| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы второй производной в пространстве В. Т. Шевалдин Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9125 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть на числовой оси $\mathbb R=(-\infty;+\infty)$ задана бесконечная в обе стороны сетка узлов $\Delta=\{x_k\}_{k\in \mathbb Z}$ вида и пусть $h_k=x_{k+1}-x_k$ – шаги этой сетки, причем $\underline{h}=\inf_k h_k$, $\overline{h}=\sup_k h_k$. В настоящей работе всюду далее полагаем, что $\underline{h}>0$ и $\overline{h}<+\infty$. Отсюда, в частности, следует, что $\lim_{k\to -\infty} x_k=-\infty$, $\lim_{k\to +\infty} x_k=+\infty$. Для функции $f$, определенной на $\mathbb R$, положим где $y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z}$ – произвольная последовательность действительных чисел. Разделенная разность порядка $n$ для функции $f$ на сетке $\Delta$ определяется рекуррентно при помощи равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [y_k]=f[x_k]=y_k,\qquad [y_{k+1},y_k]=f[x_{k+1},x_k]=\frac{[y_{k+1}]-[y_k]}{x_{k+1}-x_k}, \\ \begin{split} [y_{k+2},y_{k+1},y_k]&=f[x_{k+2},x_{k+1},x_k] =\frac{[y_{k+2},y_{k+1}]-[y_{k+1},y_k]}{x_{k+2}-x_k},\quad\dots, \\ [y_{k+n},\dots,y_k]&=f[x_{k+n},\dots,x_k] =\frac{[y_{k+n},\dots,y_{k+1}]-[y_{k+n-1},\dots,y_k]}{x_{k+n}-x_k},\qquad k\in \mathbb Z. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что если исходная сетка узлов равномерная с шагом $h>0$ (т. е. $x_m=x+mh$, $m\in \mathbb Z$), то разделенная разность $n$-го порядка с точностью до постоянного множителя совпадает с обычной конечной разностью
$$
\begin{equation*}
\Delta_h^{n}f(x)=\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m} C_n^m f(x+mh)
\end{equation*}
\notag
$$
$n$-го порядка функции $f$ с шагом $h$, а именно, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
f[x_{k+n},\dots,x_k]=\frac{1}{(n!)h^n}\Delta_h^{n}f(x_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Если исходная функция $f$ дифференцируема $n$ раз на оси $\mathbb R$, то имеют место простые формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f[x_{k+n},\dots,x_k]&=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!},\qquad \xi\in (x_k;x_{k+n}), \\ f[x_{k+n},\dots,x_k]&=\int_{D}f^{(n)}(t_0x_k+t_1x_{k+1}+\dots+t_nx_{k+n})\, dt_0\cdots dt_n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $D$ – область, удовлетворяющая следующим ограничениям:
$$
\begin{equation*}
t_0+t_1+\dots+t_n=1,\qquad t_i\geqslant 0,\qquad i=0,1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
связывающие разделенные разности и соответствующие производные (см., например, [1; гл. 1]). Более интересна другая формула (см. [2; с. 15]), в неявном виде она была впервые выписана Ж. Фаваром в 1940 г. в работе [3], а именно,
$$
\begin{equation}
f[x_{k+n},\dots,x_k]=\frac1{n!}\int_{x_k}^{x_{k+n}}M_{k,n}(t)f^{(n)}(t)\,dt,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $M_{k,n}(t)$ – нормализованный в $L$ полиномиальный сплайн степени $(n-1)$ с узлами $x_k,\dots,x_{k+n}$. Пусть $l_p=l_p(\mathbb Z)$ – пространство числовых последовательностей $Z=\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|Z\|_{l_p}=\|\{Z_k\}\|_{l_p}=\begin{cases} {\displaystyle \biggl( \sum_{k\in \mathbb Z}|Z_k|^p\biggr)^{1/p}}, &1\leqslant p<\infty, \\ {\displaystyle \sup_{k}|Z_k|}, &p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим класс последовательностей следующего вида:
$$
\begin{equation*}
Y_{p,n}=\bigl\{ y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z}\colon \| \{[y_{k+n},\dots,y_k]\}\|_{l_p}\leqslant 1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой последовательности $y\in Y_{p,n}$ введем класс функций
$$
\begin{equation*}
F_{p,n}(y)=\{ f\colon f^{(n-1)}\in \mathrm{AC},\ f^{(n)}\in L_p(\mathbb R),\ f(x_k)=y_k,\ k\in \mathbb Z\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathrm{AC}$ – класс локально абсолютно непрерывных функций и $L_p=L_p(\mathbb R)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, – класс функций с обычным определением нормы
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_p}=\|f\|_{L_p(\mathbb R)}=\begin{cases} {\displaystyle \biggl( \int_{\mathbb R}|f(t)|^p\,dt\biggr)^{1/p}}, & 1\leqslant p<\infty, \\ {\displaystyle \operatorname*{ess\,sup}_{t\in \mathbb R}|f(t)|}, &p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Задача экстремальной функциональной интерполяции заключается в точном вычислении (или в получении эффективных оценок сверху и снизу) величины
$$
\begin{equation}
A_{p,n}(\Delta)=\sup_{y\in Y_{p,n}}\inf_{f\in F_{p,n}(y)}\|f^{(n)}\|_{L_p}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Дифференциальный оператор взятия $n$-й производной и разностный оператор разделенной разности $n$-го порядка имеют одно и то же ядро – пространство алгебраических многочленов степени $(n-1)$. Легко видеть, что если $n$-я производная некоторой действительной функции $f$ ограничена сверху по модулю для всех $x\in \mathbb R$ положительной константой $M$, то абсолютная величина разделенной разности $n$-го порядка на любой сетке узлов $\Delta$ не превосходит числа $M/(n!)$. Поэтому задачу о вычислении величин $A_{p,n}(\Delta)$ можно считать обратной к отмеченному свойству разделенных разностей и более общей, чем известная задача Яненко–Стечкина–Субботина для конечных разностей. Она имеет богатую историю в случае равномерной сетки узлов (т. е. для конечных разностей), а для разделенных разностей оказалась гораздо труднее. Отметим, что случай $n=1$ является тривиальным, поскольку он сводится к локальной интерполяции ломаными. Для конечных разностей вида $\Delta_{h}^{n}f(x)$ эта задача для любой индивидуальной последовательности $y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z}$ возникла в исследованиях академика Н. Н. Яненко при построении разностных методов решения дифференциальных уравнений. После бесед с Н. Н. Яненко профессор С. Б. Стечкин в начале 60-х гг. предложил своему ученику (ныне члену-корреспонденту РАН) Ю. Н. Субботину рассмотреть данную задачу в экстремальной постановке (1.2) для равномерной сетки узлов (обозначим ее через $\overline{\Delta}$) и всего класса последовательностей $Y_{p,n}$. К тому времени оценки сверху (неточные) для величины $A_{p,n}(\overline{\Delta})$ были получены В. С. Рябеньким $(p=\infty)$ [4], [5] и С. Л. Соболевым [6]. Ю. Н. Субботин в нескольких своих работах (см. [7]–[9]) успешно справился с этой задачей, вычислив точно величину $A_{n,p}(\overline{\Delta})$ для равномерной сетки $\overline{\Delta}$ при всех $n\in \mathbb N$ и $1\leqslant p\leqslant \infty$. Важным моментом решения было то, что экстремальными функциями в данной задаче оказались полиномиальные сплайны (с правильными узлами “склейки”) и их обобщения. Работы Ю. Н. Субботина дали мощный толчок к исследованию аппроксимативных и экстремальных свойств этих кусочно-полиномиальных функций. Многочисленные обобщения и применения результатов Ю. Н. Субботина изложены в обзорной статье [10]. Близкой по постановке к задаче (1.2) является интерполяционная задача Ж. Фавара [3] (полную библиографию и некоторые обобщения см., например, в [11]). Ж. Фавар рассматривал только случай $p=\infty$ и равенства (1.1) для конечного набора чисел $k$, а именно, для $k=0,1,\dots,m-n$ ($m$ – любое фиксированное натуральное число, большее $n$) (см. [3]) и любых $(m+1)$ точек $x_0<x_1<\dots<x_m$, в которых заданы значения $y_0=f(x_0)$, $\dots$, $y_m=f(x_m)$ некоторой функции $f$. Пусть имеют место неравенства
$$
\begin{equation*}
|f[x_{k+n},\dots,x_k]|\leqslant M,\qquad k=0,1,\dots,m-n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M$ – фиксированное положительное число. При таких ограничениях Ж. Фавар рассмотрел задачу нахождения функции $f$ на интервале $(x_0;x_m)$, у которой $n$-я производная в пространстве $L_{\infty}$ является наименьшей. В свою очередь, при формулировке задачи (1.2) мы предполагаем, что равенства (1.1) выполнены для всех целых значений параметра $k$, и при $p=\infty$ все эти разделенные разности ограничены (см. определение класса $Y_{\infty,n}$), и минимизируем $n$-ю производную не локально, а на всей оси $\mathbb R$. В недавней работе С. И. Новикова и автора [12] нам удалось продвинуться в решении задачи (1.2) при $n=2$ и $p=\infty$ для произвольной сетки узлов $\Delta$ (не требуя ограничений вида $\underline{h}>0$ и $\overline{h}<+\infty$). А именно, из результатов работы [12], в частности, следует неравенство Видимо, задачу (1.2) в общей постановке (т. е. для разделенных разностей на произвольной сетке узлов) больше никто не рассматривал.Основной результат настоящей работы состоит в следующем. Теорема. Пусть $1\leqslant p\leqslant \infty$ и $\underline{h}=\inf_k h_k>0$, $\overline{h}=\sup_k h_k<+\infty$. Имеет место двойное неравенство Отметим, что Ю. Н. Субботин [7]–[9], решая задачу (1.2) для равномерной сетки узлов $\overline{\Delta}=\{kh\}_{k\in \mathbb Z}$, рассматривал только случай $h=1$. Но если в его работах сделать соответствующую замену переменных и рассмотреть равномерную сетку с произвольным шагом $h$, то в случае $n=2$ основной результат Ю. Н. Субботина (с учетом связи между конечными и разделенными разностями) может быть переформулирован следующим образом:
$$
\begin{equation}
A_{p,2}(\overline{\Delta})=\begin{cases} 2\biggl(\dfrac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}h^{1/p}, &1<p<\infty, \\ 2h, &p=1, \\ 4, &p=\infty. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Структура настоящей работы следующая. В § 2 и § 3 будут получены соответственно оценки снизу и сверху для величины $A_{p,2}(\Delta)$ при $1<p<\infty$. В § 4 рассмотрен случай $p=1$, и, наконец, в § 5 уточнена оценка сверху в неравенстве (1.3). § 2. Оценка снизу величины $A_{p,2}(\Delta)$Функцию $f\in F_{p,2}(y)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, с помощью формулы Тейлора запишем в виде
$$
\begin{equation*}
f(x)=f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)+\int_{x_k}^{x}(x-t)f''(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда легко получить (см. [12]) следующее представление разделенной разности второго порядка:
$$
\begin{equation}
[y_{k+2},y_{k+1},y_k]=\frac{1}{h_k+h_{k+1}}\biggl[ \int_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}f''(t)\,dt+ \int_{x_{k}}^{x_{k+1}}\frac{t-x_{k}}{h_{k}}f''(t)\,dt\biggr].
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Заметим, что равенство (2.1) является частным случаем равенства (1.1) при $n=2$. Пусть числа $p$ и $q$ удовлетворяют равенству (при $p=1$ полагаем $q=\infty$, а при $p=\infty$ считаем, что $q=1$). При получении оценки снизу величины $A_{p,2}$, $1\leqslant p<\infty$, будем действовать методом Ю. Н. Субботина [7]–[9]. Рассмотрим произвольную последовательность $y^*=\{ y_k^*\}_{k\in \mathbb Z}\in Y_{p,2}$, удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation}
[y_{k+2}^*,y_{k+1}^*,y_k^*]=\begin{cases} (-1)^k(2N+1)^{-1/p}, &|k|\leqslant N, \\ 0, &|k|> N, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $N$ – произвольное натуральное число, $N\geqslant 2$. Принимая во внимание (2.1) и (2.2), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(2N+1)^{1/q}=(2N+1)(2N+1)^{-1/p}=\sum_{k}(-1)^k[y_{k+2}^*,y_{k+1}^*,y_k^*] \\ &\quad =\sum_{k=-N}^N\frac{(-1)^k}{h_k+h_{k+1}}\biggl[ \int_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}f''(t)\,dt+ \int_{x_{k}}^{x_{k+1}}\frac{t-x_{k}}{h_{k}}f''(t)\,dt\biggr]=A+B, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A &=\frac{(-1)^N}{h_N+h_{N+1}}\int_{x_{N+1}}^{x_{N+2}}\frac{x_{N+2}-t}{h_{N+1}}f''(t)\,dt \\ &\qquad + \frac{(-1)^{-N}}{h_{-N}+h_{-N+1}} \int_{x_{-N}}^{x_{-N+1}}\frac{t-x_{-N}}{h_{-N}}f''(t)\,dt, \\ B&=\sum_{k=-N+1}^{N}(-1)^{k-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\varphi_k(t)f''(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Функции
$$
\begin{equation}
\varphi_k(t)=\frac{x_{k+1}-t}{h_k(h_{k-1}+h_k)}-\frac{t-x_k}{h_k(h_k+h_{k+1})},\qquad t\in [x_k;x_{k+1}],\quad k=-N+1,\dots, N,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
играют важную роль в дальнейших рассуждениях. При любом $k$ функция $\varphi_k(t)$ является линейной на отрезке $[x_k;x_{k+1}]$, причем имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\varphi_k(x_k)=\frac{1}{h_{k-1}+h_k},\qquad \varphi_k(x_{k+1})=-\frac{1}{h_{k}+h_{k+1}}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Кроме того, $\varphi_k(t_k)=0$ при
$$
\begin{equation}
t_k=\frac{x_k(h_{k-1}+h_k)+x_{k+1}(h_k+h_{k+1})}{h_{k-1}+2h_k+h_{k+1}}\in (x_k;x_{k+1}).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
При $1<p<\infty$ оценим абсолютные величины чисел $A$ и $B$ (см. (2.3)). В силу неравенства Гёльдера получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |A| &\leqslant \|f''\|_{L_p(\mathbb R)}\biggl\{ \frac{1}{h_{N+1}(h_N+h_{N+1})}\|x_{N+2}-t\|_{L_q[x_{N+1};x_{N+2}]} \\ &\qquad+\frac{1}{h_{-N}(h_{-N}+h_{-N+1})}\|t-x_{-N}\|_{L_q[x_{-N};x_{-N+1}]}\biggr\} \\ &= \frac{\|f''\|_{L_p(\mathbb R)}}{(q+1)^{1/q}}\biggl\{ \frac{h_{N+1}^{1/q}}{h_N+h_{N+1}}+\frac{h_{-N}^{1/q}}{h_{-N}+h_{-N+1}}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $1<p<\infty$, то $q>1$ и из выписанной оценки следует неравенство
$$
\begin{equation}
|A|\leqslant \dfrac{h^{1/q-1}_{N+1}+h^{1/q-1}_{-N}}{(q+1)^{1/q}}\|f''\|_{L_p(\mathbb R)} \leqslant 2\max\{1,\underline{h}^{-1/p}\}\|f''\|_{L_p(\mathbb R)},\qquad 1<p<\infty.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из (2.3) имеем
$$
\begin{equation}
|B|\leqslant \sum_{k=-N+1}^N\int_{x_k}^{x_{k+1}}|\varphi_k(t)|\cdot |f''(t)|\,dt=\overline{B}+\overline{\overline{B}},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overline{B}&=\int_{t_N}^{x_{N+1}}|\varphi_N(t)|\cdot |f''(t)|\,dt+ \int_{x_{-N+1}}^{t_{-N+1}}|\varphi_{-N+1}(t)|\cdot |f''(t)|\,dt, \\ \overline{\overline{B}}&=\int_{t_{-N+1}}^{t_{N}}\psi(t) |f''(t)|\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
\psi(t)=\begin{cases} -\varphi_k(t), & t\in [t_k;x_{k+1}], \\ \varphi_{k+1}(t), &t\in [x_{k+1};t_{k+1}], \end{cases} \qquad k=-N+1,\dots,N-1.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Из (2.5) следует, что $\varphi_{k+1}(x_{k+1})=-\varphi_{k}(x_{k+1})$, и поэтому функция $\psi(t)\geqslant 0$ является непрерывной функцией на отрезке $[t_{-N+1};t_N]$. График этой функции похож на “пилу” с вершинами в точках $x_{-N+2},\dots, x_N$ и нулями в точках $t_{-N+1},\dots, t_N$ (см. (2.6)). Оценим сверху величины $\overline{B}$ и $\overline{\overline{B}}$ при $1<p<\infty$ с помощью неравенства Гёльдера. Получим
$$
\begin{equation}
\overline{B}\leqslant 2\max\{1,\underline{h}^{-1/p}\}\|f''\|_{L_p(\mathbb R)},\qquad \overline{\overline{B}}\leqslant \|f''\|_{L_p(\mathbb R)}\|\psi\|_{L_q[t_{-N+1};t_N]}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Значит, из (2.7), (2.8) и (2.11) имеем
$$
\begin{equation*}
(2N+1)^{1/q}\leqslant |A|+|B|\leqslant \|f''\|_{L_p(\mathbb R)}\bigl(\|\psi\|_{L_q[t_{-N+1};t_N]}+O(1)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для любого натурального числа $N\geqslant 2$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\|f''\|_{L_p(\mathbb R)}\geqslant \frac{(2N+1)^{1/q}}{\|\psi\|_{L_q[t_{-N+1};t_N]}+O(1)},\qquad 1<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в этом неравенстве к пределу при $N\to \infty$, получаем следующую оценку величины $A_{p,2}(\Delta)$, $1<p<\infty$:
$$
\begin{equation}
A_{p,2}(\Delta)\geqslant \varlimsup_{N\to \infty}\biggl(\frac{1}{2N}\int_{t_{-N+1}}^{t_N}\psi^q(t)\,dt \biggr)^{-1/q}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
В этом неравенстве присутствует функция $\psi(t)$ (см. (2.4) и (2.10)). Пересчитаем интеграл в правой части неравенства (2.12) в терминах $h_k$ – длин шагов сетки $\Delta$, используя то, что функция $\psi$ кусочно линейна. Из (2.4) с учетом (2.6) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_k&=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\psi^q(t)\,dt=\int_{t_k}^{x_{k+1}}\biggl[ \frac{t-x_k}{h_k(h_k+h_{k+1})}-\frac{x_{k+1}-t}{h_k(h_{k-1}+h_k)}\biggr]^q\,dt \\ &\qquad+\int_{x_{k+1}}^{t_{k+1}}\biggl[ \frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}(h_{k}+h_{k+1})}-\frac{t-x_{k+1}}{h_{k+1}(h_{k+1}+h_{k+2})}\biggr]^q\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Вычисляя интегралы в (2.13) с помощью линейных замен переменных, получаем
$$
\begin{equation}
Q_k=\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^q}\biggl[ \frac{h_k(h_{k-1}+h_{k})}{h_{k-1}+2h_k+h_{k+1}} +\frac{h_{k+1}(h_{k+1}+h_{k+2})}{h_k+2h_{k+1}+h_{k+2}}\biggr].
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Таким образом, с учетом (2.13), (2.14) оценка (2.12) принимает вид
$$
\begin{equation}
A_{p,2}(\Delta)\geqslant \varlimsup_{N\to \infty}\biggl( \frac{1}{2N} \sum_{k=-N+1}^{N-1} Q_k\biggr)^{-1/q}, \qquad 1<p<\infty.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
В дальнейшем мы загрубим полученную оценку с учетом условий теоремы (мы рассматриваем только сетки $\Delta$, удовлетворяющие условиям $\underline{h}>0$ и $\overline{h}<+\infty$). Но интересно отметить, что оценка (2.15) величины $A_{p,2}(\Delta)$ является точной для равномерной сетки узлов $\overline{\Delta}$, т. е. в случае $h_k=h$. В этом случае для любого числа $k$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
Q^{-1/q}_k=2(q+1)^{1/q}h^{(q-1)/q}=2\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}h^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому
$$
\begin{equation*}
A_{p,2}(\overline{\Delta})\geqslant 2\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}h^{1/p}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. равенство (1.4)). Из (2.14) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_k&=\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^{q-1}}\biggl[ \frac{1+{h_{k-1}}/{h_k}}{(1+{h_{k+1}}/{h_k})({h_{k-1}}/{h_k}+2+{h_{k+1}}/{h_k})} \\ &\qquad+\frac{1+{h_{k+2}}/{h_{k+1}}}{(1+{h_{k}}/{h_{k+1}})({h_{k}}/{h_{k+1}}+2+ {h_{k+2}}/{h_{k+1}})}\biggr] \\ &<\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^{q-1}}\biggl[\frac{1}{1+{h_{k+1}}/{h_k}} +\frac{1}{1+{h_k}/{h_{k+1}}} \biggr] \\ &=\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^{q-1}}\leqslant \frac{1}{(q+1)2^{q-1}\underline{h}^{q-1}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\underline{h}=\inf_k h_k$. Поэтому из (2.15) получим
$$
\begin{equation}
A_{p,2}(\Delta)\geqslant \varlimsup_{N\to \infty}\biggl( \frac{2N}{2N-1} (q+1)2^{q-1}\underline{h}^{q-1} \biggr)^{1/q}=(q+1)^{1/q}2^{1/p}\underline{h}^{1/p},\qquad 1<p<\infty.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Напомним, что числа $p$ и $q$ связаны соотношением $1/p\,{+}\,1/q=1$. Таким образом, при $1<p<\infty$ в теореме, сформулированной во введении, доказана оценка снизу с константой
$$
\begin{equation*}
C_1(p)=\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}2^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Оценка сверху величины $A_{p,2}(\Delta)$Пусть $1<p<\infty$. Покажем, что для любой последовательности $y\in Y_{p,2}$ существует функция $f\in F_{p,2}(y)$ – обобщенный параболический сплайн с узлами $\{ t_k\}_{k\in \mathbb Z}$ (см. (2.6)), причем $f(t_k)=0$, $k\in \mathbb Z$, который интерполирует значения последовательности $y$ в точках $\{x_k\}_{k\in \mathbb Z}$, т. е. $f(x_k)=y_k$, $k\in \mathbb Z$, и для него справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\|f''\|_{L_p(\mathbb R)}\leqslant C_2(p)\overline{h}^{1/p}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой положительной константой $C_2(p)$, где $\overline{h}=\sup_k h_k$. Построим этот сплайн с помощью введенной в § 2 функции $\psi(t)$ (см. (2.4) и (2.10)). Для любого числа $k\in \mathbb Z$ полагаем
$$
\begin{equation}
f''(t)=\begin{cases} Z_k\psi^{q-1}(t), &x_k\leqslant t<t_k, \\ Z_{k+1}\psi^{q-1}(t), &t_k\leqslant t<t_{k+1}, \\ Z_{k+2}\psi^{q-1}(t), &t_{k+1}\leqslant t<x_{k+2}, \end{cases} \qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Числа $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ подлежат дальнейшему определению. Поскольку $f(x_k)=y_k$, то и можно воспользоваться представлением (2.1). Подставляя (3.1) в равенство (2.1), для определения чисел $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ получаем разностное уравнение
$$
\begin{equation}
A_k Z_{k+2}+B_k Z_{k+1}+C_kZ_k=[y_{k+2},y_{k+1},y_k],\qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_k&=\frac{1}{h_k+h_{k+1}}\int_{t_{k+1}}^{x_{k+2}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}\psi^{q-1}(t)\,dt, \\ B_k&=\frac{1}{h_k+h_{k+1}}\biggl[ \int_{x_{k+1}}^{t_{k+1}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}\psi^{q-1}(t)\,dt+ \int_{t_{k}}^{x_{k+1}}\frac{t-x_{k}}{h_{k}}\psi^{q-1}(t)\,dt\biggr], \\ C_k&=\frac{1}{h_k+h_{k+1}}\int_{x_{k}}^{t_{k}}\frac{t-x_{k}}{h_{k}}\psi^{q-1}(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Вычисляя интегралы (3.3) с помощью замен переменных, после элементарных преобразований получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_k &=\frac{h_{k+1}(h_k+h_{k+1})}{q(q+1)(h_{k+1}+h_{k+2})^{q-1}(h_k+2h_{k+1}+h_{k+2})^2}, \\ B_k &=\frac{h_{k}(h_{k-1}+h_{k})^2}{(h_{k}+h_{k+1})^{q-1}(h_{k-1}+2h_{k}+h_{k+1})^2} \biggl[\frac{1}{(q+1)(h_k+h_{k+1})}+\frac{1}{q(h_{k-1}+h_k)} \biggr] \\ &\ +\frac{h_{k+1}(h_{k+1}\,{+}\,h_{k+2})^2}{(h_{k}\,{+}\,h_{k+1})^{q-1}(h_{k}\,{+}\,2h_{k+1}\,{+}\,h_{k+2})^2} \biggl[\frac{1}{(q\,{+}\,1)(h_k\,{+}\,h_{k+1})}\,{+}\,\frac{1}{q(h_{k+1}\,{+}\,h_{k+2})} \biggr], \\ C_k&=\frac{h_{k}(h_{k}+h_{k+1})}{q(q+1)(h_{k-1}+h_{k})^{q-1}(h_{k-1}+2h_{k}+h_{k+1})^2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью замены переменных
$$
\begin{equation}
\widetilde{Z}_k=\frac{Z_k}{q(q+1)(h_{k-1}+h_k)^{q-1}},\qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
упростим разностное уравнение (3.2):
$$
\begin{equation}
a_k \widetilde{Z}_{k+2}+b_k\widetilde{Z}_{k+1}+c_k\widetilde{Z}_{k}=[y_{k+2},y_{k+1},y_k],
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_k=\frac{h_{k+1}(h_k+h_{k+1})}{(h_k+2h_{k+1}+h_{k+2})^2},\qquad c_k=\frac{h_{k}(h_k+h_{k+1})}{(h_{k-1}+2h_{k}+h_{k+1})^2}, \\ \begin{aligned} \, b_k=b_k(q)&=\frac{h_{k}(h_{k-1}+h_{k})}{(h_{k-1}+2h_{k}+h_{k+1})^2} \biggl[\frac{q}{h_k+h_{k+1}}+\frac{q+1}{h_{k-1}+h_k} \biggr] \\ &\qquad+\frac{h_{k+1}(h_{k+1}+h_{k+2})}{(h_k+2h_{k+1}+h_{k+2})^2} \biggl[\frac{q}{h_k+h_{k+1}}+\frac{q+1}{h_{k+1}+h_{k+2}} \biggr]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
С помощью элементарных преобразований (3.6) нетрудно проверить равенство Свойства чисел $a_k$, $b_k(1)$ и $c_k$ были исследованы в совместной работе С. И. Новикова и автора [12; лемма 1 и следствие к этой лемме]. С учетом (3.7) справедливо следующее утверждение. Лемма 3.1 (см. [12]). При любом $k\in \mathbb Z$ имеют место неравенства Из определения чисел $b_k(q)$ легко видеть, что $b_k(q)\geqslant b_k(1)$ при $q\geqslant 1$, и поэтому из (3.7) следует неравенство
$$
\begin{equation}
a_k+b_k(q)+c_k\geqslant 1,\qquad q\geqslant 1,\quad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Лемма 3.2. Для любой последовательности $y\in Y_{p,2}$, $1<p<\infty$, разностное уравнение (3.5) имеет решение $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_k\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p$, и это решение единственно. Доказательство. Разностное уравнение (3.5) перепишем в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Z}_{k+1}=\frac{1}{a_k+b_k(q)+c_k}\bigl( [y_{k+2},y_{k+1},y_k]+a_k\bigl(\widetilde{Z}_{k+1}-\widetilde{Z}_{k+2}\bigr) +c_k\bigl(\widetilde{Z}_{k+1} -\widetilde{Z}_{k}\bigr)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим нелинейный оператор $T$, который ставит в соответствие произвольной последовательности $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p$ последовательность
$$
\begin{equation*}
\biggl\{ \frac{1}{a_k+b_k(q)+c_k}\bigl( [y_{k+2},y_{k+1},y_k]+a_k\bigl(\widetilde{Z}_{k+1}-\widetilde{Z}_{k+2}\bigr)+ c_k\bigl(\widetilde{Z}_{k+1}-\widetilde{Z}_{k}\bigr) \bigr)\biggr\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 3.1 и неравенства (3.8) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\| T\widetilde{Z}^{(1)}-T\widetilde{Z}^{(2)}\bigr\|_{l_p}= \biggl\| \biggl\{ \frac{a_k+c_k}{a_k+b_k(q)+c_k}\bigl(\widetilde{Z}_{k+1}^{(1)} -\widetilde{Z}_{k+1}^{(2)}\bigr) \\ &\ \quad +\frac{a_k}{a_k+b_k(q)+c_k}\bigl(\widetilde{Z}_{k+2}^{(2)} -\widetilde{Z}_{k+2}^{(1)}\bigr)+\frac{c_k}{a_k+b_k(q)+c_k}\bigl(\widetilde{Z}_{k}^{(2)} -\widetilde{Z}_{k}^{(1)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_p} \\ &\ \leqslant \biggl\| \biggl\{ \frac{a_k+c_k}{a_k+b_k(q)+c_k} \bigl(\widetilde{Z}_{k+1}^{(1)}-\widetilde{Z}_{k+1}^{(2)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_p}{+}\, \biggl\|\biggl\{\frac{a_k}{a_k+b_k(q)+c_k} \bigl(\widetilde{Z}_{k+2}^{(2)}-\widetilde{Z}_{k+2}^{(1)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_p} \\ &\ \quad +\biggl\|\biggl\{\frac{c_k}{a_k+b_k(q)+c_k} \bigl(\widetilde{Z}_{k}^{(2)}-\widetilde{Z}_{k}^{(1)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_p} \\ &\ \leqslant\biggl( \frac49+\frac14+\frac14\biggr) \bigl\|\widetilde{Z}^{(1)}-\widetilde{Z}^{(2)}\bigr\|_{l_p} =\frac{17}{18}\bigl\|\widetilde{Z}^{(1)}-\widetilde{Z}^{(2)}\bigr\|_{l_p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, оператор $T$ является сжимающим оператором в полном метрическом пространстве $l_p=l_p(\mathbb Z)$ с константой сжатия $17/18<1$. Здесь $\widetilde{Z}^{(1)}=\{\widetilde{Z}_{k+1}^{(1)}\}_{k\in \mathbb Z}$ и $\widetilde{Z}^{(2)}=\{\widetilde{Z}_{k+1}^{(2)}\}_{k\in \mathbb Z}$. Поэтому согласно теореме о сжимающем операторе уравнение $T\widetilde{Z}=\widetilde{Z}$ (т. е. разностное уравнение (3.5)) имеет решение $\widetilde{Z}\in l_p$, и это решение единственно. Лемма 3.2 доказана. Лемма 3.3. Для решения $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_k\}_{k\in \mathbb Z}$ разностного уравнения (3.5) справедлива оценка Доказательство. В лемме 3.2 было доказано, что разностное уравнение (3.5) имеет единственное решение $\widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_{k+1}\}\in l_p$, но при этом не был найден явный вид этого решения. Для доказательства леммы 3.3 будем рассуждать от противного. Пусть $\|\widetilde{Z}\|_{l_p}>18$. Поскольку $y\in Y_{p,2}$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1&\geqslant \|\{ [y_{k+2},y_{k+1},y_k]\}\|_{l_p}=\bigl\| \bigl\{ a_k\widetilde{Z}_{k+2}+b_k(q)\widetilde{Z}_{k+1}+c_k\widetilde{Z}_k \bigr\}\bigr\|_{l_p} \\ &\geqslant \bigl|\, \bigl\| \bigl\{ b_k(q)\widetilde{Z}_{k+1}\bigr\}\bigr\|_{l_p}- \bigl\| \bigl\{ a_k\widetilde{Z}_{k+2}+c_k\widetilde{Z}_{k}\bigr\}\bigr\|_{l_p} \bigr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Покажем, что выражение под знаком модуля в последнем неравенстве больше $1$. В самом деле, в силу леммы 3.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\| \bigl\{ b_k(q)\widetilde{Z}_{k+1}\bigr\} \bigr\|_{l_p}- \bigl\| \bigl\{ a_k\widetilde{Z}_{k+2}+c_k\widetilde{Z}_{k}\bigr\}\bigr\|_{l_p}\geqslant \frac59 \bigl\| \bigl\{ \widetilde{Z}_{k+1}\bigr\} \bigr\|_{l_p} \\ &\qquad-\bigl\| \bigl\{ a_k\widetilde{Z}_{k+2}\bigr\} \bigr\|_{l_p}- \bigl\| \bigl\{ c_k\widetilde{Z}_{k}\bigr\} \bigr\|_{l_p}\geqslant \biggl(\frac59-\frac14-\frac14\biggr) \bigl\|\widetilde{Z}\bigr\|_{l_p}=\frac{1}{18}\bigl\|\widetilde{Z}\bigr\|_{l_p}>1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит неравенству (3.9). Лемма 3.3 доказана. Оценим теперь норму второй производной в пространстве $L_p(\mathbb R)$ построенной функции $f\in F_{p,2}(y)$. Из (3.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|f''\|_{L_p(\mathbb R)}&=\biggl( \sum_{k\in \mathbb Z}\int_{t_k}^{t_{k+1}}|Z_{k+1}|^p \psi^{(q-1)p}(t)\,dt\biggr)^{1/p} \\ &=\biggl( \sum_{k\in \mathbb Z}|Z_{k+1}|^p\int_{t_k}^{t_{k+1}} \psi^{q}(t)\,dt\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Принимая во внимание (2.13), (2.14) и (3.4), из (3.10) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f''\|_{L_p(\mathbb R)} &=\biggl( \sum_{k\in \mathbb Z}\bigl|\widetilde{Z}_{k+1}\bigr|^p (h_k+h_{k+1})^{(q-1)p}q^p(q+1)^p \frac{M_k}{(q+1)(h_k+h_{k+1})^q}\biggr)^{1/p} \\ &=\frac{q(q+1)}{(q+1)^{1/p}} \biggl( \sum_{k\in \mathbb Z}\bigl|\widetilde{Z}_{k+1}\bigr|^p M_k\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M_k=\frac{h_k(h_{k-1}+h_k)}{h_{k-1}+2h_k+h_{k+1}}+ \frac{h_{k+1}(h_{k+1}+h_{k+2})}{h_{k}+2h_{k+1}+h_{k+2}}<h_k+h_{k+1}\leqslant 2\overline{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом леммы 3.3 получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\|f''\|_{L_p(\mathbb R)}\leqslant 18\cdot 2^{1/p}q(q+1)^{(p-1)/p}\,\overline{h}^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя от переменной $q$ к переменной $p$, из доказанного неравенства выводим, что
$$
\begin{equation*}
A_{p,2}(\Delta)\leqslant C_2(p)\,\overline{h}^{1/p},\qquad 1<p<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
C_2(p)=2^{1/p}\frac{18p}{p-1}\biggl(\frac{2p-1}{p-1}\biggr)^{(p-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема, сформулированная во введении, доказана при $1<p<\infty$.
§ 4. Случай $p=1$Для оценки снизу величины $A_{1,2}(\Delta)$ рассмотрим последовательность $y^*=\{y_k^*\}_{k\in \mathbb Z}$, удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation}
[y_{k+2}^*,y_{k+1}^*,y_k^*]=\begin{cases} 1, &k=0, \\ 0, &k\ne 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
и покажем, что для любой функции $f\in F_{1,2}(y^*)$ имеет место неравенство Пусть $N$ – произвольное натуральное число, $N\geqslant 2$. Из (2.1) и (4.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1&=\sum_{k=-N}^N (-1)^k [y_{k+2}^*,y_{k+1}^*,y_k^*] \\ &=\sum_{k=-N}^{N}\frac{(-1)^k}{h_k+h_{k+1}}\biggl[ \int_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}\frac{x_{k+2}-t}{h_{k+1}}f''(t)\,dt+ \int_{x_{k}}^{x_{k+1}}\frac{t-x_{k}}{h_{k}}f''(t)\,dt\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Для любой функции $f\in F_{1,2}(y^*)$, как и в случае $1<p<\infty$, правую часть равенства (4.3) представим в виде $A+B$, где $A$ и $B$ определены равенствами (2.3). Заметим, что в силу условий теоремы $\underline{h}>0$ и $\overline{h}<+\infty$, и поэтому если $f''\in L_1(\mathbb R)$, то при $N\to \infty$
$$
\begin{equation*}
\int_{x_{N+1}}^{x_{N+2}}|f''(t)|\,dt\to 0,\qquad \int_{x_{-N}}^{x_{-N+1}}|f''(t)|\,dt\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу этого обстоятельства легко видеть, что $A=o(1)$ и аналогично $\overline{B}=o(1)$ при $N\to \infty$ (см. (2.8), (2.9)). Из равенств (2.4), (2.5) и (2.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\psi(t)\leqslant \sup_{k}(h_k+h_{k+1})^{-1}\leqslant (2\underline{h})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому величину
$$
\begin{equation*}
\overline{\overline{B}}=\int_{t_{-N+1}}^{t_{N}}\psi(t) |f''(t)|\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (2.9)) можно оценить следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\overline{\overline{B}}\leqslant (2\underline{h})^{-1}\|f''\|_{L_1(\mathbb R)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из равенства (4.3) получим
$$
\begin{equation*}
1\leqslant |A|+|B|=|A|+\overline{B}+\overline{\overline{B}}\leqslant \biggl( \frac{1}{2\underline{h}}+o(1)\biggr)\|f''\|_{L_1(\mathbb R)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $N\to \infty$ в этом неравенстве, получаем неравенство (4.2), и, значит, Для доказательства оценки сверху величины $A_{1,2}(\Delta)$ для любого числа $\varepsilon>0$ и любой последовательности $y\in Y_{1,2}$ построим функцию $f(t)=f_{\delta}(t)\in F_{1,2}(y)$ такую, что
$$
\begin{equation}
\|f''\|_{L_1(\mathbb R)}\leqslant (2+\varepsilon)\overline{h}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
f''(t)=\begin{cases} \dfrac{Z_k}{2\delta}, &t\in [x_k-\delta;x_k+\delta], \\ 0, &t\notin [x_k-\delta;x_k+\delta], \end{cases} \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $\delta$ – произвольное положительное число, $\delta< (1/2)\underline{h}$. Числа $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ подлежат дальнейшему определению. Подставляя (4.6) в равенство (2.1), получаем разностное уравнение относительно чисел $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$:
$$
\begin{equation}
\overline{A}_k Z_{k+2}+\overline{B}_k Z_{k+1}+\overline{C}_kZ_k=[y_{k+2},y_{k+1},y_k],\qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{A}_k=\frac{\delta}{4h_{k+1}(h_k+h_{k+1})},\qquad \overline{B}_k=\frac{1}{4(h_{k}+h_{k+1})}\biggl(4-\frac{\delta}{h_{k+1}}-\frac{\delta}{h_k} \biggr), \\ \overline{C}_k=\frac{\delta}{4h_{k}(h_k+h_{k+1})}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Обоснуем, что для любой последовательности $y\in Y_{1,2}$ уравнение (4.7) имеет решение и затем оценим норму этого решения в пространстве $l_1$. Уравнение (4.7) с учетом (4.8) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
Z_{k+1} =(h_k+h_{k+1})\bigl( [y_{k+2},y_{k+1},y_k] +\overline{A}_k(Z_{k+1}-Z_{k+2})+\overline{C}_k(Z_{k+1}-Z_k)\bigr), \qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Рассмотрим нелинейный оператор $T$, который ставит в соответствие каждой последовательности $Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}$ последовательность, стоящую в правой части равенства (4.9). Поскольку $\delta<(1/2)\underline{h}$, то из неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| TZ^{(1)}-TZ^{(2)}\|_{l_1}=\bigl\| \bigl\{ \bigl( \overline{A}_k+\overline{C}_k\bigr)(h_k+h_{k+1})\bigl(Z_{k+1}^{(1)}-Z_{k+1}^{(2)}\bigr) \\ &\ \quad +\overline{A}_k(h_k+h_{k+1})\bigl(Z_{k+2}^{(2)}-Z_{k+2}^{(1)}\bigr)+\overline{C}_k(h_k+h_{k+1}) \bigl(Z_{k}^{(2)}-Z_{k}^{(1)}\bigr)\bigr\}\bigr\|_{l_1} \\ &\ \leqslant \biggl\| \biggl\{ \frac{\delta(h_k+h_{k+1})}{4h_kh_{k+1}} \bigl(Z_{k+1}^{(1)}-Z_{k+1}^{(2)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_1}+ \biggl\| \biggl\{ \frac{\delta}{4h_{k+1}} \bigl(Z_{k+2}^{(2)}-Z_{k+2}^{(1)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_1} \\ &\ \quad +\biggl\| \biggl\{ \frac{\delta}{4h_{k}}\bigl(Z_{k}^{(2)}-Z_{k}^{(1)}\bigr)\biggr\}\biggr\|_{l_1} \leqslant \biggl( \frac14+\frac18+\frac18\biggr)\bigl\| Z^{(1)}\,{-}\,Z^{(2)}\bigr\|_{l_1}\,{=}\,\frac12\| Z^{(1)}\,{-}\,Z^{(2)}\|_{l_1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $T$ является сжимающим оператором в полном метрическом пространстве $l_1=l_1(\mathbb Z)$. Следовательно, по теореме о сжимающем операторе уравнение (4.9) (а потому и уравнение (4.7)) имеет решение $Z\in l_1$, и это решение единственно. Оценим норму этого решения в пространстве $l_1$. Перепишем уравнение (4.7) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\delta}{h_{k+1}}Z_{k+2}+\biggl(4-\frac{\delta}{h_{k+1}}-\frac{\delta}{h_k}\biggr)Z_{k+1}+ \frac{\delta}{h_k}Z_k \\ &\qquad=4(h_k+h_{k+1})[y_{k+2},y_{k+1},y_k],\qquad k\in \mathbb Z, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
и докажем, что для любого числа $\varepsilon >0$ имеет место неравенство Будем рассуждать от противного. Пусть $\|Z\|_{l_1}>(2+\varepsilon)\overline{h}$ для некоторого числа $\varepsilon>0$. Поскольку $y\in Y_{1,2}$, то
$$
\begin{equation}
\| \{4(h_k+h_{k+1})[y_{k+2},y_{k+1},y_k]\} \|_{l_1}\leqslant 8\overline{h},
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
т. е. норма в пространстве $l_1$ последовательности, стоящей в правой части разностного уравнения (4.10), не превосходит числа $8\overline{h}$. Покажем, что та же норма последовательности, стоящей в левой части этого уравнения, будет больше $8\overline{h}$ при подходящем выборе числа $\delta$ (это число фигурирует в равенстве (4.6)). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\| \biggl\{ \frac{\delta}{h_{k+1}}Z_{k+2}+\biggl(4-\frac{\delta}{h_{k+1}}-\frac{\delta}{h_{k}}\biggr)Z_{k+1}+ \frac{\delta}{h_{k}}Z_k\biggr\}\biggr\|_{l_1} \\ &\qquad\geqslant \biggl|\, \biggl\| \biggl\{ \biggl(4-\frac{\delta}{h_{k+1}}-\frac{\delta}{h_{k}}\biggr)Z_{k+1} \biggr\}\biggr\|_{l_1}- \biggl\| \biggl\{ \frac{\delta}{h_{k+1}}Z_{k+2} +\frac{\delta}{h_{k}}Z_{k}\biggr\}\biggr\|_{l_1} \biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим снизу выражение (обозначим его через $Q$), стоящее в правой части этого неравенства под знаком модуля с учетом того, что $\delta<(1/2)\underline{h}$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q &\geqslant \biggl\| \biggl\{ \biggl( 4-\frac{\delta}{h_{k+1}}-\frac{\delta}{h_{k}}\biggr)Z_{k+2} \biggr\}\biggr\|_{l_1}- \biggl\| \biggl\{ \frac{\delta}{h_{k+1}}Z_{k+2}\biggr\}\biggr\|_{l_1}- \biggl\| \biggl\{ \frac{\delta}{h_{k}}Z_{k}\biggr\}\biggr\|_{l_1} \\ &\geqslant \biggl( 4-\frac{2\delta}{\underline{h}} -\frac{2\delta}{\underline{h}}\biggr)\|Z\|_{l_1}= \frac{4(\underline{h}-\delta)}{\underline{h}}\|Z\|_{l_1}> \frac{4(2+\varepsilon)(\underline{h}-\delta)\overline{h}}{\underline{h}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Выберем число $\delta\,{<}\min\{ (1/2)\underline{h},\varepsilon\underline{h}/(2+\varepsilon)\}$. Тогда $4(2+\varepsilon)(\underline{h}-\delta)\,{>}\,8\underline{h}$, и поэтому из (4.13) следует, что $Q>8\overline{h}$. Получили противоречие с неравенством (4.12). Оценим теперь норму функции $f''$ в пространстве $L_1=L_1(\mathbb R)$. Из (4.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\|f''\|_{L_1(\mathbb R)}=\sum_{k\in \mathbb Z}\int_{x_k-\delta}^{x_k+\delta}\biggl|\frac{Z_k}{2\delta} \biggr|\,dt=\sum_{k\in \mathbb Z}|Z_k|=\|Z\|_{l_1}\leqslant (2+\varepsilon)\overline{h}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого числа $\varepsilon>0$, и неравенство (4.5) доказано. Устремляя число $\varepsilon$ к нулю (тогда $\delta$ также стремится к нулю), отсюда получим, что Таким образом, из (4.4) и (4.14) следует, что
$$
\begin{equation*}
2\underline{h}\leqslant A_{1,2}(\Delta)\leqslant 2\overline{h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема, сформулированная во введении, в случае $p=1$ также доказана.
§ 5. Уточнение оценки сверху величины $A_{\infty,2}(\Delta)$В настоящем параграфе в случае $p=\infty$ не будем накладывать на сетку $\Delta$ ограничения вида $\underline{h}>0$ и $\overline{h}<+\infty$. Пусть
$$
\begin{equation*}
x_{k+1/2}=\frac{x_k+x_{k+1}}{2},\qquad k\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой последовательности $y\in Y_{\infty,2}$ построим параболический сплайн $f\in F_{\infty,2}(y)$ с узлами $\{ x_{k+1/2}\}_{k\in \mathbb Z}$, полагая
$$
\begin{equation}
f''(t)=\begin{cases} Z_k, & x_k\leqslant t<x_{k+1/2}, \\ Z_{k+1}, & x_{k+1/2}\leqslant t<x_{k+3/2}, \\ Z_{k+2}, & x_{k+3/2}\leqslant t<x_{k+2}, \end{cases} \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где числа $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ подлежат дальнейшему определению. Из (2.1) и (5.1) имеем
$$
\begin{equation}
[y_{k+2},y_{k+1},y_k]=\widetilde{A}_kZ_{k+2}+\widetilde{B}_kZ_{k+1}+\widetilde{C}_kZ_{k}, \qquad k\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde{A}_k=\frac{h_{k+1}}{8(h_k+h_{k+1})},\qquad \widetilde{B}_k=\frac38,\qquad \widetilde{C}_k=\frac{h_{k}}{8(h_k+h_{k+1})}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
По схеме, изложенной в предыдущих параграфах, докажем существование решения $\{Z_k\}_{k\in \mathbb Z}$ разностного уравнения (5.2). Это уравнение с учетом (5.3) перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z_{k+1}&=2[y_{k+2},y_{k+1},y_k]+\frac{h_{k+1}}{4(h_k+h_{k+1})}(Z_{k+1}-Z_{k+2}) \\ &\qquad+\frac{h_{k}}{4(h_k+h_{k+1})}(Z_{k+1}-Z_{k}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Нелинейный оператор $T$, ставящий в соответствие каждой последовательности $Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}$ последовательность, стоящую в правой части равенства (5.4), является сжимающим, поскольку из (5.4) легко следует, что
$$
\begin{equation*}
\|TZ^{(1)}-TZ^{(2)}\|_{l_{\infty}}<\frac12\|Z^{(1)}-Z^{(2)}\|_{l_{\infty}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, по известной теореме о сжимающем операторе в полном метрическом пространстве $l_{\infty}=l_{\infty}(\mathbb Z)$ получаем, что разностное уравнение (5.2) имеет единственное решение $Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}\in l_{\infty}$. Доказательство. Доказательство леммы 5.1, приведенное ниже, практически повторяет доказательство аналогичной леммы 3 [12] и представлено здесь в основном для полноты изложения. Пусть $Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}$ – единственное ограниченное решение уравнения (5.2). Обозначим $\alpha=\sup_k|Z_k|$ и будем рассуждать от противного. Пусть $\alpha>4$. Тогда существует положительное число $\beta$ такое, что $\alpha>\beta+4$ (например, можно взять $\beta=(1/2)(\alpha-4)$). Поскольку $\alpha=\sup_k|Z_k|$, то для любого целого числа $k$ имеет место неравенство $|Z_k|\leqslant \alpha$, и для любого числа $\varepsilon>0$ найдется такое целое число $m$, что Не ограничивая общности, будем далее считать, что $Z_{m+1}\,{>}\,0$ и поэтому $\alpha-\varepsilon<Z_{m+1}\leqslant \alpha$. Оценим величину
$$
\begin{equation*}
D_m=\bigl| \widetilde{A}_mZ_{m+2}+\widetilde{B}_mZ_{m+1}+\widetilde{C}_mZ_{m} \bigr|
\end{equation*}
\notag
$$
снизу и сверху и придем тем самым к противоречию. Поскольку $y\in Y_{\infty,2}$, то С другой стороны,
$$
\begin{equation}
D_m\geqslant\bigl| \widetilde{B}_mZ_{m+1}-\bigl|\widetilde{A}_mZ_{m+2}+\widetilde{C}_mZ_{m}\bigr| \bigr|.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Рассмотрим выражение, стоящее под знаком внешнего модуля в правой части неравенства (5.6). Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\widetilde{B}_mZ_{m+1}-\bigl|\widetilde{A}_mZ_{m+2}+\widetilde{C}_mZ_{m} \bigr|> \widetilde{B}_m(\alpha-\varepsilon)-\bigl(\widetilde{A}_m+\widetilde{C}_m\bigr)\alpha \\ &\qquad=\alpha\bigl(\widetilde{B}_m-\widetilde{A}_m-\widetilde{C}_m\bigr) -\widetilde{B}_m\varepsilon> (4+\beta)\bigl(\widetilde{B}_m-\widetilde{A}_m-\widetilde{C}_m \bigr)-\widetilde{B}_m\varepsilon \\ &\qquad=4\bigl( \widetilde{B}_m-\widetilde{A}_m-\widetilde{C}_m\bigr)+\beta\bigl( \widetilde{B}_m-\widetilde{A}_m-\widetilde{C}_m\bigr)-\widetilde{B}_m\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Поскольку $\widetilde{B}_m=3/8$ и $\widetilde{B}_m-\widetilde{A}_m-\widetilde{C}_m=1/4$, то из неравенств (5.6) и (5.7) следует, что Устремляя положительное число $\varepsilon$ к нулю, получаем, что для некоторого числа $m=m(\varepsilon)\in \mathbb Z$ имеет место неравенство $D_m>1$, что противоречит (5.5). Лемма 5.1 доказана. Из леммы 5.1 и равенства (5.1) выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\|f''\|_{L_{\infty}(\mathbb R)}=\sup_k|Z_k|\leqslant 4
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому $A_{\infty,2}(\Delta)\leqslant 4$. Из результатов работы [12] следует, что для любой сетки узлов $\Delta$ имеет место неравенство Предыдущие рассуждения позволяют в этом неравенстве уменьшить оценку сверху. Итак, для любой сетки узлов $\Delta$ справедливо неравенство При этом можно утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\inf_{\Delta}A_{\infty,2}(\Delta)=2,\qquad \sup_{\Delta}A_{\infty,2}(\Delta)=\max_{\Delta}A_{\infty,2}=4,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку в [12] было еще доказано, что для геометрической сетки узлов вида $\Delta_r=\{ r^kh\}_{k\in \mathbb Z}$, $r\geqslant 1$, $h>0$, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
A_{\infty,2}(\Delta_r)=\frac{2(r+1)^2}{r^2+1},\qquad r\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и при этом $A_{\infty,2}(\Delta_1)=A_{\infty,2}(\overline{\Delta})=4$, $\lim_{r\to \infty}A_{\infty,2}(\Delta_r)=2$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{She22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|