Периодические и квазипериодические решения в системе трех уравнений Хатчинсона с запаздывающей вещательной связью

Изучается динамика ассоциации, состоящей из трех одинаковых колебательных элементов. Структура связи между осцилляторами предполагается вещательной, т.е. один из элементов системы односторонним образом воздействует на два других, которые, в свою очередь, взаимодействуют друг с другом. Важным свойством связи между осцилляторами является наличие в ней запаздывания по времени, что, очевидным образом, часто встречается в приложениях. Изучаемая система моделирует ситуацию из популяционной динамики, когда популяции слабо связаны между собой, например, разделены географически. При этом одна из популяций может влиять на обе оставшиеся, которые в свою очередь способны влиять друг на друга, но не влияют на первую. Каждый отдельный осциллятор представлен логистическим уравнением с запаздыванием (уравнением Хатчинсона). В работе выполнен локальный асимптотический анализ данной системы в случае близости параметров осцилляторов к значениям, при которых происходит бифуркация Андронова–Хопфа, кроме того, предполагаются малыми коэффициенты связи в системе. В этой ситуации к нашей задаче применим известный метод нормальных форм, который позволяет свести изучение динамики системы в некоторой окрестности единичного состояния равновесия к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивом интегральном многообразии. Для построенной нормальной формы найдены простейшие режимы, полученные с использованием симметрии задачи, и условия их устойчивости. С учетом полученных формул численно проанализированы фазовые перестройки, происходящие в системе. Показано, что запаздывание в цепи связи осцилляторов существенно влияет на качественное поведение решений системы.