha\geqslant0$, $\beta\geqslant0$, совпадает с оценкой Суноути. Доказательство проведено методом, отличным от метода Суноути. Библ. 5 назв.