Spherical designs attached to extremal lattices and the modulo $p$ property of Fourier coefficients of extremal modular forms

Теорема Венкова утверждает, что каждое нетривиальное множество векторов данной длины в экстремальной четной унимодулярной решетке в $\mathbb R^n$ при $24\mid n$ является сферическим 11-дизайном. Трудный вопрос о том, имеется ли среди них какой-либо 12-дизайн, открыт. В первой части работы мы рассматриваем следующую задачу: когда все множества векторов данной длины в четной унимодулярной решетке являются 12-дизайнами? Мы показываем, что во многих случаях это не так, хотя во многих других случаях ответа пока нет. Во второй части работы изучается свойство по модулю $p$ коэффициентов Фурье экстремальных модулярных форм $f=\sum_{i\ge 0}a_iq^i$ (где $q=e^{2\pi i\tau}$) четного веса $k$. Мы хотим определить, какие из следующих трех взаимоисключающих условий выполнены для всевозможных пар, состоящих из $k$ и простого числа $p$: (1) $p\mid a_i$ для всех $i\ge 1$; (2) $p\mid a_i$ для всех $i\ge 1$ при $p\mid i$, и существует по крайней мере одно такое $j\ge 1$, что $p\nmid a_j$; (3) существует хотя бы одно $j\ge 1$, для которого $p\nmid j$ и $p\nmid a_j$. Сперва мы доказываем, что условие (1) выполнено тогда и только тогда, когда $(p-1)\mid k$. Затем мы получаем некоторые условия, гарантирующие выполнение условия (2). Наконец, мы выдвигаем гипотезу, которая, возможно, характеризует ситуации, в которых выполнено условие (2).