Numerical bifurcation analysis of mathematical models with time delays with the package DDE-BIFTOOL

Математическое моделирование с помощью дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени широко используется для анализа и предсказания в различных областях биологической науки, например, в популяционной динамике, эпидемиологии, иммунологии, физиологии, нейронных сетях. Запаздывание по времени в этих моделях учитывает зависимость текущего состояния моделируемой системы от ее поведения в прошлом. Запаздывание может участвовать в описании продолжительности определенных скрытых процессов, как, например, периоды жизненного цикла, время между инфекцией клетки и появлением новых вирусов, продолжительность инфекционного периода, иммунного периода и т.д. По причине бесконечномерной природы дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени аналитическое изучение соответствующих математических моделей может дать только ограниченные результаты. Поэтому численный анализ является основным способом достижения качественного и количественного понимания динамики моделей. Бифуркационный анализ динамической системы используется для понимания зависимости поведения решения системы и его устойчивости от изменения параметров системы. Пакет программ DDE-BIFTOOL является первым универсальным пакетом для бифуркационного анализа дифференциальных уравнений с запаздыванием. Этот пакет может быть использован для вычисления и анализа локальной устойчивости стационарных и периодических решений данной системы, для изучения зависимости этих решений от параметров системы методом продолжения по параметру. Также, с помощью этого пакета можно вычислять и продолжать по параметру несколько локальных и глобальных бифуркаций, как то: седло-узловая бифуркация и бифуркация Хопфа для стационарных решений; седло-узловая бифуркация, удвоение периода и бифуркации торов для периодических решений; гомоклинические и гетероклинические решения. В этой статье мы описываем структуру пакета DDE-BIFTOOL, используемые в пакете численные методы и иллюстрируем использование пакета для определенной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени.