Аннотация:
В статье доказывается следующее утверждение.
Теорема.
{\it Если ограниченное целочисленное множество $U\subset\mathbb R^m_+=\{(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb R^m:x_j>0, 1\le j\le m\}$ таково{,} что вместе
с любой точкой $(k_1,\dots,k_m)\in U$ содержит и прямоугольник $\{1\le n_j\le k_j, 1\le j\le m\}${,} то
$$
\biggl\|\sum_{(k_1,\dots,k_m)\in U}\exp\biggl(i\sum_{j=1}^mk_jx_j\biggr)\biggr\|_L\le 2\pi m!\,|U|^{(m_1)(2m)^{-1}}(\ln|U|+!),
$$
где $|U|$ – число точек множества $U${.}}
Этот результат прилагается к изучению сходимости одного класса кратных тригонометрических рядов. Библиогр. 8 назв.
М. И. Дьяченко, “Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах $L_p$”, Матем. сб., 184:3 (1993), 3–20; M. I. Dyachenko, “Norms of Dirichlet kernels and some other trigonometric polynomials in $L_p$-spaces”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 78:2 (1994), 267–282
М. И. Дьяченко, “Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов”, УМН, 47:5(287) (1992), 97–162; M. I. Dyachenko, “Some problems in the theory of multiple trigonometric series”, Russian Math. Surveys, 47:5 (1992), 103–171
М. И. Дьяченко, “Кусочно монотонные функции многих переменных и теорема Харди–Литтлвуда”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:6 (1991), 1156–1170; M. I. Dyachenko, “Piecewise monotonic functions of several variables and a theorem of Hardy and Littlewood”, Math. USSR-Izv., 39:3 (1992), 1113–1128