| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О рациональных сплайн-решениях дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах производных В. Г. Магомедоваa  , А.-Р. К. Рамазановab a Дагестанский государственный университет, г. Махачкала b Дагестанский научный центр РАН, г. Махачкала
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010061 
Реферативные базы данных:
  ВведениеРассматриваются вопросы приближенного решения в виде рациональных сплайн-функций дифференциальных уравнений вида где $a_0(x)=(x-a)^2(b-x)^2$, $a_1(x)=(x-a)(b-x)p(x)$, функция $p(x)$ непрерывна и ограничена на $(a,b)$, функции $q(x)$ и $f(x)$ непрерывны на $(a,b)$.Понятно, что выбор функций $p(x)$, $q(x)$ и $f(x)$ в (0.1) дает различные широко используемые в математической физике и других областях дифференциальные уравнения, в частности, уравнение Римана [1]–[3]. Такие уравнения глубоко исследованы, для различных ограничений на коэффициенты разработаны методы решения при помощи степенных рядов и их обобщений. Известны также приближенные решения частных видов уравнения (0.1) с различными ограничениями на их коэффициенты, на функциональный класс допустимого решения $y(x)$, а также на краевые условия (см., например, [4]–[10]). В данной работе допускаем, что уравнение (0.1) имеет единственное решение $y=y(x)$ из класса $C^2(a,b)$, имеющее конечные пределы Приближенное решение задачи (0.1), (0.2) строится с помощью дважды непрерывно дифференцируемой рациональной сплайн-функции специального вида, которая однозначно определяется сеткой попарно различных узлов на отрезке $[a,b]$ и соответствующими этим узлам конечными дискретными значениями. Для упрощения конструкций возьмем равномерную сетку узлов $\Delta_h\colon x_i=a+ih$, $i=0,1,\dots,N$; $h=(b-a)/N$, $N\geqslant 3$. По тройкам узлов $x_{i-1}$, $x_i$, $x_{i+1}$, $i=1,2,\dots,N-1$, построим [11] рациональные интерполянты
$$
\begin{equation}
R_i(x,y)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i\frac{1}{x-g_i}
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
с условиями $R_i(x_j,y)=y(x_j)$ при $j=i-1,i,i+1$, а полюсы $g=\{g_1,g_2,\dots,g_{N-1}\}$ для произвольного $\lambda>0$ определяются равенством $g_i=x_{i+1}+\lambda h$, $i=1,2,\dots,N-1$. Положим также $R_0(x,y)\equiv R_1(x,y)$, $R_N(x,y)\equiv R_{N-1}(x,y)$. Тогда на отрезке $[a,b]$ можем определить [12] дважды непрерывно дифференцируемую рациональную сплайн-функцию $R_{N,2}(x,y)=R_{N,2}(x,y,\Delta_h,g)$ такую, что при $x\in[x_{i-1},x_i]$, $i=1,2,\dots,N$, выполняется равенство где $A_i(x)=(x-x_{i-1})^2/((x-x_{i-1})^2+(x-x_i)^2)$, $B_i(x)=1-A_i(x)$.Чтобы выяснить возможность приближенного решения дифференциальной задачи (0.1), (0.2) с помощью рациональных сплайн-функций вида (0.4), важно знать поведение при $h\to 0$ следующей определенной на интервале $(a,b)$ функции-невязки:
$$
\begin{equation}
G(x,\Delta_h)=a_0(x)R_{N,2}''(x,y)+a_1(x)R_{N,2}'(x,y)+ q(x)R_{N,2}(x,y)-f(x).
\end{equation}
\tag{0.5}
$$
Как показано в [12], при $r=0,1,2$ для сплайн-функций (0.4) и рациональных функций (0.3) во внутренних узлах сетки $\Delta_h$ выполняются равенства
$$
\begin{equation}
R_{N,2}^{(r)}(x_i,y)=R_i^{(r)}(x_i,y),\qquad i=1,2,\dots,N-1.
\end{equation}
\tag{0.6}
$$
Тогда с учетом интерполяционных условий $R_i(x_i,y)=y(x_i)$ из равенств (0.5), (0.6) и уравнения (0.1) получим при каждом $i=1,2,\dots,N-1$ равенство
$$
\begin{equation}
G(x_i,\Delta_h)=a_0(x_i)\bigl[R_i''(x_i,y)-y''(x_i)\bigr]+ a_1(x_i)\bigl[R_i'(x_i,y)-y'(x_i)\bigr].
\end{equation}
\tag{0.7}
$$
Выясним необходимые условия стремления к нулю невязки $G(x_i,\Delta_h)$ для крайних двух узлов $x_1$ и $x_{N-1}$. Для этого воспользуемся выражениями для коэффициентов рациональных функций $R_i(x,y)$ из (0.3) через разделенные разности
$$
\begin{equation*}
y(x_{i-1}, x_{i+1})= \frac{y(x_{i+1})-y(x_{i-1})}{x_{i+1}-x_{i-1}}\,,\qquad y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})= \frac{y(x_i,x_{i+1})-y(x_{i-1},x_i)}{x_{i+1}-x_{i-1}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При $i=1,2,\dots,N-1$ имеем [13]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_i&=y(x_i)-y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})(x_{i-1}-g_i)(x_{i+1}-g_i), \\ \beta_i&=y(x_{i-1},x_{i+1})+y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})(x_i-g_i), \\ \gamma_i&=y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})(x_{i-1}-g_i)(x_i-g_i)(x_{i+1}-g_i). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{0.8}
$$
Отсюда и из (0.7), используя выражения производных от $R_i(x,y)$ и переходя от разделенных разностей к конечным разностям с учетом значений узлов и равенства
$$
\begin{equation*}
y(x_2)-y(x_0)=2\bigl(y(x_2)-y(x_1)\bigr)-\bigl(y(x_2)-2y(x_1)+y(x_0)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber G(x_1,\Delta_h)&=A\cdot \bigl(y(x_2)-2y(x_1)+y(x_0)\bigr)+ p(x_1)(b-x_1)\bigl(y(x_2)-y(x_1)\bigr) \\ &\qquad-p(x_1)(b-x_1)h y'(x_1)-(b-x_1)^2 h^2 y''(x_1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{0.9}
$$
где обозначена ограниченная при $\lambda >0$ величина
$$
\begin{equation*}
A=\frac{(\lambda+2)\lambda}{(\lambda+1)^2}(b-x_1)^2- \frac{\lambda+2}{2(\lambda+1)}(b-x_1)p(x_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать решение $y(x)$ продолженным по непрерывности на весь отрезок $[a,b]$. Тогда в силу равномерной непрерывности $y(x)$ на отрезке $[a,b]$ при $h\to 0$ конечные разности $\Delta^1_h(y,x_1)=y(x_2)-y(x_1)$ и $\Delta^2_h(y,x_0)=y(x_2)-2y(x_1)+y(x_0)$ стремятся к нулю. Поэтому для стремления к нулю $G(x_1,\Delta_h)$ при $h\to 0$ необходимо выполнение условия
$$
\begin{equation*}
p(a+h) h y'(a+h)+(b-a) h^2 y''(a+h)\to 0,\qquad h\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Вполне аналогично для стремления к нулю $G(x_{N-1},\Delta_h)$ при $h\to 0$ необходимо выполнение условия
$$
\begin{equation*}
p(b-h)h y'(b-h)+(b-a)h^2 y''(b-h)\to 0,\qquad h\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В данной работе вместо указанных необходимых условий стремления к нулю невязки $G(x_i,\Delta_h)$ для крайних двух узлов $x_1$ и $x_{N-1}$ в виде двух сумм берем “близкие” к этим необходимым условиям более простые по форме достаточные условия. Точнее, на рост производных допустимого решения $y=y(x)$ задачи (0.1), (0.2) в окрестности граничных точек накладываются ограничения в виде следующих равенств:
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to a+0}(x-a)^m y^{(m)}(x)=0,\quad \lim_{x\to b-0}(b-x)^my^{(m)}(x)=0,\qquad m=1,2.
\end{equation}
\tag{0.10}
$$
Это позволяет, в частности, ввести для значений $m=1,2$ вспомогательные функции продолженные непрерывно на отрезок $[a,b]$ со значениями $F_m(a)=F_m(b)=0$.Оценки невязок $G(x_i,\Delta_h)$, которые показывают, что условия (0.10) достаточны для стремления невязок к нулю при $h\to 0$, получены отдельно для крайних узлов $x_1$, $x_{N-1}$ и для остальных внутренних узлов $x_i$, $2\leqslant i\leqslant N-2$. Во втором случае учитывается, что узлы отделены от особых точек $a$ и $b$ узлами $x_1$ и $x_{N-1}$ соответственно. В обоих случаях оценки получены через модули непрерывности решения $y(x)$ и функций $F_m(x)$, $m=1,2$. Модули непрерывности первого и второго порядков непрерывной на данном отрезке $[\alpha,\beta]$ функции $F(x)$ определим, как обычно, через конечные разности соответственно первого и второго порядков, а именно положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega(\delta,F)=\omega(\delta,F,[\alpha,\beta])= \sup\bigl\{|\Delta_t^1(F,x)|\colon 0\leqslant t\leqslant \delta;\ x,x+t\in[\alpha,\beta]\bigr\}, \\ \omega_2(\delta,F)=\omega_2(\delta,F,[\alpha,\beta])= \sup\bigl\{|\Delta_t^2(F,x-t)|\colon 0\leqslant t\leqslant \delta;\ x, x\pm t\in[\alpha,\beta]\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В п. 1 доказано следующее утверждение. Теорема 1. Пусть задача (0.1), (0.2) имеет решение $y=y(x)$ класса $C^2(a,b)$, удовлетворяющее условию (0.10), $\Delta_h=\{x_i=a+ih \mid i=0,1,\dots,N\}$, $h=(b-a)/N$, $N\geqslant 4$, функция-невязка $G(x,\Delta_h)$ определена равенством (0.5). Тогда для значений $i=2,3,\dots,N-2$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
|G(x_i,\Delta_h)|\leqslant \biggl(10+\frac{6|p(x_i)|}{b-a}\biggr)\omega(h,F_2,[a,b]),
\end{equation}
\tag{0.12}
$$
а для значений $i=1,N-1$ – неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |G(x_i,\Delta_h)|&\leqslant \bigl[(b-a)^2+(b-a)|p(x_i)|\bigr] \omega_2\bigl(h,y,[x_{i-1},x_{i+1}]\bigr) \\ &\qquad+3|p(x_i)|\omega\bigl(h,F_1,[x_{i-1},x_{i+1}]\bigr)+ \omega\bigl(h,F_2,[x_{i-1},x_{i+1}]\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{0.13}
$$
Так как функция $p(x)$ ограничена на $(a,b)$, из теоремы 1 при $h\to 0$ следует, что $\max\{|G(x_i,\Delta_h)|\colon i=1,2,\dots,N-1\}\to 0$. В п. 2 для численного решения задачи (0.1), (0.2) построена трехдиагональная система линейных уравнений и показано, что она для сетки узлов $\Delta_h$ имеет единственное решение $(y_0,y_1,\dots,y_N)$ для всех достаточно больших $N$, если для коэффициентов уравнения (0.1) при $x\in(a,b)$ выполняются неравенства $q(x)<0$ и $|p(x)|\leqslant \rho$ при $\rho<2(b-a)$. Для точного решения $y(x)$ задачи (0.1), (0.2) и полученного дискретного решения в п. 3 показано, что при $i=1,2,\dots,N-1$ величина $|y(x_i)-y_i|$ не превосходит $\max |G(x_i,\Delta_h)/q(x_i)|$ для $i=1,2,\dots,N-1$. Пример дифференциального уравнения соответствующего уравнению (0.1) для $p(x)=1$, $q(x)=-1$ и
$$
\begin{equation*}
f(x)=\frac{1}\pi (A-B)\biggl(\sqrt{1-x^2}- 2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,\biggr)-B,
\end{equation*}
\notag
$$
для конечных $A\ne B$ показывает, что условия, наложенные на коэффициенты уравнения (0.1) и на граничные условия (0.2) и (0.10), вообще говоря, совместимы. Заметим, что $y(x)=-f(x)$, $x\in(-1,1)$.
1. Аппроксимация дифференциальной задачи посредством рациональных сплайн-функцийПусть задача (0.1), (0.2) имеет решение $y=y(x)$ класса $C^2(a,b)$. Тогда из (0.7) и (0.8) при $i=1,2,\dots,N-1$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(x_i,\Delta_h)&=a_0(x_i)\biggl[2y(x_{i-1},x_i,x_{i+1}) \frac{(x_{i-1}-g_i)(x_{i+1}-g_i)}{(x_i-g_i)^2}-y''(x_i)\biggr] \\ &\qquad+a_1(x_i)\biggl[y(x_{i-1},x_{i+1})+y(x_{i-1},x_i,x_{i+1}) \\ &\qquad\qquad\times\frac{(x_i-g_i)^2-(x_{i-1}-g_i)(x_{i+1}-g_i)} {x_i-g_i}-y'(x_i)\biggr] \\ &=a_0(x_i)\biggl[2y(x_{i-1},x_i,x_{i+1}) \frac{(\lambda+2)\lambda}{(\lambda+1)^2}-y''(x_i)\biggr] \\ &\qquad+a_1(x_i)\biggl[y(x_{i-1},x_{i+1})-y(x_{i-1},x_i,x_{i+1}) \frac h{\lambda+1}-y'(x_i)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем параметр $\lambda=N-1$. Тогда с учетом $\lambda+1=(b-a)/h$ для невязки при аппроксимации дифференциальной задачи (0.1), (0.2) посредством рациональных сплайн-функций при $i=1,2,\dots,N-1$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber G(x_i,\Delta_h)&=A_i a_0(x_i)\bigl(2y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})-y''(x_i)\bigr) \\ &\qquad+a_1(x_i)\bigl(y(x_{i-1},x_{i+1})-y'(x_i)\bigr)+B_i a_0(x_i)y''(x_i); \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
здесь и далее для $i=1,2,\dots,N-1$ обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_i&=\frac{(\lambda+2)\lambda}{(\lambda+1)^2}- \frac{p(x_i)h^2}{2(b-a)(x_i-a)(b-x_i)}\,, \\ B_i&=-\frac{h^2}{(b-a)^2}-\frac{p(x_i)h^2}{2(b-a)(x_i-a)(b-x_i)}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходим к доказательству теоремы 1, в которой представлены оценки невязок $G(x_i,\Delta_h)$. Доказательство теоремы 1. Пусть сначала $2\leqslant i\leqslant N-2$. Как обычно, применяя интегрирование по частям, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^h (h-t)\bigl[y''(x_i+t)-y''(x_i-t)\bigr]\,dt&=\Delta_{2h}^1(y,x_i-h)- 2hy'(x_i) \\ &=2h\bigl(y(x_{i-1}, x_{i+1})-y'(x_i)\bigr), \\ \int_0^h (h-t)\bigl[y''(x_i+t)+y''(x_i-t)\bigr]\,dt&= \Delta_{h}^2(y, x_i-h)=2h^2 y(x_{i-1},x_i, x_{i+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с использованием введенных выше функций $F_m(x)=(x-a)^m(b-x)^my^{(m)}(x)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &a_0(x_i)\bigl(2y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})-y''(x_i)\bigr) \\ \nonumber &\qquad=\frac{1}{h^2}\int_0^h (h-t)a_0(x_i)\Delta_t^1(y'',x_i)\,dt+ \frac{1}{h^2}\int_0^h (h-t)a_0(x_i)\Delta_{-t}^1(y'',x_i)\,dt \\ \nonumber &\qquad=\frac{1}{h^2}\int_0^h(h-t)\bigl(F_2(x_i+t)-F_2(x_i)\bigr)\,dt- \frac{1}{h^2} \int_0^h(h-t)\Delta_t^1(a_0,x_i)y''(x_i+t)\,dt \\ \nonumber &\qquad\quad+\frac{1}{h^2}\int_0^h(h-t)\bigl(F_2(x_i-t)-F_2(x_i)\bigr)\,dt- \frac{1}{h^2} \int_0^h(h-t)\Delta_{-t}^1(a_0,x_i)y''(x_i-t)\,dt \\ &\qquad=S_1+S_2+S_3+S_4 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
(для краткости слагаемые последней суммы с сохранением порядка их следования обозначены через $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$).
Слагаемые $S_1$ и $S_3$ оценваются одинаково, причем
$$
\begin{equation}
|S_1|+|S_3|\leqslant \frac 2{h^2}\int_0^h (h-t) \omega\bigl(t,F_2,[x_{i-1},x_{i+1}]\bigr)\,dt\leqslant \omega\bigl(h,F_2,[x_{i-1},x_{i+1}]\bigr).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Далее будем придерживаться обозначений $c=(a+b)/2$ и $\varphi(t)=(x_i+t-a)(b-x_i-t)$ для данного $i=2,3,\dots,N-2$. Для оценки $S_2$ заметим, что из $a_0(x)=(x-a)^2(b-x)^2$ имеем Тогда для $t\in(0,h]$ найдется точка $t_1\in(0,t)$ такая, что При этом $|c-x_i-t_1|\leqslant (b-a)/2$ и выполняется равенствоРассмотрим три возможных случая: 1) $c\leqslant x_i$; 2) $c\in (x_i, x_{i+1})$, т.е. $c=(x_i+x_{i+1})/2$; 3) $x_{i+1}\leqslant c$. В случае $c\leqslant x_i$ имеем $\varphi(t_1)<\varphi(t)+(b-a)h$. В случае $c=(x_i+x_{i+1})/2$ получим $\varphi(t_1)\leqslant \varphi(t)+2(t-t_1)|x_i+t-c|<\varphi(t)+(b-a)h$. Наконец, в случае $x_{i+1}\leqslant c$ в силу возрастания функции $(x-a)(b-x)$ на отрезке $[a,c]$ выполняется неравенство $\varphi(t_1)<\varphi(t)$. Значит, при $i=2,3,\dots,N-2$ и $t\in[0,h]$ имеем
$$
\begin{equation}
|\Delta_t^1(a_0,x_i)|\leqslant 2(b-a)t\varphi(t)+2(b-a)^2ht.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Заметим также, что для оценки слагаемого $S_4$ для $i=2,3,\dots,N-2$ и $t\in[0,h]$ вполне аналогично получаем неравенство
$$
\begin{equation}
|\Delta_{-t}^1(a_0,x_i)|\leqslant 2(b-a)t\varphi(-t)+2(b-a)^2 ht,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где, как и в неравенстве (1.4), $\varphi(t)=(x_i+t-a)(b-x_i-t)$.
Используя неравенство (1.4), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_2|&=\frac{1}{h^2}\biggl|\int_0^h(h-t) \Delta_h^1(a_0,x_i)y''(x_i+t)\,dt\biggr| \\ &\leqslant \frac{2(b-a)}{h^2}\int_0^h \frac{(h-t)t}{\varphi(t)}|F_2(x_i+t)|\,dt +\frac{2(b-a)^2}h\int_0^h \frac{(h-t)t}{\varphi^2(t)}|F_2(x_i+t)|\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если для данного $i=2,3,\dots,N-2$ и $t\in[0,h]$ выполняется неравенство $x_i+t\geqslant c$, то имеем $\varphi(t)\geqslant (c-a)(b-x_{i+1})=(1/2)(b-a)(N-i-1)h$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_2|&\leqslant \biggl[\frac{4}{(N-i-1)h^3}+ \frac{8}{(N-i-1)^2h^3}\biggr]\int_0^h(h-t)t|F_2(x_i+t)-F_2(b)|\,dt \\ &\leqslant \biggl[\frac{2}{3(N-i-1)}+\frac 4{3(N-i-1)^2}\biggr] \omega(b-x_i,F_2,[c,b]) \\ &\leqslant \biggl[\frac{2(N-i)}{3(N-i-1)}+ \frac{4(N-i)}{3(N-i-1)^2}\biggr]\omega(h,F_2,[c,b]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В последнем неравенстве учтено, что
$$
\begin{equation*}
\omega(b-x_i,F_2,[c,b])=\omega\bigl((N-i)h,F_2,[c,b]\bigr)\leqslant (N-i)\omega(h,F_2,[c,b]).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $i\leqslant N-2$ и $[c,b]\subset [a,b]$, получим $|S_2|\leqslant 4\omega(h,F_2,[a,b]).$
Пусть теперь для данного $i=2,3,\dots,N-2$ и $t\in[0,h]$ выполняется неравенство $x_i+t<c$. Тогда $\varphi(t)\geqslant (x_i-a)(b-c)=(1/2)(b-a)ih$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_2|&\leqslant \biggl(\frac{4}{ih^3}+\frac{8}{i^2 h^3}\biggr) \int_0^h (h-t)t|F_2(x_i+t)-F_2(a)|\,dt \\ &\leqslant \biggl(\frac{2}{3i}+\frac{4}{3i^2}\biggr) \omega(x_{i+1}-a,F_2,[a,c]) \\ &\leqslant \biggl(\frac{2(i+1)}{3i}+\frac{4(i+1)}{3i^2}\biggr) \omega(h,F_2,[a,c])\leqslant \leqslant 2 \omega(h,F_2,[a,b]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая предыдущий случай неравенства $x_i+t\geqslant c$, получим, что для $i=2,3,\dots,N-2$ имеет место неравенство С использованием неравенства (1.5) вполне аналогично для $i=2,3,\dots,N-2$ получим неравенство Тогда из равенства (1.2) и неравенств (1.3), (1.6), (1.7) для $i=2,3,\dots,N-2$ вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
a_0(x_i)\bigl|2y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})-y''(x_i)\bigr|\leqslant 9\omega(h,F_2,[a,b]).
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Так как при $N\geqslant 4$ имеем
$$
\begin{equation*}
|A_i|\leqslant 1+\frac{|p(x_i)|}{2(b-a)}\cdot \frac{h^2}{(x_i-a)(b-x_i)}\leqslant 1+\frac{|p(x_i)|}{2(b-a)}\cdot \frac{1}{2(N-2)}\leqslant 1+ \frac{|p(x_i)|}{8(b-a)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом неравенства (1.8) для первого слагаемого правой части равенства (1.1) получим
$$
\begin{equation}
\bigl|A_i a_0(x_i)(2y(x_{i-1},x_i,x_{i+1})-y''(x_i))\bigr|\leqslant 9\biggl(1+\frac{|p(x_i)|}{8(b-a)}\biggr)\omega(h,F_2,[a,b]).
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Оценим второе слагаемое правой части равенства (1.1) при $2\leqslant i\leqslant N-2$, $N\geqslant 4$. Для этого применим приведенное выше интегральное представление разности $y(x_{i-1},x_{i+1})-y'(x_i)$, которое выразим через функцию $F_2(x)$ и интегральные слагаемые $S_2$ и $S_4$ из равенства (1.2). Тогда последовательно получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a_1(x_i)\bigl(y(x_{i-1},x_{i+1})-y'(x_i)\bigr) \\ &\qquad=\frac{p(x_i)}{2h(x_i-a)(b-x_i)} \int_0^h(h-t)a_0(x_i)\bigl(y''(x_i+t)-y''(x_i-t)\bigr)\,dt \\ &\qquad=\frac{p(x_i)}{2h(x_i-a)(b-x_i)}\int_0^h (h-t)\bigl[F_2(x_i+t)- F_2(x_i-t)-\Delta_t^1(a_0,x_i)y''(x_i+t) \\ &\qquad\qquad+\Delta_{-t}^1(a_0,x_i)y''(x_i-t)\bigr]\,dt \\ &\qquad=\frac{p(x_i)}{2h(x_i-a)(b-x_i)}\int_0^h (h-t) \Delta_{2t}^1(F_2,x_i-t)\,dt+\frac{p(x_i)h}{2(x_i-a)(b-x_i)} (S_2-S_4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из оценок (1.6) и (1.7) для $S_2$ и $S_4$ и неравенства $2(x_i-a)(b-x_i)\geqslant 2h(b-a)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\bigl|a_1(x_i)(y(x_{i-1}, x_{i+1})-y'(x_i))\bigr| \\ \nonumber &\qquad \leqslant \frac{|p(x_i)|}{2h(b-a)} \biggl[\frac{1}h\int_0^h(h-t)\omega(2t,F_2,[a,b])\,dt+ h|S_2|+h|S_4|\biggr] \\ &\qquad\leqslant\frac{9|p(x_i)|}{2(b-a)}\omega(h,F_2,[a,b]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Оценим третье слагаемое правой части равенства (1.1) при $2\leqslant i\leqslant N-2$, $N\geqslant 4$. Пусть, как и выше, $c=(a+b)/2$ и для определнности $x_i\leqslant c$ для данного $i=2,3,\dots,N-2$. Тогда с учетом $i\leqslant N/2$ и $N\geqslant 4$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |B_i a_0(x_i)y''(x_i)|&=\biggl|\frac{h^2}{(b-a)^2}+ \frac{p(x_i)h^2}{2(b-a)(x_i-a)(b-x_i)}\biggr||F_2(x_i)-F_2(a)| \\ &\leqslant \biggl(\frac{h^2}{(b-a)^2}+ \frac{|p(x_i)|h^2}{2(b-a)2h(N-2)h}\biggr)\omega(x_i-a,F_2,[a,b]) \\ &\leqslant \biggl(\frac{i}{N^2}+\frac i{4(N-2)}\cdot \frac{|p(x_i)|}{b-a}\biggr)\omega(h,F_2,[a,b]) \\ &\leqslant\biggl(\frac{1}8+\frac{|p(x_i)|}{4(b-a)}\biggr) \omega(h,F_2,[a,b]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эту оценку и неравенства (1.9) и (1.10), из равенства (1.1) для $i=2,3,\dots,N-2$ получим
$$
\begin{equation*}
|G(x_i,\Delta_h)|\leqslant \biggl(\frac{73}{8}+\frac{47}{8}\cdot \frac{|p(x_i)|}{b-a}\biggr)\omega(h,F_2,[a,b]).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает требуемая в теореме 1 для значений $i=2,3,\dots,N-2$ оценка (0.12). Переходим к доказательству неравенства (0.13) из теоремы 1 для $i=1$ и $i=N-1$, которое представляет собой оценку $G(x_i,\Delta_h)$ для крайних узлов $x_1$ и $x_{N-1}$. Для оценки величины $G(x_1,\Delta_h)$ воспользуемся равенством (0.9) с указанным там значением коэффициента $A$. При этом учтем, что найдется точка $t_1\in(x_1,x_2)$ такая, что $y(x_2)-y(x_1)=y'(t_1)h$. Тогда с использованием введенных равенством (0.11) функций $F_m(x)$, $m=1,2$, получим
$$
\begin{equation}
G(x_1,\Delta_h)=A\Delta_h^2(y,a)+ p(x_1)\frac{(x_1-a)(b-x_1)}{(t_1-a)(b-t_1)} F_1(t_1)-p(x_1)F_1(x_1)-F_2(x_1).
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Ясно, что при $\lambda>0$ имеем $|A|\leqslant(b-a)^2+(b-a)|p(a+h)|$. Для оценки коэффициента при $F_1(t_1)$ второго слагаемого правой части (1.11) заметим, что функция $(x-a)(b-x)$ является возрастающей на $[a,(a+b)/2]$. При этом точка $t_1\in(x_1,x_2)$, для $x_2=a+2h=a+2(b-a)/N$ при $N\geqslant 4$ имеем $x_2\leqslant (a+b)/2$. Поэтому выполняется неравенство $(x_1-a)(b-x_1)\leqslant (t_1-a)(b-t_1)$. Учитывая определения модулей непрерывности и значения $F_1(a)=0$, $F_2(a)=0$, из равенства (1.11) при $N\geqslant 4$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |G(x_1,\Delta_h)|&\leqslant \bigl((b-a)^2+(b-a)|p(a+h)|\bigr)\omega_2(h,y,[a,a+2h]) \\ &\qquad+|p(x_1)|\omega(t_1-a,F_1,[a,a+2h])+ |p(x_1)|\omega(h,F_1,[a,a+h]) \\ &\qquad+\omega(h,F_2,[a,a+h]) \\ &\leqslant \bigl((b-a)^2+(b-a)|p(a+h)|\bigr)\omega_2(h,y,[a,a+2h]) \\ &\qquad+3|p(a+h)|\omega(h,F_1,[a,a+2h])+\omega(h,F_2,[a,a+2h]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вполне аналогично при $N\geqslant 4$ получается неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |G(x_{N-1},\Delta_h)|&\leqslant \bigl((b-a)^2+(b-a)|p(b-h)|\bigr)\omega_2(h,y,[b-2h,b]) \\ &\qquad+3|p(b-h)|\omega(h,F_1,[b-2h,b])+\omega(h,F_2,[b-2h,b]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. 2. Построение приближенного решенияПусть уравнение (0.1) имеет единственное решение $y(x)$ из класса $C^2(a,b)$, для которого выполнены условия (0.2) и (0.10) при $m=1,2$. Возьмем произвольное натуральное $N\geqslant 3$, равномерную сетку $\Delta_h\colon a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ с $h=x_i-x_{i-1}$ и множество полюсов $g=\{g_1,g_2,\dots,g_{N-1}\}$ с $g_i=x_{i+1}+\lambda h$, где параметр $\lambda=N-1$. Через $R_{N,2}(x)$ обозначим рациональную сплайн-функцию, составленную аналогично $R_{N,2}(x,y)$ из (0.4) по сетке узлов $\Delta_h$, соответствующим этим узлам неизвестным значениям $y_0,y_1,\dots,y_N$, множеству полюсов $g$ и рациональным интерполянтам $R_i(x)$, $1\leqslant i\leqslant N-1$, вида (0.3) таким, что $R_i(x_j)=y_j$ при $j=i-1,i,i+1$, и $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1}(x)$. Значит, коэффициенты интерполянта $R_i(x)$ получаются по формулам (0.8) для $\alpha_i$, $\beta_i$, $\gamma_i$ соответственно, если в них каждое значение $y(x_j)$ заменить на соответствующее $y_j$, $j=0,1,\dots,N$. В результате рациональная сплайн-функция $R_{N,2}(x)$ выражается через неизвестные $y_0,y_1,\dots,y_N$. Для их нахождения составим следующую систему уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_{N,2}(a)=A, \qquad R_{N,2}(b)=B, \\ a_0(x_i)R''_{N,2}(x_i)+a_1(x_i)R'_{N,2}(x_i)+ q(x_i)R_{N,2}(x_i)=f(x_i),\qquad 1\leqslant i\leqslant N-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Приведем достаточные условия на коэффициенты дифференциального уравнения (0.1), при выполнении которых система уравнений однозначно разрешима относительно $y_0,y_1,\dots,y_N$. Теорема 2. Пусть $0<\rho<2(b-a)$ и для коэффициентов уравнения (0.1) выполнены условия
$$
\begin{equation}
|p(x)|\leqslant \rho,\, q(x)<0\qquad \textit{при}\ x\in (a,b).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Тогда система (2.1) имеет единственное решение $(y_0,y_1,\dots,y_N)$ для всех $N$, начиная с некоторого номера $N(\rho)$; $N(\rho)=3$ при $\rho=8(b-a)/9$. Доказательство. Как известно [12], для рациональных функций $R_{N,2}(x)$ конструкции типа (0.4) при $k=0,1,2$ выполняются равенства
Поэтому систему уравнений (2.1) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_1(a)=A, \qquad R_{N-1}(b)=B, \\ a_0(x_i)R''_i(x_i)+a_1(x_i)R'_i(x_i)+q(x_i)R_i(x_i)=f(x_i),\qquad 1\leqslant i\leqslant N-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
При этом, используя для $R_i(x)$ вид (0.3) для выражения $R_i(x,y)$, а для коэффициентов – равенства (0.8) с заменой $y(x_j)$ на соответствующее $y_j$, $j=0,1,\dots,N$, получим при $1\leqslant i\leqslant N-1$ равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_i(x_i)&=y_i, \\ R_i'(x_i)&=-\frac{\lambda+2}{2(\lambda+1)h}y_{i-1}+ \frac 1{(\lambda+1)h}y_i+\frac{\lambda}{2(\lambda+1)h}y_{i+1}, \\ R_i''(x_i)&=(y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}) \frac{\lambda(\lambda+2)}{(\lambda+1)^2h^2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из $R_1(a)=A$ и $R_{N-1}(b)=B$ соответственно получим $y_0=A$ и $y_N=B$. Учтем еще выбор параметра $\lambda=N-1$. Тогда при $1\leqslant i\leqslant N-1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_i'(x_i)&=-\frac{N+1}{2(b-a)}y_{i-1}+\frac{1}{b-a}y_i+ \frac{N-1}{2(b-a)}y_{i+1}, \\ R_i''(x_i)&=(y_{i-1}-2y_i+y_{i+1})\frac{N^2-1}{(b-a)^2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если для краткости ввести обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_i=a_0(x_i)\frac{N^2-1}{(b-a)^2}-a_1(x_i) \frac{N+1}{2(b-a)}\,, \\ v_i=a_0(x_i)\frac{N^2-1}{(b-a)^2}+a_1(x_i) \frac{N+1}{2(b-a)}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то из (2.3) при $1\leqslant i\leqslant N-1$ получим
Покажем, что в условиях теоремы 2 выполняются неравенства $u_i\geqslant 0$ и $v_i\geqslant 0$ при $1\leqslant i\leqslant N-1$. Действительно, с учетом выражений коэффициентов $a_0(x)$ и $a_1(x)$ уравнения (0.1) выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_i&=\frac{(x_i-a)(b-x_i)(N+1)}{(b-a)^2} \biggl[(x_i-a)(b-x_i)(N-1)-p(x_i)\frac{b-a}2\biggr], \\ v_i&=\frac{(x_i-a)(b-x_i)(N-1)}{(b-a)^2} \biggl[(x_i-a)(b-x_i)(N+1)+p(x_i)\frac{b-a}2\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что при $1\leqslant i\leqslant N-1$ имеем
$$
\begin{equation*}
(x_i-a)(b-x_i)\geqslant h(b-a-h)= \frac{(b-a)^2}N\biggl(1-\frac{1}N\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $u_i\geqslant 0$, если выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
(b-a)\biggl(1-\frac{1}N\biggr)^2\geqslant \frac{1}{2}p(x_i).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Аналогично, $v_i\geqslant 0$, если справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
(b-a)\biggl(1-\frac{1}{N^2}\biggr)\geqslant -\frac{1}{2} p(x_i).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В силу $(1-1/N)^2\leqslant 1-1/N^2$ оба неравенства (2.5) и (2.6) справедливы, если имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
2(b-a)\biggl(1-\frac{1}{N}\biggr)^2\geqslant |p(x_i)|.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Так как по условию теоремы имеем $|p(x)|\leqslant \rho<2(b-a)$ при всех $x\in(a,b)$, найдется номер $N(\rho)$ такой, что $\rho\leqslant 2(b-a)(1-1/N)^2$ для всех $N\geqslant N(\rho)$. Тогда для всех $N\geqslant N(\rho)$ будет выполняться и неравенство (2.7). Из неравенства (2.7) для всех $N\geqslant 3$, очевидно, получим также
$$
\begin{equation*}
2(b-a)\biggl(1-\frac{1}{N}\biggr)^2\geqslant \frac{8}{9}(b-a)\geqslant |p(x_i)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, если учесть значения $y_0=A$, $y_N=B$, то при выполнении условий (2.2) для $1\leqslant i\leqslant N-1$ равенства (2.4) приводят к трехдиагональной системе относительно $y_1,y_2,\dots,y_{N-1}$, которая имеет матрицу с диагональным преобладанием, а значит, имеет единственное решение. Теорема 2 доказана. Замечание 1. С использованием значений $y_0,y_1,\dots,y_N$ непосредственно строятся рациональные интерполянты $R_i(x)$, а по ним рациональная сплайн-функция класса $C^2(a,b)$, которая может служить дважды гладким решением краевой задачи (0.1), (0.2). 3. О сходимости приближенного решенияКак будет показано, достаточное условие сходимости приближенного решения в узлах $x_1,x_2,\dots,x_{N-1}$ сеток к точному решению задачи (0.1), (0.2) вытекает из оценок разностей $y(x_i)-y_i$ для точного решения $y(x)$ и полученного в п. 2 дискретного решения $(y_1,y_2,\dots,y_{N-1})$ через величину
$$
\begin{equation*}
G_{h,q}=\max\biggl\{\biggl|\frac{G(x_i,\Delta_h)}{q(x_i)}\biggr|\colon i=1,2,\dots,N-1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $G(x,\Delta_h)$ – функция-невязка, определяемая равенством (0.5), $q(x)$ – коэффициент уравнения (0.1). Теорема 3. Если для коэффициентов уравнения (0.1) выполнены условия (2.2), то для точного решения $y(x)$ задачи (0.1), (0.2) и решения $(y_1,y_2,\dots,y_{N-1})$ системы (2.1) при $i=1,2,\dots,N-1$ выполняется неравенство Доказательство. Действительно, рациональная сплайн-функция $R_{N,2}(x)$ для дискретных значений $y_0,y_1,\dots,y_N$, соответствующих точкам $x_0,x_1,\dots,x_N$, получается из рациональной сплайн-функции $R_{N,2}(x,y)$ для точного решения $y(x)$ и тех же точек $x_0,x_1,\dots,x_N$, если в конструкции $R_{N,2}(x,y)$ всюду значения $y(x_i)$, $0\leqslant i\leqslant N$, заменить на соответствующие значения $y_i$. При этом $y(x_0)=y(a+0)=A$, $y(x_N)=y(b-0)=B$.
Тогда из равенства (0.5) при $x=x_i$, $1\leqslant i\leqslant N-1$, по аналогии с равенствами (2.4) получим
$$
\begin{equation*}
u_i y(x_{i-1})-(u_i+v_i-q(x_i))y(x_i)+v_i y(x_{i+1})= f(x_i)+G(x_i,\Delta_h).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.4) при $i=1,2,\dots,N-1$ имеем
$$
\begin{equation}
u_i\bigl(y(x_{i-1})-y_{i-1}\bigr)-\bigl(u_i+v_i-q(x_i)\bigr)\bigl(y(x_i)-y_i\bigr)+ v_i\bigl(y(x_{i+1})-y_{i+1}\bigr)=G(x_i,\Delta_h).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
При выполнении условия (2.2), как показано в п. 2, выполняются неравенства $u_i\geqslant 0$, $v_i\geqslant 0$ для $1\leqslant i\leqslant N-1$. Поэтому, если для краткости обозначим
$$
\begin{equation*}
|y(x_k)-y_k|=\max\bigl\{|y(x_i)-y_i|\colon i=1,2,\dots,N-1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
то при $i=1,2,\dots,N-1$ из (3.2) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |G(x_k,\Delta_h)|&\geqslant \bigl(u_k+v_k-q(x_k)\bigr)|y(x_k)-y_k|- u_k|y(x_{k-1})-y_{k-1}|-v_k|y(x_{k+1})-y_{k+1}| \\ &\geqslant -q(x_k)|y(x_k)-y_k|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, при $i=1,2,\dots,N-1$ имеем
$$
\begin{equation*}
|y(x_i)-y_i|\leqslant |y(x_k)-y_k|\leqslant \frac{1}{-q(x_k)}|G(x_k,\Delta_h)|\leqslant G_{h,q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 доказана. Заметим, что если величина $G_{h,q}\to 0$ при $h\to 0$, то из (3.1) вытекает сходимость приближенного решения $(y_1,y_2,\dots,y_{N-1})$ в узлах сетки к точному решению $y(x)$ задачи (0.1), (0.2). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MagRam24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|