Уравнение Курамото–Сивашинского. Локальный аттрактор, заполненный неустойчивыми периодическими решениями

Рассмотрена периодическая краевая задача для одной из первоначальных редакций широко известного в математической физике уравнения Курамото–Сивашинского. Изучены локальные бифуркации в окрестности пространственно однородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что потеря устойчивости однородными состояниями равновесия приводит к появлению двумерного локального аттрактора, все решения на котором, кроме одного пространственно неоднородного состояния, — периодические функции времени. Спектр частот данного семейства периодических решений заполняет всю числовую ось, и все они неустойчивы в смысле определения А. М. Ляпунова в метрике фазового пространства (пространства начальных условий) соответствующей начально-краевой задачи. В качестве фазового пространства был выбран естественный для данной краевой задачи вариант функционального пространства Соболева. Для периодических решений, заполняющих двумерный аттрактор, приведены асимптотические формулы. При анализе бифуркационной задачи были использованы методы анализа бесконечномерных динамических систем: метод интегральных (инвариантных) многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм Пуанкаре, а также асимптотические методы. При этом анализ бифуркаций для периодической краевой задачи был сведен к анализу структуры окрестности нулевого решения однородной краевой задачи Дирихле для рассматриваемого в работе уравнения.