| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Квазиалгебраическое кольцо условий пространства Б. Я. Казарновский Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9065 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЭкспоненциальная сумма – это функция в $\mathbb{C}^n$ вида
$$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{\lambda\in\Lambda\subset {\mathbb{C}^n}^*,\, c_\lambda\in\mathbb{C}}c_\lambda \mathrm{e}^{\langle z,\lambda\rangle},
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\mathbb{C}^n}^*$ – пространство линейных функционалов в $\mathbb{C}^n$, а $\Lambda$ – конечное подмножество ${\mathbb{C}^n}^*$, называемое носителем экспоненциальной суммы. Выпуклая оболочка носителя называется многогранником Ньютона экспоненциальной суммы. Многогранник Ньютона общей экспоненциальной суммы имеет размерность $2n$. Если носитель экспоненциальной суммы содержится в подпространстве $\operatorname{Re}{\mathbb{C}^n}^*$, то экспоненциальная сумма называется квазиалгебраической. Далее для краткости мы используем обозначения $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{R}^{n*}$ вместо $\operatorname{Re}\mathbb{C}^n$, $\operatorname{Re}{\mathbb{C}^n}^*$. Многогранник Ньютона квазиалгебраической экспоненциальной суммы принадлежит подпространству $\mathbb{R}^{n*}$. Аналитическое множество совместных нулей конечной системы экспоненциальных сумм называется экспоненциальным аналитическим множеством (далее $\mathrm{EA}$-множеством). Кольцо экспоненциальных сумм состоит из линейных комбинаций характеров аддитивной группы $\mathbb{C}^n_+$ пространства $\mathbb C^n$. Мы рассматриваем это кольцо, как аналог кольца полиномов Лорана на комплексном торе, а $\mathrm{EA}$-множество – как аналог алгебраического подмногообразия тора. Ориентируясь на эту аналогию, мы определяем индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств и строим кольцо условий (ring of conditions) соответствующей теории пересечений. Определенное в [1], [2] кольцо условий является вариантом кольца Чжоу для однородного алгебраического многообразия. Кольцо условий строится при помощи алгоритма Де Кончини и Прочези. Оно состоит из классов численной эквивалентности алгебраических многообразий. Если $X$ является однородным сферическим пространством редуктивной группы $H$, то алгоритм Де Кончини и Прочези заканчивается успешно. При $H=X=\mathbb{C}^n$ алгоритм не срабатывает (fails); см., например, [3; п. 1.4]. В случае комплексного тора $H\,{=}\,X\,{=}\,(\mathbb{C}\setminus0)^n$ класс численной эквивалентности состоит из многообразий с одинаковой тропикализацией. При этом кольцо условий изоморфно кольцу алгебраических тропических многообразий в пространстве $\operatorname{Re}\mathbb{C}^n$; см. [3]. Тропикализации алгебраических многообразий определены в п. 5.4. В этой публикации (всюду, кроме § 1 и § 2), мы рассматриваем только квазиалгебраические $\mathrm{EA}$-множества и строим квазиалгебраическое кольцо условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ пространства $\mathbb{C}^n$. В этом случае мы также сопоставляем любому $\mathrm{EA}$-множеству его тропикализацию (см. п. 3.3) и доказываем, что эти тропикализации образуют нужное кольцо условий. Кольцо $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ изоморфно кольцу евклидовых тропических многообразий в пространстве $\mathbb{R}^n$. Построение кольца условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ частично анонсировано в [3]. В случае произвольных (т. е. необязательно квазиалгебраических) экспоненциальных сумм геометрия $\mathrm{EA}$-множеств усложняется. Например, в общем случае, кроме стандартной тропической геометрии, применяется некоторое комплексное расширение тропических понятий, см. [4], [5]. Кольцо условий теории пересечений произвольных $\mathrm{EA}$-множеств будет построено в следующей публикации. Алгоритм Де Кончини и Прочези основан на использовании индекса пересечения многообразий. Для определения индекса пересечения мы сопоставляем $\mathrm{EA}$-множеству алгебраическое подмногообразие многомерного комплексного тора, которое называется моделью $\mathrm{EA}$-множества. В квазиалгебраическом случае определение индекса пересечения, а также проверка корректности определения и вывод свойств кольца условий целиком основаны на применении метода тропической алгебраической геометрии к моделям $\mathrm{EA}$-множеств. Тропическая техника используется для вывода некоторых свойств пересечений алгебраических многообразий с неалгебраическими $n$-параметрическими подгруппами тора. Такие подгруппы далее называются обмотками тора; см. определение 2.4. В настоящее время имеется много подробных изложений тропической геометрии, например, [6], [7], [3]. К сожалению, при построении кольца условий технически невозможно обосновать применение тропической геометрии ссылками на одну из таких публикаций. Каждая из них, с одной стороны, содержит много избыточной информации, с другой стороны, не содержит некоторых необходимых понятий и утверждений. Поэтому в статью включен § 5, содержащий адекватное описание тропических понятий. Все определения в этом параграфе приведены. Нужные факты, в основном, собраны в теоремах 5.1–5.10. Доказательства теорем, в основном, заменены ссылками, доказательства вспомогательных утверждений и следствий, в основном, приведены. При этом мы стараемся использовать внутренние тропические понятия, избегая использования торических компактификаций. Параграф 5 можно рассматривать как добавление к тексту статьи – к нему можно обращаться по мере необходимости. Из опубликованных изложений, наиболее близким к § 5 является текст [8], который изначально был связан с пересечениями $\mathrm{EA}$-множеств. В § 5 также, возможно впервые, описаны некоторые тропические конструкции, применяемые в построении кольца условий $\mathrm{EA}$-множеств. В этом случае мы приводим краткие доказательства. Для полной замкнутости изложения мы также ссылаемся на [3], [4]. Для определения индекса пересечения $I(X,Y)$ мы используем (введенные в [9]) понятия алгебраической коразмерности $\operatorname{codim}_a X$ и равноразмерности $\mathrm{EA}$-множества $X$; см. определение 2.5. Алгебраическая коразмерность, как правило (см. пример 2.1), совпадает с коразмерностью $X$, как аналитического подмножества $\mathbb{C}^n$. Равноразмерность является заменой понятия неприводимости: любое $\mathrm{EA}$-множество единственным образом представляется в виде объединения конечного числа равноразмерных $\mathrm{EA}$-множеств разных алгебраических коразмерностей. Равноразмерное $\mathrm{EA}$-множество $X$ алгебраической коразмерности $n$ является аналогом $0$-мерного алгебраического многообразия. Множество точек такого $\mathrm{EA}$-множества бесконечно, как, например, множество нулей функции $\mathrm{e}^z-1$ в $\mathbb{C}^1$. Аналогом числа точек $0$-мерного алгебраического многообразия является слабая плотность $d_w(X)$ $\mathrm{EA}$-множества $X$ алгебраической коразмерности $n$; см. определение 3.1. В этой публикации мы определяем $d_w(X)$ только в квазиалгебраическом случае. Оказывается, что для квазиалгебраических $\mathrm{EA}$-множеств $X$, $Y$, $\operatorname{codim}_a(X)+\operatorname{codim}_a(Y)=n$, существует область относительно полной меры $U\subset\mathbb{R}^n$ (см. определение 2.10) такая, что $d_w(X\cap(z+Y))$ при всех $z\in U+\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$ постоянна. Положим Назовем $I(X,Y)$ индексом пересечения квазиалгебраических $\mathrm{EA}$-множеств $X$, $Y$ (индекс пересечения любых $\mathrm{EA}$-множеств будет определен в следующей публикации). Индекс $I$ симметричен и инвариантен при сдвиговом действии группы $\mathbb{C}^n_+$.Для конечно порожденной подгруппы $G\subset\mathbb{R}^{n*}_+$ обозначим через $E_G$ кольцо экспоненциальных сумм с носителями в $G$. Ниже, кроме кольца условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$, мы также рассматриваем кольца условий $\mathcal E_G$ для $\mathrm{EA}$-множеств, заданных как нулевые множества систем экспоненциальных сумм из кольца $E_G$. Определение кольца условий построено по образцу [1]. Равноразмерные $\mathrm{EA}$-множества $X$, $Y$ алгебраической коразмерности $k\leqslant n$ назовем численно эквивалентными, если $I(X,Z)=I(Y,Z)$ для любого равноразмерного $\mathrm{EA}$-множества $Z$ алгебраической коразмерности $n-k$. Все $\mathrm{EA}$-множества алгебраической коразмерности больше $n$ также считаются эквивалентными. Множества классов численной эквивалентности алгебраической коразмерности $k$ образуют однородную компоненту коммутативного градуированного полукольца с операциями, определенными следующим образом. Зафиксируем классы эквивалентности, содержащие равноразмерные $\mathrm{EA}$-множества $X$, $Y$. Тогда существует зависящая от $X$, $Y$ область относительно полной меры $U\subset\mathbb{R}^n$ такая, что при $z\in U+\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$ (1) $\mathrm{EA}$-множества $X\cap(z+Y)$ равноразмерны и содержатся в общем классе эквивалентности, не зависящем от выбора $X$ и $Y$; (2) если $\operatorname{codim}_a X=\operatorname{codim}_a Y$, то $X\cup(z+Y)$ равноразмерны и содержатся в общем классе эквивалентности, не зависящем от выбора $X$ и $Y$. Обозначим через $\iota(Z)$ класс эквивалентности $\mathrm{EA}$-множества $Z$. Выбирая произвольное $z\in U+\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$, положим $\iota(X)+\iota(Y)=\iota(X\cup(z+Y))$ и $\iota(X)\cdot\iota(Y)=\iota(X\cap(z+Y))$. Проверка корректности определения операций сложения и умножения основана на тропической технологии. Пусть $a$, $b$, $c$ – классы эквивалентности одинаковой коразмерности. Тогда, по определению, из $a+c=b+c$ вытекает $a=b$. При $k>0$ рассмотрим группу Гротендика $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_k$ полугруппы классов коразмерности $k$. Если выбрана подгруппа $G$, то обозначим соответствующую группу через $\mathcal E_{G,k}$. Положим соответственно $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}= \mathcal E^{\mathrm{quasi}}_0+\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_1+\dots+\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_n$, где $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_0=\mathbb{R}$, и $\mathcal E_G=\mathcal E_{G,0}+\dots+\mathcal E_{G,_n}$, где $\mathcal E_{G,0}=\mathbb{Z}$. Приведем список некоторых из основных свойств кольца $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$. Свойство 1.1. Кольцо $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ является градуированной алгеброй над полем $\mathbb{R}$. Если $\mathrm{EA}$-множество алгебраической коразмерности $k$ задано системой уравнений $f_1(z)=\dots=f_q(z)=0$, то класс численной эквивалентности $X$, умноженный на $t>0$, можно определить как класс, содержащий $\mathrm{EA}$-множество, заданное уравнениями $f_1(t^{1/k}z)=\dots=f_q(t^{1/k}z)=0$. Свойство 1.2. Слабая плотность $\mathrm{EA}$-множества постоянна на любом классе численной эквивалентности $\mathrm{EA}$-множеств алгебраической коразмерности $n$. Свойство 1.3. Отображение $d_w\colon{\mathcal E}^{\mathrm{quasi}}_n\to\mathbb{R}$ является изоморфизмом одномерных вещественных векторных пространств. Свойство 1.4. При $p+q=n$ операция умножения задает невырожденное спаривание векторных пространств $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_p\times\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_q\to\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_n \xrightarrow{d_w} \mathbb{R}$. Свойство 1.5. Кольцо $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ порождено элементами $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}_1$, т. е. любое $\mathrm{EA}$-множество численно эквивалентно алгебраическому объединению пересечений экспоненциальных гиперповерхностей. Вычисление кольца условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ аффинного пространства $\mathbb{C}^n$ основано на следующих соображениях. Торы характеров $\mathbb{T}_G$ конечно порожденных подгрупп $G$ группы $\mathbb{R}^{n*}_+$ образуют проективную систему торов. Их кольца условий образуют индуктивную систему колец. Оказывается, что кольцо $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ является некоторым факторкольцом прямого предела этой индуктивной системы колец. Все вычисления и доказательства основаны на интерпретации кольца условий тора $\mathbb{T}_G$, как кольца алгебраических тропических многообразий в пространстве $\operatorname{Re}\mathcal T_G$, где $\mathcal T_G$ – алгебра Ли $\mathbb{T}_G$; см., например, [3]. Кольцо условий комплексного тора изоморфно кольцу выпуклых многогранников с вершинами в точках целочисленной решетки (многогранников Ньютона); см., например, [3]. При переходе к кольцу $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ это описание остается верным при отказе от условий целочисленности многогранников; см. теорему 3.8. При этом класс численной эквивалентности экспоненциальной гиперповерхности однозначно определяется ее многогранником Ньютона. Кольцо условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ (как алгебра над кольцом $\mathbb{Z}$) порождено многогранниками, т. е. любое $\mathrm{EA}$-множество численно эквивалентно алгебраической сумме пересечений экспоненциальных гиперповерхностей. Для $k$ $\mathrm{EA}$-множеств $X_1,\dots,X_k$ суммарной алгебраической коразмерности $n$ индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств по определению равен $d_w(\overline X_1\cdots\overline X_k)$, где $\overline X_i$ – образ $\mathrm{EA}$-множества $X_i$ в кольце условий (ср. определение 3.2). Пусть при $k=n$ $\mathrm{EA}$-множество $X_i$ является гиперповерхностью с уравнением $f_i=0$. Тогда в квазиалгебраическом случае индекс пересечения дивизоров $X_1,\dots,X_n$ равен смешанному объему многогранников Ньютона экспоненциальных сумм $f_i$; см. теорему 3.4. Для любых экспоненциальных сумм $f_i$ в следующей публикации будет доказано,, что индекс пересечения соответствующих гиперповерхностей равен смешанному псевдообъему многогранников Ньютона. Это вычисление является вариантом известных ранее результатов [10]–[12]. Его можно рассматривать как аналог формулы Кушниренко– Бернштейна (называемой также формулой BKK) для числа решений полиномиальной системы уравнений; см. [13]. § 2. Предварительные конструкцииДля определения слабой плотности $\mathrm{EA}$-множества используется действие некоторого бесконечномерного тора $\mathbb{T}$ на кольце $\mathrm{EA}$-множеств, а также связь $\mathrm{EA}$-множеств с алгебраическими подмногообразиями $\mathbb{T}$, имеющими конечную коразмерность. Соответствующие определения приведены в п. 2.1 и п. 2.2. 2.1. Обмотки и действие бесконечномерного тораПусть ${\mathbb{C}^n}^*_+$ – аддитивная группа пространства ${\mathbb{C}^n}^*$, $G\subset{\mathbb{C}^n}^*_+$, – конечно порожденная подгруппа, $\mathbb{T}_G$ – тор характеров группы $G$. Всюду ниже по умолчанию предполагается, что группа $G$ содержит некоторый базис пространства ${\mathbb{C}^n}^*$. Торы $\mathbb{T}_G$ образуют проективную систему групп. Обозначим через $\mathbb{T}$ проективный предел системы торов $\mathbb{T}_G$. Пусть $\pi_G\colon\mathbb{T}\to\mathbb{T}_G$ – стандартное отображение проекции. Обратный образ $f=\pi_G^*P$ полинома Лорана $P$ на торе $\mathbb{T}_G$ назовем полиномом Лорана на торе $\mathbb{T}$. Кольцо полиномов Лорана на торе $\mathbb{T}$ обозначим через $\mathbb{C}[\mathbb{T}]$. Определение 2.1. Нулевое множество $M_\mathcal I$ конечно порожденного идеала $\mathcal I$ кольца $\mathbb{C}[\mathbb{T}]$ назовем алгебраическим подмногообразием бесконечномерного тора $\mathbb{T}$. Лемма 2.1. Пусть $G$ – подгруппа ${\mathbb{C}^n}^*_+$ такая, что кольцо $\mathbb{C}[\mathbb{T}_G]$ содержит некоторую систему образующих идеала $\mathcal I$. Обозначим через $M_G\subset\mathbb{T}_G$ нулевое множество идеала $\mathcal I\cap\mathbb{C}[\mathbb{T}_G]$. Тогда $M_\mathcal I=\pi^{-1}_GM_G$. Объединения неприводимых многообразий одинаковых размерностей будем называть равноразмерными многообразиями. (Подмногообразия тора $\mathbb{T}$ бесконечномерны и понятия неприводимости для таких многообразий не существует.) Определение 2.2. Если многообразие $M_G\subset\mathbb{T}_G$ равноразмерно, то подмногообразие $M=\pi^{-1}_GM_G\subset\mathbb{T}$ также называется равноразмерным. При $M=\pi^{-1}_GM_G\subset\mathbb{T}$ свойство равноразмерности многообразия $M_G$ (в отличие от свойства неприводимости) не зависит от выбора $G$. Определение 2.3. При $M\,{=}\,\pi^{-1}_GM_G$ коразмерность подмногообразия $M_G\subset\mathbb{T}_G$ (не зависящую от выбора подгруппы $G$) назовем коразмерностью подмногообразия $M\subset\mathbb{T}$. Пусть $\mathcal I_G=\mathcal I\cap\mathbb{C}[\mathbb{T}_G]$, $M_G\subset\mathbb{T}_G$ – нулевое многообразие идеала $\mathcal I_G$, $x\in M_\mathcal I$ и $\pi_G(x)=y$. Если точка $y$ многообразия $M_G$ неособа, то точку $x$ также назовем неособой. Количество содержащих $y$ неприводимых компонент многообразия $M_G$ назовем кратностью точек $y$ и $x$. Лемма 2.2. Свойство точки $x\in M_\mathcal I$ быть неособой, а также ее кратность не зависят от выбора подгруппы $G\subset\mathbb{C}^{n*}$. Доказательство. Пусть $G\subset H\subset\mathbb{C}^{n*}$, $\pi_{H,G}\colon\mathbb{T}_H\to\mathbb{T}_G$ – отображение ограничения характеров $H$ на подгруппу $G$. Тогда $\pi_G=\pi_{H,G}\pi_H$. Предположим, что точка $y\in M_G$ неособа, а ее кратность равна $m$. Пусть $\pi_{H,G}(z)=y$. Докажем, что точка $z\in M_H$ неособая с кратностью $m$. Пусть $G'=\{h\in H\mid\exists\, k\colon h^k\in G\}$. Тогда $\pi_{H,G}=\pi_{H,G'}\pi_{G',G}$. Отображение $\pi_{G',G}$ является конечнолистным неразветвленным накрытием. В этом случае любой из прообразов неособой точки $y\in M_G$ является неособой точкой многообразия $M_{G'}$ кратности $m$. Для отображения $\pi_{H,G'}$ аналогичное утверждение также очевидно. Лемма доказана. Пусть $\iota\colon\mathbb{C}^k\to\mathbb H$ – вложение группы $\mathbb{C}_+^k$ в тор $\mathbb H$. Образ $\iota$ назовем обмоткой тора, а само $\iota$ – отображением обмотки. Если $\iota(\operatorname{Im}\mathbb{C}^k)$ содержится в компактном подторе тора $\mathbb H$, то назовем обмотку $\iota(\mathbb{C}^k)$ квазиалгебраической. Определение 2.4. При $z\in\mathbb{C}^n$ определим характер $\omega_G(z)$ группы $G$ как $\omega_G(z)\colon g\mapsto\mathrm{e}^{\langle z,g\rangle}$. Назовем отображение $\omega_G\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{T}_G$ отображением стандартной обмотки. Проективный предел $\omega\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{T}$ проективной системы отображений $\omega_G$: $\mathbb{C}^n\to\mathbb{T}_G$ также будем называть отображением стандартной обмотки. Обратный образ $\omega^*f$ полинома Лорана $f\in\mathbb{C}[\mathbb{T}]$ является экспоненциальной суммой1. Лемма 2.3. Отображение обратного образа относительно отображения стандартной обмотки устанавливает изоморфизмы 1) кольца экспоненциальных сумм и кольца полиномов Лорана $\mathbb{C}[\mathbb{T}]$ на торе $\mathbb{T}$; 2) кольца экспоненциальных сумм с носителями, принадлежащими группе $G$, и кольца полиномов Лорана $\mathbb{C}[\mathbb{T}_G]$ на торе $\mathbb{T}_G$. Доказательство. По отношению к топологиям Зариского торов $\mathbb{T}_G$ и $\mathbb{T}$ стандартные обмотки $\omega_G(\mathbb{C}^n)\subset\mathbb{T}_G$ и $\omega(\mathbb{C}^n)\subset\mathbb{T}$ являются всюду плотными подмножествами. Лемма доказана. Лемма 2.4. Сдвиговое действие тора $\mathbb{T}$ на кольце $\mathbb{C}[\mathbb{T}]$ задает действие $\mathbb{T}$ на кольце экспоненциальных сумм. Для подгруппы $G\subset{\mathbb{C}^n}^*$ тор $\mathbb{T}_G$ действует на кольце $E_G$, состоящем из экспоненциальных сумм с носителями, принадлежащими $G$. 2.2. Модели $\mathrm{EA}$-множествОбозначим через $E_\infty$ кольцо экспоненциальных сумм, а через $E_G$ – кольцо экспоненциальных сумм с носителями из $G$. Пусть $\mathrm{EA}$-множество $X$ является нулевым множеством конечно порожденного идеала $\mathcal I\subset E_\infty$. Сохраним обозначение $\mathcal I$ для соответствующего идеала кольца $\mathbb{C}[\mathbb{T}]$. Определение 2.5. Назовем многообразие $M_\mathcal I$ моделью $\mathrm{EA}$-множества $X$. Если кольцо $\mathbb{C}[\mathbb{T}_G]$ содержит некоторую систему образующих идеала $\mathcal I$, то мы сохраняем название модели $\mathrm{EA}$-множества $X$ для нулевого многообразия $M\subset\mathbb{T}_G$ идеала $\mathcal I\cap\mathbb{C}[\mathbb{T}_G]$. При $G\subset\operatorname{Re}{\mathbb{C}^n}^*$ будем называть модель $M$ квазиалгебраической. Если $M\,{\subset}\,\mathbb{T}_G$ является моделью $\mathrm{EA}$-множества $X$, то множество точек $X$ совпадает с $\omega_G^{-1}M$. Если обмотка $\omega_G$ является квазиалгебраической, то $\mathrm{EA}$-множество $\omega^{-1}_GM$ является нулевым множеством системы квазиалгебраических экспоненциальных сумм. Далее будем называть такие $\mathrm{EA}$-множества квазиалгебраическими. Определение 2.6. Если модель $\mathrm{EA}$-множества $X$ равноразмерна, то само $\mathrm{EA}$-множество также называется равноразмерным. Любое $\mathrm{EA}$-множество можно представить в виде объединения конечного числа равноразмерных $\mathrm{EA}$-множеств, имеющих разные алгебраические коразмерности. Далее мы по умолчанию предполагаем, что рассматриваемые $\mathrm{EA}$-множества являются равноразмерными. Определение 2.7. Пусть $M$ – модель равноразмерного $\mathrm{EA}$-множества $X$. Положим $\operatorname{codim}_a X=\operatorname{codim} M$ и назовем $\operatorname{codim}_a X$ алгебраической коразмерностью $\mathrm{EA}$-множества $X$. Пример 2.1. Пусть $f,g\in E_G$. Предположим, что $\mathrm{EA}$-множество $X$ задано уравнениями $f=g=0$ и непусто. Тогда, если $f$, $g$ не имеют общего делителя в кольце $E_G$, то $\operatorname{codim}_a X=2$, иначе $\operatorname{codim}_a X=1$. В частности, алгебраическая коразмерность точки $0\in\mathbb{C}$, рассматриваемой как $\mathrm{EA}$-множество с уравнениями $\mathrm{e}^z-1=\mathrm{e}^{\sqrt{2}z}-1=0$, равна $2$. Таким образом, коразмерность $X$, как аналитического множества в $\mathbb{C}^n$, может быть меньше $\operatorname{codim}_a X$. Пусть $(Y,z)$ – неприводимый росток $\mathrm{EA}$-множества $Y$ в точке $z\in Y$. Если коразмерность $(Y,z)$ меньше $\operatorname{codim}_a Y$, то росток называется нетипичным. Известно, что любой нетипичный росток $\mathrm{EA}$-множества принадлежит некоторому собственному аффинному подпространству $\mathbb{C}^n$ [9], [15]. В частности, любая нетипичная компонента $\mathrm{EA}$-множества алгебраической коразмерности $2$ является аффинной гиперплоскостью. Верно, что множество минимальных аффинных подпространств, содержащих нетипичные компоненты, состоит из сдвигов конечного числа векторных подпространств. Кроме того, множество сдвигов каждого из подпространств, в некотором смысле, мало. Явление нетипично больших пересечений алгебраических многообразий с обмотками торов изучается также в алгебраической диофантовой геометрии; см., например, [16]. Пусть $\mathrm{EA}$-множество $X$ задано уравнениями из пространства $E_G$ и $M\subset\mathbb{T}_G$ является моделью $\mathrm{EA}$-множества $X$. При $t\in\mathbb{T}_G$ рассмотрим $\mathrm{EA}$-множество $tX=\omega_G^{-1}(tM)$, где $\omega_G\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{T}_G$ – отображение стандартной обмотки. Многообразие $t M$ является моделью $\mathrm{EA}$-множества $tX$. Будем называть $\mathrm{EA}$-множество $tX$ торическим сдвигом $\mathrm{EA}$-множества $X$. Таким образом, мы получаем действие тора $\mathbb{T}_G$ (а также тора $\mathbb{T}$) на $\mathrm{EA}$-множествах, заданных, как нулевые многообразия систем экспоненциальных сумм из кольца $E_G$. Опишем это действие подробнее. Зафиксируем базис $\alpha_1,\dots,\alpha_N$ группы $G$. Тогда любая экспоненциальная сумма $f\in E_G$ однозначно записывается в виде $f(z)=P(\mathrm{e}^{\alpha_1(z)},\dots,\mathrm{e}^{\alpha_N(z)})$, где $P$ – полином Лорана от $N$ переменных. При $t=(c_1,\dots,c_N)\in(\mathbb{C}\setminus0)^N$ положим $f(z)\stackrel{t}{\mapsto} tf(z)=P(c_1\mathrm{e}^{\alpha_1(z)},\dots,c_N\mathrm{e}^{\alpha_N(z)})$. Если $\mathrm{EA}$-множество $X$ задано уравнениями $f_1=\dots=f_k=0$, то $\mathrm{EA}$-множество $tX$ задано уравнениями $tf_1=\dots=tf_k=0$. Описанное действие тора $\mathbb{T}$ является продолжением сдвигового действия $\mathbb{C}^n$ на экспоненциальных суммах и на $\mathrm{EA}$-множествах. Именно использование такого действия тора $\mathbb{T}$ позволяет корректно определить слабую плотность $\mathrm{EA}$-множеств коразмерности $n$ и, затем, индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств дополнительных коразмерностей; см. ниже теорему 3.1 и определение 3.2. Пусть $\mathrm{EA}$-множество $X$ задано уравнениями из кольца $E_G$, $\operatorname{codim}_a X=n$, $M=\bigcup_i m_iM_i\subset\mathbb{T}_G$ – модель $\mathrm{EA}$-множества $X$, $M_i$ – неприводимые компоненты $M$. Далее мы используем следующее соглашение о кратностях точек $\mathrm{EA}$-множества. Назовем $z$ нормальной точкой $\mathrm{EA}$-множества $X$, если существует $k$ такое, что (i) $\omega_G(z)\in M_k\setminus\bigcup_{i\neq k}M_i$; (ii) точка $\omega_G(z)\in M_k$ неособа; (iii) пересечение стандартной обмотки с многообразием $M_k$ в точке $\omega(z)$ трансверсально. Припишем нормальной точке $z\in\omega_G^{-1}M_k$ кратность $m_k$. Если приписать всем не нормальным изолированным точкам $X$ фиксированную кратность $K$, то определенные ниже слабые плотности и индексы пересечения $\mathrm{EA}$-множества не зависят от выбора $K$. Для большей определенности припишем всем не нормальным изолированным точкам $\mathrm{EA}$-множества нулевую кратность. Из леммы 2.2 вытекает, что кратности точек $\mathrm{EA}$-множества $X$ не зависят от выбора модели $\mathrm{EA}$-множества, т. е. от выбора кольца $E_G$, содержащего уравнения $\mathrm{EA}$-множества $X$. 2.3. Области относительно полной мерыЗдесь определены понятия, участвующие в формулировке теорем 3.1, 3.2. Определение 2.8. Пусть $B_r$ – шар радиуса $r$ в конечномерном евклидовом пространстве $E$ с центром в $0$, $\sigma_n$ – объем $n$-мерного шара радиуса $1$, $Y\subset E$ – дискретное множество снабженных неотрицательными кратностями точек. Пусть $N(Y,r)$ – сумма кратностей точек множества $Y\cap B_r$. Если предел $\lim_{r\to\infty}N(Y,r)/(\sigma_n r^n)$ существует, то назовем его $n$-плотностью множества $Y$ и обозначим через $d_n(Y)$. Пример 2.2. Если $\mathrm{EA}$-множество $X\subset\mathbb{C}^1$ задано уравнением $f(z)=0$, то $1$-плотность $d_1(X)$ существует и равна $p/(2\pi)$, где $p$ – полупериметр многоугольника Ньютона экспоненциальной суммы $f$. В частности, если $f(z)=\mathrm{e}^{\alpha z}-c$, то $d_1(X)=|\alpha|/(2\pi)$ (периметр отрезка считается равным его удвоенной длине). Определение 2.9. 1) Пусть $\mathcal Z\subset E$ – решетка в пространстве $E$, снабженная целой положительной кратностью $m(\mathcal Z)$, $X\subset E$ – множество снабженных кратностями точек. Назовем множество $X\subset E$ $\varepsilon$-возмущением сдвинутой решетки $z+\mathcal Z$, если (i) $X$ принадлежит $\varepsilon$-окрестности $(z+\mathcal Z)_\varepsilon$ сдвинутой решетки; (ii) в $\varepsilon$-окрестности любой точки $x\in z+\mathcal Z$ содержится ровно $m(\mathcal Z)$ точек $X$. 2) Если множества $X_1,\dots,X_m$ являются $\varepsilon$-возмущениями сдвинутых решеток $z_j+\mathcal Z_j$, то назовем множество $\bigcup_{1\leqslant j\leqslant m}X_j$ $\varepsilon$-возмущением объединения сдвинутых решеток $\bigcup_{1\leqslant j\leqslant m}(z_j+\mathcal Z_j)$. Лемма 2.5. Пусть $X$ является $\varepsilon$-возмущением объединения сдвинутых решеток $\{z_j+\mathcal Z_j\}$. Тогда если все решетки $Z_j$ имеют ранг $n$, то $n$-плотность $d_n(X)$ существует и равна $\sum_j d_n(\mathcal Z_j)$. Определение 2.10. Пусть $\mathfrak I=\{I\}$ – конечное множество собственных подпространств конечномерного вещественного векторного пространства $E$, $B_{\mathfrak I}=E\setminus\bigcup_{I\in \mathfrak I}I$, $B_{\mathfrak I,1},B_{\mathfrak I,2},\dots$ – компоненты связности области $B_{\mathfrak I}$. При $0<R\in\mathbb{R}$ обозначим через $B^R_{\mathfrak I}$ подмножество $E$, состоящее из точек, расположенных на расстоянии не меньше $R$ от $\bigcup_{I\in\mathfrak I} I$. Область $U\subset E$ называется областью относительно полной меры, если существуют $\mathfrak I$ и $R>0$ такие, что $U\supset B^R_\mathfrak I$. Множество подпространств $\mathfrak I=\{I\}$ будем называть базой области относительно полной меры. Если в пространстве $E$ задана целочисленная решетка, а все подпространства $I\in\mathfrak I$ рациональны (т. е. порождены точками решетки), то база называется рациональной. Будем говорить, что область относительно полной меры с рациональной базой рациональна. Приведем некоторые следствия определения 2.10. Лемма 2.6. 1) Объединение и пересечение областей относительно полной меры также является областью относительно полной меры. Свойство рациональности области относительно полной меры при объединениях и пересечениях областей относительно полной меры сохраняется. 2) Свойство области быть областью относительно полной меры не зависит от выбора метрики в пространстве $E$. 3) Если подпространство $L\subset E$ не принадлежит базе области относительно полной меры $U$, то $U\cap L$ является областью относительно полной меры в пространстве $L$. 4) Прообраз области относительно полной меры при сюръективном линейном отображении является областью относительно полной меры. 5) Области $B^R_{\mathfrak I,i}= B^R_{\mathfrak I}\cap B_{\mathfrak I,i}$ являются компонентами связности области относительно полной меры $B^R_{\mathfrak I}$. § 3. Основные результатыДалее в этом параграфе используются следующие обозначения: $\bullet$ $\mathbb{R}^n=\operatorname{Re}\mathbb{C}^n$, $\mathbb{R}^{n*}=\operatorname{Re}{\mathbb{C}^n}^*$, $G$ – подгруппа $\mathbb{R}^{n*}_+$ с конечным числом образующих, содержащая базис пространства $\mathbb{R}^{n*}$; $\bullet$ $E_G$ – кольцо экспоненциальных сумм с носителями в $G$; $\bullet$ $\mathbb{T}_G$ – тор характеров группы $G$, $\mathcal T_G$ – алгебра Ли тора $\mathbb{T}_G$; $\bullet$ $\omega_G\colon \mathbb{C}^n\to\mathbb{T}_G$ – отображение стандартной обмотки; $\bullet$ $s_G\colon\mathbb{R}^n\to\operatorname{Re}\mathcal T_G$ – ограничение дифференциала $d\omega_G$ на подпространство $\mathbb{R}^n\subset\mathbb{C}^n$; $L_G=s_G(\mathbb{R}^n)$. Всюду ниже предполагается, что если в некотором утверждении участвует конечный набор $\mathrm{EA}$-множеств и группа $G\subset\mathbb{R}^{n*}$, то эти $\mathrm{EA}$-множества заданы уравнениями из кольца $E_G$. Используя некоторую фиксированную группу $G$, мы определим слабую плотность и индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств. Их значения не зависят от выбора $G$. В п. 3.2 объяснено, что понятия слабой плотности и индекса пересечения $\mathrm{EA}$-множеств имеют тропическое происхождение; см. теоремы 3.5, 3.6. Доказательства этих теорем приведены в § 4. Далее, опираясь на теоремы 3.5, 3.6, мы докажем, что квазиалгебраическое кольцо условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ определено корректно и изоморфно (определенному в п. 5.1) кольцу тропических многообразий в пространстве $\mathbb{R}^n$; см. теорему 3.7. Кроме того, в п. 3.4 приведены некоторые другие геометрические описания кольца $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$. Эти описания в дальнейшем не используются. 3.1. Плотность и индекс пересеченияНиже утверждается следующее. (i) (Теорема 3.1) Для $\mathrm{EA}$-множества $X$ алгебраической коразмерности $n$, существует конечное множество решеток в пространстве $\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$ такое, что верно следующее: для “почти всех достаточно больших” $t\in\mathbb{T}_G$ торический сдвиг $tX$ можно аппроксимировать объединениями сдвигов некоторого зависящего от $t$ подмножества упомянутых решеток. При этом $n$-плотности сдвинутых $\mathrm{EA}$-множеств $tX$ существуют и одинаковы. (ii) (Теорема 3.2) Если $X$, $Y$ – собственные $\mathrm{EA}$-множества суммарной алгебраической коразмерности $n$, то для “почти всех достаточно больших” $z\in\mathbb{C}^n$ $\mathrm{EA}$-множества $(z+X)\cap Y$ равноразмерны; их алгебраические коразмерности равны $n$, а слабые плотности одинаковы. Теорема 3.1. Для любого $\mathrm{EA}$-множества $X$ алгебраической коразмерности $n$ (i) существует конечное множество $\mathfrak I$ собственных подпространств пространства $\operatorname{Re}\mathcal T_G$; (ii) для любой из компонент связности $B_{J,1},B_{J,2},\dots$ области $B_J$ (см. определение 2.10) существует конечное множество возможно иногда совпадающих и снабженных целыми положительными кратностями $n$-мерных решеток
$$
\begin{equation*}
\{\mathcal L_{i,j}\subset\operatorname{Im}\mathbb{C}^n\colon j=1,\dots,N_i\}
\end{equation*}
\notag
$$
такое, что 1) для любого $\varepsilon$ существует $R>0$ такое, что при $t\in \exp(B^R_{\mathfrak I,i}+\operatorname{Im}\mathcal T_G)$ $\mathrm{EA}$-множество $tX$ является $\varepsilon$-возмущением объединения сдвинутых решеток
$$
\begin{equation*}
z_1(t)+\mathcal L_{i,1},\quad\dots,\quad z_{N_i}(t)+\mathcal L_{i,N_i},
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $z_j(t)$ непрерывны; 2) если $R$ достаточно велико, то $n$-плотность $d_n(tX)$ не зависит от выбора связной компоненты $B_{\mathfrak I,i}$. Пример 3.1. При условии $\gamma\,{>}\,1$ рассмотрим экспоненциальную сумму $f(z)\,{=} 1+\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{\gamma z}$ в пространстве $\mathbb{C}^1$ как элемент кольца $E_G$, где $G=\{p+q \gamma$: $p,q\in\mathbb{Z}\}$. В этом случае теорема 3.1 состоит в следующем. Если $(\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2$ и $|{\operatorname{Re}\alpha-\operatorname{Re}\beta}|$ достаточно велико, то нулевое множество экспоненциальной суммы $1+\mathrm{e}^\alpha\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^\beta\mathrm{e}^{\gamma z}$ является достаточно малым возмущением объединения двух сдвинутых арифметических прогрессий вида $z_1(\alpha,\beta)+2\pi i\mathbb{Z}$ и $z_2(\alpha,\beta)+(1/(\gamma-1))2\pi i\mathbb{Z}$. Определение 3.1. Пусть $\mathfrak I$ – множество подпространств из теоремы 3.1. При $t\in \exp(B^R_{\mathfrak I}+\operatorname{Im}\mathcal T_G)$ положим $d_w(X)=d_n(tX)$ и назовем $d_w(X)$ слабой плотностью $\mathrm{EA}$-множества $X$. Если $d_n(X)$ существует и равно $d_w(X)$, то назовем $d_n(X)$ $n$-плотностью $\mathrm{EA}$-множества $X$. По определению плотность и слабая плотность $\mathrm{EA}$-множества сохраняются при сдвиговом действии $\mathbb{C}^n$, т. е. $d_w(X)=d_w(z+X)$. Теорема 3.2. Пусть $\operatorname{codim}_a X+\operatorname{codim}_a Y=n$. Тогда существует конечное множество подпространств $\mathfrak I=\{I\subset\mathbb{R}^n\}$ такое, что верно следующее. Если $R$ достаточно велико и $z\in B^R_{\mathfrak I}+\operatorname{Im}\mathbb C^n$, то $\mathrm{EA}$-множества $(z+X)\cap Y$ равноразмерны, их алгебраические коразмерности равны $n$, а слабые плотности одинаковы. Теорема 3.2 допускает следующее усиление (см. п. 4.3). Теорема 3.3. Пусть $\operatorname{codim}_a X+\operatorname{codim}_a Y=n$. Тогда существует квазиалгебраическая экспоненциальная гиперповерхность $Z$ такая, что при всех $z\notin Z$ $\mathrm{EA}$-множества $(z+X)\cap Y$ равноразмерны, их алгебраические коразмерности равны $n$, а слабые плотности одинаковы. Определение 3.2 (индекс пересечения). Пусть $X,Y$ – $\mathrm{EA}$-множества суммарной алгебраической коразмерности $n$. Положим при $z\in B^R_{\mathfrak I}+\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$, где $B^R_{\mathfrak I}$ – область относительно полной меры из теоремы 3.2. Следующее утверждение является вариантом теоремы BKK для систем квазиалгебраических экспоненциальных сумм. Теорема 3.4. Пусть $\mathrm{EA}$-множества $X_1,\dots,X_n$ являются квазиалгебраическими экспоненциальными гиперповерхностями с уравнениями $f_i=0$ и многогранниками Ньютона $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$. Тогда существует квазиалгебраическая экспоненциальная гиперповерхность $\Xi\subset\mathbb{C}^{n\times n}$ такая, что при $(w_1\times\dots\times w_n)\notin\Xi$ слабая плотность $\mathrm{EA}$-множества с уравнениями $f_i(z+w_i)=0$ равна $(1/(2\pi)^n)n!\,V_n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$. Основным отличием теоремы 3.4 от результатов [10]–[12] является экспоненциальная замкнутость утверждения. Например, в [10] утверждение о плотности доказано только при некоторых субаналитических условиях невырожденности коэффициентов уравнений. 3.2. $\mathrm{EA}$-множества и тропическая геометрияОказывается, что индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств можно рассматривать как некоторую билинейную форму от тропикализаций моделей $\mathrm{EA}$-множеств. Ниже мы используем некоторые понятия и результаты из тропической геометрии. Замкнутое изложение тропической геометрии приведено в § 5. Здесь мы, по возможности, напоминаем необходимые тропические понятия и утверждения. Тропические веера конусов в векторном пространстве $V$ определены в п. 5.1. Классы эквивалентности $k$-мерных тропических вееров (определенные в п. 5.1) называются тропическими многообразиями степени $\dim V-k$. Пространство тропических многообразий старшей степени $1$-мерно. Тропический веер размерности $k$ называется однородным, если любой его конус является гранью некоторого $k$-мерного конуса. Число $\dim V-k$ называется степенью однородного веера. Тропические многообразия образуют коммутативную градуированную $\mathbb{R}$-алгебру $\mathcal V(V)$. Если в пространстве $V$ фиксирована некоторая евклидова метрика, то $\mathbb{R}$-алгебру $\mathcal V(V)$ можно отождествить с $\mathbb{R}$-алгеброй евклидовых тропических многообразий; см. п. 5.2. Напомним, что веер $k$-мерных выпуклых многогранных конусов называется евклидовым тропическим веером, если (см. п. 5.2) 1) конусам старшей размерности приписаны вещественные кратности, называемые весами конусов; 2) веса конусов удовлетворяют некоторым линейным уравнениям, называемым аддитивными или балансовыми соотношениями. Евклидовы тропические веера, имеющие общее тропическое разбиение, называются эквивалентными. Классы эквивалентности называются евклидовыми тропическими многообразиями. Евклидов тропический веер нулевой размерности задается весом нулевого конуса. Будем отождествлять $0$-мерное тропическое многообразие с весом нулевого конуса. Аналогично (см. п. 5.2), если в пространстве $V$ фиксирована некоторая целочисленная решетка, то в кольце $\mathcal V(V)$ содержится $\mathbb{Q}$-алгебра рациональных тропических многообразий $\mathbb{Q}(V)$. Напомним, что $k$-мерный веер выпуклых многогранных рациональных конусов называется $k$-мерным рациональным тропическим веером, если 1) конусам размерности $k$ приписаны рациональные кратности, называемые весами конусов; 2) веса конусов удовлетворяют балансовым соотношениям. Рациональные тропические веера, имеющие общее тропическое разбиение, называются эквивалентными. Классы эквивалентности называются рациональными тропическими многообразиями; см. определение 5.2. Рациональный тропический веер с целыми весами, а также соответствующее тропическое многообразие называются алгебраическими. Любому $k$-мерному алгебраическому многообразию можно сопоставить ненулевое $k$-мерное алгебраическое тропическое многообразие, называемое тропикализацией многообразия; см. п. 5.3. При $g\in\mathbb{T}_G$ тропикализации многообразий $X$ и $gX$ одинаковы. Ниже используются следующие свойства из тропической геометрии. Свойство A. (i) Для алгебраических многообразий $X,Y\subset\mathbb{T}_G$ тропикализация объединения $X\cup Y$ равна сумме тропикализаций. (ii) Для набора $k$ алгебраических многообразий $X_1,\dots,X_k\subset\mathbb{T}_G$ существует алгебраическая гиперповерхность $W\subset(\mathbb{T}_G)^k$ такая, что тропикализация пересечения $\bigcap_{i\leqslant k} g_iX_i$ совпадает с произведением $k$ тропикализаций многообразий $X_i$ при $(g_1,\dots,g_k)\notin W$. При этом, если многообразия $X$, $Y$ равноразмерны, то многообразие $gX\cap Y$ также является равноразмерным. Ниже мы используем ослабленную версию этого утверждения: существует область относительно полной меры с рациональной базой $\mathcal U\subset\operatorname{Re}\mathcal T_G$ такая, что при $\operatorname{Re}\log g\in\mathcal U$ тропикализация пересечения $gX\cap Y$ равна произведению тропикализаций $X$ и $Y$; см. следствие 5.9. Свойство B. Тропикализацией алгебраической гиперповерхности $X\subset\mathbb{T}_G$ с уравнением $f=0$ является тропическое многообразие $\mathcal K_{\Delta,1}$, где $\Delta$ – многогранник Ньютона полинома Лорана $f$; см. определение 5.12 и предложение 5.2, 5). Свойство C. $\mathbb{R}$-алгебра $\mathcal V(V)$ порождена элементами первой степени вида $\mathcal K_{\Delta,1}$, где $\Delta$ – выпуклый многогранник в пространстве $V^*$. Аналогично, $\mathbb{Q}$-алгебра $\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$ порождена элементами вида $\mathcal K_{\Delta,1}$, где $\Delta\subset(\operatorname{Re}\mathcal T_G)^*$ – выпуклый многогранник с вершинами в целых точках; см. теорему 5.3. Свойство D. Отождествим евклидов или рациональный веер $\mathcal K$ степени $N$, т. е. точку $0$ с вещественным или рациональным весом $w_n(\mathcal K)$, соответственно с $w_n(\mathcal K)\in\mathbb{R}$ или с $w_n(\mathcal K)\in\mathbb{Q}$. Тогда задаваемое умножением спаривание $\mathcal V_k(V)\times \mathbb{Q}_{N-k}(V)\to\mathbb{R}$ не имеет ядра; см. предложение 5.1. Отсюда вытекает, что спаривания $\mathcal V_k(V)\times\mathcal V_{N-k}(V)\to\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}_k(V)\times\mathbb{Q}_{N-k}(V)\to\mathbb{Q}$ невырождены; см. теорему 5.2. Свойство E. Для линейного оператора $s\colon V\to U$ определено сохраняющее коразмерности отображение обратного образа $s^*\colon\mathcal V(U)\to\mathcal V(V)$ (см. п. 5.3) такое, что верно следующее. (i) Отображение $s^*$ является гомоморфизмом $\mathbb{R}$-алгебр. (ii) Для $u\colon U\to Z$ верно, что $(s\cdot u)^*=u^*\cdot s^*$. (iii) Пусть $G\subset H\subset\mathbb{R}^{n*}$. Для характера $\chi$ группы $H$ обозначим через $\pi_{H,G}(\chi)$ его ограничение на подгруппу $G$. Отображение $\pi_{H,G}\colon\mathbb{T}_H\to\mathbb{T}_G$ является гомоморфизмом торов. Обозначим через $d\pi_{H,G}\colon\operatorname{Re}\mathcal T_H\to\operatorname{Re}\mathcal T_H$ ограничение дифференциала отображения $\pi_{H,G}$ на $\operatorname{Re}\mathcal T_H$. Тогда для любого многообразия $X\subset\mathbb{T}_G$ верно, $(d\pi_{H,G})^*\mathcal K=\mathcal P$, где $\mathcal K$ и $\mathcal P$ – тропикализации алгебраических многообразий соответственно $X\subset\mathbb{T}_G$ и $\pi^{-1}_{H,G} X\subset\mathbb{T}_H$. (iv) Пусть $\Delta\subset U^*$ – выпуклый многогранник, $\Lambda=s'\Delta$, где $s'\colon U^*\to V^*$ – оператор, сопряженный оператору $s\colon V\to U$. Тогда $s^*\mathcal K_{\Delta,k}=\mathcal K_{\Lambda,k}$. Определение 3.3. Пусть $s^*_G\mathcal K\in\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ – обратный образ тропического веера $\mathcal K\subset\operatorname{Re}\mathcal T_G$ в пространстве $\mathbb{R}^n$ относительно отображения $s_G\colon\mathbb{R}^n\to\operatorname{Re}\mathcal T_G$ (см. обозначения в начале § 3). Используя евклидову метрику пространства $\mathbb{R}^n$, рассмотрим $s^*_G\mathcal K$ как евклидов тропический веер. Если $\operatorname{codim}\mathcal K=n$, то $\dim s^*_G\mathcal K=0$. В этом случае, отождествляя веер $s^*_G\mathcal K$ с весом его нулевого конуса, положим $\mathcal Y_G(\mathcal K)=s^*_G\mathcal K$. Иначе положим $\mathcal Y_G(\mathcal K)=0$. Значение функционала $\mathcal Y_G$ на тропическом веере $\mathcal K$ можно рассматривать как “индекс пересечения” $\mathcal K$ с $n$-мерным евклидовым подпространством $L_G=s_G(\mathbb{R}^n)$, где евклидова метрика пространства $L_G$ взята с пространства $\mathbb{R}^n$. Теорема 3.5. Обозначим через $\operatorname{trop}\nolimits_GX$ тропикализацию модели $\mathrm{EA}$-множества $X$. Пусть $\operatorname{codim}_a X=n$. Тогда Теорема 3.6. Пусть $\operatorname{codim}_a X+\operatorname{codim}_a Z=n$. Тогда Лемма 3.1. Множество $\operatorname{TROP}_G$ тропикализаций моделей $\mathrm{EA}$-множеств образуют подкольцо, порождающее $\mathbb{Q}$-алгебру $\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$. Доказательство. Из свойства A вытекает, что $\operatorname{TROP}_G$ замкнуто относительно операций сложения и умножения. Согласно свойству B тропические веера $\mathcal K_{\Delta,1}$ являются тропикализациями моделей экспоненциальных гиперповерхностей. Теперь нужное утверждение вытекает из свойства C. Лемма доказана. Рассмотрим симметричную билинейную форму $\mathcal Y_G(\mathcal K\cdot\mathcal L)$ на кольце $\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$. Ядро $J_G$ формы $\mathcal Y_G(\mathcal K\cdot\mathcal L)$ является однородным идеалом. Предложение 3.1. $\mathrm{EA}$-множества $X$, $Y$ численно эквивалентны, если и только если $\operatorname{trop}\nolimits_GX=\operatorname{trop}\nolimits_GY\ \operatorname{mod} J_G$. Доказательство. Согласно теореме 3.6 $\mathrm{EA}$-множества $X$, $Y$ численно эквивалентны, если и только если
$$
\begin{equation*}
\forall \, \text{$\mathrm{EA}$-множества } Z\colon\quad\mathcal Y_G\bigl((\operatorname{trop}\nolimits_GX-\operatorname{trop}\nolimits_GY)\cdot \operatorname{trop}\nolimits_GZ\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно свойству D нужное утверждение вытекает из леммы 3.1. Предложение доказано. Следствие 3.1. Отображение $\iota_G\colon X\mapsto\operatorname{trop}\nolimits_GX\ \operatorname{mod} J_G$ продолжается до вложения множеств $\overline\iota_G\colon \mathcal E_G\to\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)/J_G$. Теперь рассмотрим структуру кольца условий $\mathcal E_G$. Лемма 3.2. Пусть $X$, $Y$ – равноразмерные $\mathrm{EA}$-множества, $\operatorname{codim}_a X=\operatorname{codim}_a Y$. Тогда $\operatorname{trop}\nolimits_G(X\cup Y)=\operatorname{trop}\nolimits_G(X)+\operatorname{trop}\nolimits_G(Y)$. Доказательство. Модель объединения двух $\mathrm{EA}$-множеств является объединением их моделей. Аналогично, тропикализация объединения многообразий является суммой их тропикализаций. Лемма доказана. Лемма 3.3. Существует область относительно полной меры $U_{X,Y}\subset\mathbb{R}^n$ (зависящая от $\mathrm{EA}$-множеств $X$, $Y$) такая, что Доказательство. Пусть $M,N\subset\mathbb{T}_G$ – алгебраические многообразия. Согласно свойству A существует рациональная область относительно полной меры $\mathcal U\subset\operatorname{Re}\mathcal T_G$ (см. определение 2.10) такая, что при $\operatorname{Re}\log g\in\mathcal U$ тропикализация многообразия $(gM)\cap N$ равна произведению тропикализаций $M$ и $N$. Отсюда, рассматривая модели $M$, $N$ $\mathrm{EA}$-множеств $X$, $Y$ и их тропикализации $\operatorname{trop}\nolimits_GX$, $\operatorname{trop}\nolimits_GY$, получаем, что при $\operatorname{Re}\log g\in\mathcal U$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{trop}\nolimits_GgX\cap Y=\operatorname{trop}\nolimits_GX\cdot\operatorname{trop}\nolimits_GY.
\end{equation*}
\notag
$$
При любом $z\in\mathbb{C}^n$ многообразие $\omega_G(z)\cdot N$ является моделью $\mathrm{EA}$-множества $z+Y$. Отсюда, если $g=\omega_G(z)$ и $\operatorname{Re}\log g\in\mathcal U$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{trop}\nolimits_G(z+X)\cap Y=\operatorname{trop}\nolimits_GX\cdot\operatorname{trop}\nolimits_GY.
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойства плотности стандартной обмотки вытекает, что $L_G\cap\mathcal U$ (напомним, что $L_G=s_G(\mathbb{R}^n)$, где $s_G=d\omega|_{\mathbb{R}^n}$) является областью относительно полной меры в пространстве $L_G$ (лемма 2.6, 3)). Отсюда, при $U_{X,Y}=s_G^{-1}(L_G\cap\mathcal U)$, получаем нужное утверждение. Лемма доказана. Предложение 3.2. Структура кольца на множестве классов эквивалентности $\mathcal E_G$ определена корректно и вложение множеств $\overline\iota_G\colon \mathcal E_G\to\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)/J_G$ является вложением колец. Доказательство. Согласно леммам 3.2, 3.3 имеем $\iota_G(X\cup Y)=\operatorname{trop}\nolimits_GX+\operatorname{trop}\nolimits_GY\ \operatorname{mod} J_G$ и $\iota_G((z+X)\cap Y)=\operatorname{trop}\nolimits_GX\cdot\operatorname{trop}\nolimits_GY\ \operatorname{mod} J_G$. Нужные утверждения вытекают из инъективности отображения $\overline\iota_G$. Предложение доказано. Предложение 3.3. Отображение $\overline\iota_G\otimes\mathbb{Q}\colon\mathcal E_G\otimes\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)/J_G$ является изоморфизмом $\mathbb{Q}$-алгебр. Доказательство. Согласно лемме 3.1 тропикализации моделей $\mathrm{EA}$-множеств порождают $\mathbb{Q}$-алгебру $\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$ Поэтому утверждение вытекает из инъективности отображения $\overline\iota_G$. Предложение доказано. Лемма 3.4. $\mathbb{Q}$-подалгебра $s^*_G\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$ кольца $\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ порождена тропическими веерами $\mathcal K_{\Delta,1}$, где $\Delta$ пробегает множество выпуклых многогранников в $\mathbb{R}^{n*}$ с вершинами в точках группы $G$. Доказательство. По построению линейный оператор $s'_G\colon(\operatorname{Re}\mathcal T_G)^*\to\mathbb{R}^{n*}$, сопряженный оператору $s_G$, переводит точки решетки характеров тора $\mathbb{T}_G$ в точки группы $G$. Поэтому образ $s'_G(\Lambda)\subset\operatorname{Re}\mathcal T_G$ выпуклого многогранника $\Lambda$ с вершинами в точках решетки характеров является выпуклым многогранником с вершинами в точках $G$. Теперь нужное утверждение вытекает из свойства C и из свойства E, (iv). Лемма доказана. Предложение 3.4. Идеал $J_G$ совпадает с ядром $\ker s^*_G$ отображения обратного образа $s^*_G\colon\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)\to\mathcal V(\mathbb{R}^n)$. Доказательство. Пусть $P$ – однородный полином степени $k$ от $m$ переменных и $\Lambda_1,\dots,\Lambda_m\subset(\operatorname{Re}\mathcal T_G)^*$ – конечный набор выпуклых многогранников с вершинами в точках решетки характеров тора $\mathbb{T}_G$. Положим $\Delta_i\,{=}\,s'_G\Lambda_i\,{\subset}\,\mathbb{R}^{n*}$. Пусть $\mathcal K\in \mathbb{Q}_{n-k}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$. Тогда если $\mathcal K\in J_G$, то
$$
\begin{equation*}
s_G^*(\mathcal K)\cdot P(\mathcal K_{\Delta_1,1},\mathcal K_{\Delta_2,1},\dots)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &s_G^*(\mathcal K)\cdot P(\mathcal K_{\Delta_1,1},\mathcal K_{\Delta_2,1},\dots)= s_G^*(\mathcal K)\cdot P(s_G^*\mathcal K_{\Lambda_1,1},s_G^*\mathcal K_{\Lambda_2,1},\dots) \\ &\ = s_G^*(\mathcal K)\cdot s_G^*P(\mathcal K_{\Lambda_1,1},\dots)= s_G^*\bigl(\mathcal K\cdot P(\mathcal K_{\Lambda_1,1},\dots)\bigr)= \mathcal Y_G\bigl(\mathcal K\cdot P(\mathcal K_{\Lambda_1,1},\dots)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда согласно лемме 3.4 получаем, что $s_G^*\mathcal K\cdot\mathcal R=0$ для любого $\mathcal R\in\mathcal V_{k}(\mathbb{R}^{n*})$, т. е. согласно свойству D $\mathcal K\in\ker s^*_G$. Наоборот, предположим, что $\mathcal K\in \ker s^*_G$. Тогда т. е. $\mathcal K\in J_{\mathcal Y}$. Предложение доказано.Следствие 3.2. Отображение $X\mapsto s^*_G X$ постоянно на классах численной эквивалентности и задает вложение колец $s^*_G\colon \mathcal E_G\hookrightarrow\mathcal V(\mathbb{R}^n)$. 3.3. Тропикализация $\mathrm{EA}$-множестваСначала докажем, что тропический веер $s^*_G\operatorname{trop}\nolimits_GX$ не зависит от выбора подгруппы $G\subset\mathbb{R}^{n*}$ такой, что уравнения $\mathrm{EA}$-множества $X$ лежат в кольце $E_G$. Это означает, что определено отображение множества $\mathrm{EA}$-множеств в кольцо тропических многообразий $\mathcal V(\mathbb{R}^n)$. Определение 3.4. Значение $s^*_G\operatorname{trop}\nolimits_GX$ называется тропикализацией $\mathrm{EA}$-множества $X$. Далее докажем, что отображение тропикализации продолжается до изоморфизма $\mathbb{R}$-алгебр $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ и $\mathcal V(\mathbb{R}^n)$. Предложение 3.5. Пусть $G\subset H\subset\mathbb{R}^{n*}$, $\pi_{H,G}\colon\mathbb{T}_H\to\mathbb{T}_G$ – отображение ограничения характеров группы $H$ на подгруппу $G$. Тогда отображения $s^*_G, s^*_H\cdot (d\pi_{H,G})^*\colon\mathbb{Q}(\operatorname{Re}\mathcal T_G)\to\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ совпадают. Доказательство. По построению $s_G=s_H\cdot d\pi_{H,G}$, т. е. диаграмма коммутативна. Согласно свойству E, (ii) двойственная диаграмма также коммутативна. Предложение доказано. Следствие 3.3. Отображение тропикализации $X\mapsto s^*_G\operatorname{trop}\nolimits_GX\in\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ (i) не зависит от выбора группы $G$, содержащей уравнения $\mathrm{EA}$-множества $X$; (ii) постоянно на классах численной эквивалентности; (iii) задает вложения колец $\overline s^*_G\colon\mathcal E_G\hookrightarrow\mathcal V(\mathbb{R}^n)$. Доказательство. Пусть $G\,{\subset}\, H\,{\subset}\,\mathbb{R}^{n*}$. Согласно свойству E, (iii)$\operatorname{trop}\nolimits_H X\,{=} (d\pi_{H,G})^*\operatorname{trop}\nolimits_GX$. Поэтому все утверждения вытекают из предложения 3.5 и из следствия 3.2. Следствие доказано. При $G\subset H\subset\mathbb{R}^{n*}$ рассмотрим вложение множества $\mathrm{EA}$-множеств с уравнениями из кольца $E_G$ в множество $\mathrm{EA}$-множеств с уравнениями из кольца $E_H$. Из приведенных выше утверждений вытекает, что 1) упомянутые вложения множеств $\mathrm{EA}$-множеств задают вложения колец условий $\nu_{G,H}\colon\mathcal E_G\to\mathcal E_H$ такие, что $\overline s^*_G=\overline s^*_H\cdot\nu_{G,H}$; 2) кольца $\mathcal E_G$ с гомоморфизмами $\nu_{G,H}$ образуют индуктивную систему колец; 3) кольцо условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ является прямым пределом этой индуктивной системы колец; 4) прямой предел $\overline s^*\colon\mathcal E^{\mathrm{quasi}}\to\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ индуктивной системы гомоморфизмов $\overline s^*_G\colon\mathcal E_G\to\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ является вложением колец. Теорема 3.7. Отображение $\overline s^*\colon\mathcal E^{\mathrm{quasi}}\to\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ является изоморфизмом $\mathbb{Z}$-алгебр. Для доказательства теоремы используется следующее утверждение. Лемма 3.5. Кольцо $\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ (рассматриваемое как $\mathbb{Z}$-алгебра) порождено элементами вида $s^*_G(K_{\Lambda,1})$, где $G$ и $\Lambda$ меняются соответственно в множестве конечно порожденных подгрупп пространства $\mathbb{R}^{n*}$ и в множестве выпуклых многогранников с вершинами, принадлежащими решетке характеров тора $\mathbb{T}_G$. Доказательство. Пусть $\Delta\subset\mathbb{R}^{n*}$ – выпуклый многогранник, а $\mathcal K_{\Delta,1}\in\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ – двойственный многограннику $\Delta$ тропический веер коразмерности $1$. По построению линейный оператор $s'_G\colon(\operatorname{Re}\mathcal T_G)^*\to\mathbb{R}^{n*}$, сопряженный оператору $s_G$, переводит точки решетки характеров тора $\mathbb{T}_G$ в точки группы $G$. Выберем группу $G$, содержащую вершины многогранника $\Delta$. Отождествим вершину $\delta\in\Delta$ с характером $\chi_\delta$ тора $\mathbb{T}_G$ таким, что $s'_G(\chi_\delta)=\delta$. Обозначим через $\Lambda$ выпуклую оболочку характеров $\chi_\delta$. Тогда $\Lambda$ является выпуклым многогранником в пространстве $(\operatorname{Re}\mathcal T_G)^*$, и $s'_G(\Lambda)=\Delta$. Отсюда согласно свойству E, (iv) $\mathcal K_{\Delta,1}=s^*_G(\mathcal K_{\Lambda,1})$. Согласно свойству C тропические многообразия вида $\mathcal K_{\Delta,1}$ порождают $\mathbb{R}$-алгебру $\mathcal V(\mathbb{R}^n)$. Теперь остается заметить, что $r\cdot \mathcal K_{\Delta,1}=\mathcal K_{r\cdot\Delta,1}$ при любом вещественном $r>0$. Лемма доказана. Следствие 3.4. $\mathbb{Z}$-алгебра $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ порождена классами эквивалентности экспоненциальных гиперповерхностей. Доказательство. Согласно лемме 3.5 кольцо $\mathcal V(\mathbb{R}^n)$ порождено тропическими веерами вида $\mathcal K_{\Delta,1}$. Каждый такой веер можно представить в виде $s^*_G(\mathcal K_{\Lambda,1})$, где $\Lambda\subset(\operatorname{Re}\mathcal T_G)$ – многогранник Ньютона некоторого полинома Лорана $f$ на торе $\mathbb{T}_G$. Пусть $X$ – экспоненциальная гиперповерхность с моделью $\{f=0\}$. Тогда $(s^*)^{-1}\mathcal K_{\Delta,1}$ является классом численной эквивалентности $\mathrm{EA}$-множества $X$. Следствие доказано. Доказательство теоремы 3.7. Инъективность гомоморфизма $\overline s^*\!\colon\mathcal E^{\mathrm{quasi}}{\kern1pt}{\to} \mathcal V(\mathbb{R}^n)$ вытекает из инъективности гомоморфизмов $s^*_G\colon\mathcal E_G\to\mathcal V(\mathbb{R}^n)$; см. лемму 3.2. Сюръективность $\overline s^*$ вытекает из леммы 3.5, так как тропический веер $\mathcal K_{\Delta,1}$ является образом класса эквивалентности экспоненциальной гиперповерхности. Теорема доказана. 3.4. Другие описания кольца $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$Здесь приведено несколько описаний кольца условий, вытекающих из альтернативных описаний кольца тропических многообразий. Эти описания далее не используются. 3.4.1. Кольцо многогранников (см. [3])Кольцо условий $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}$ можно описать как кольцо, порожденное многогранниками Ньютона экспоненциальных сумм, следующим образом. Повторим здесь определение кольца выпуклых многогранников, приведенное в п. 5.3; см. определение 5.13. Пусть $\mathcal H$ – подпространство виртуальных выпуклых многогранников в $\mathbb{R}^{n*}$, $S=\sum_{m\geqslant0}S_m$ – симметрическая алгебра пространства $\mathcal H$. Для $S_n\ni s=\Delta_1\cdots\Delta_n$ положим $\mathcal I(s)$ равным смешанному объему выпуклых многогранников $\Delta_i$. Свяжем с линейным функционалом $\mathcal I\colon S_n\to\mathbb{R}$ однородный идеал $J\subset S$, порожденный следующими множествами образующих: 1) $\ker\mathcal I$; 2) $\sum_{m>n}S_m$; 3) $\{s\in S_k\mid s\cdot S_{n-k}\subset\ker\mathcal I, \, k=1,\dots,n-1\}$. Теорема 3.8. Для экспоненциальной суммы $f$ обозначим через $\Delta_f$ ее многогранник Ньютона, а через $X_f$ – экспоненциальную гиперповерхность с уравнением $f=0$. Тогда соответствие $X_f\to\Delta_f$ продолжается до изоморфизма колец $\mathcal E^{\mathrm{quasi}} \to S/J$. 3.4.2. Кольцо потоков Монжа–Ампера (см. [4], [5])Смешанным комплексным оператором Монжа–Ампера степени $k$ мы называем отображение
$$
\begin{equation*}
(h_1,\dots,h_k)\mapsto dd^ch_1\wedge\dots\wedge dd^ch_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним: для функции $g$ на комплексном многообразии значение $1$-формы $d^cg$ на касательном векторе $x_t$ равно $dg(-\sqrt{-1}x_t)$. Значения оператора Монжа–Ампера рассматриваются как потоки, т. е. линейные функционалы на пространстве гладких дифференциальных форм степени $2n-2k$ с компактным носителем. Если $h_i$ – непрерывные плюрисубгармонические (в частности, выпуклые) функции в пространстве $\mathbb{C}^n$, то поток $dd^ch_1\wedge\dots\wedge dd^ch_k$ корректно определен. Это значит, что при локально равномерном приближении функций $h_i$ гладкими плюрисубгармоническими функциями, последовательность значений операторов Монжа–Ампера сходится к независящему от выбора приближения потоку. При этом предельный поток продолжается до функционала на пространстве форм с непрерывными коэффициентами, т. е. является потоком типа меры. Непрерывная вещественная функция в пространстве $\mathbb{C}^n$ называется кусочно линейной, если она линейна на любом многограннике $\Delta$ из некоторого конечного множества выпуклых многогранников $\{\Delta\}$ таких, что $\bigcup_{\Delta\in\{\Delta\}} \Delta=\mathbb{C}^n$. Любая кусочно линейная функция является разностью двух выпуклых кусочно линейных функций. Поэтому действие смешанного оператора Монжа–Ампера на кусочно линейных функциях определено, а его значение является потоком типа меры. Определяя произведение потоков Монжа–Ампера как
$$
\begin{equation*}
(dd^ch_1\wedge\dots\wedge dd^ch_p)\cdot (dd^ch_{p+1}\wedge\dots\wedge dd^ch_{p+q})= dd^ch_1\wedge\dots\wedge dd^ch_{p+q},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем кольцо, порожденное значениям оператора Монжа–Ампера на кусочно линейных функциях. Назовем кусочно линейную функцию однородной, если она линейна в каждом из конусов некоторого веера конусов в $\mathbb{C}^n$, носитель которого совпадает со всем пространством. Обозначим через $\mathcal K^{\mathrm{quasi}}$ кольцо, порожденное значениями оператора Монжа–Ампера на однородных кусочно линейных функциях, зависящих только от вещественной части аргумента, т. е. функций $f\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{R}$ таких, что $\forall\, x,y\in\mathbb{R}^n\colon f(x+iy)=f(x)$. Теорема 3.9. Пусть $H_\Delta(z)=\max_{w\in\Delta}\operatorname{Re}\langle z,w\rangle$ – опорная функция выпуклого многогранника $\Delta\subset\operatorname{Re}\mathbb{C}^{n*}$, $\Delta_f$ – многогранник Ньютона экспоненциальной суммы $f\in E_G$. Тогда соответствие $\Delta_f\to dd^cH_{\Delta_f}$ продолжается до изоморфизма колец $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}\to\mathcal K^{\mathrm{quasi}}$. Замечание 3.1. Для общих (не квазиалгебраических экспоненциальных сумм) кольцо условий также изоморфно кольцу потоков Монжа–Ампера кусочно линейных функций в пространстве $\mathbb{C}^n$. 3.4.3. Кусочно полиномиальные функции (см. [17], [18])Непрерывная функция в $\mathbb{R}^n$ называется кусочно полиномиальный, если она является полиномом на каждом из конусов некоторого веера конусов с носителем $\mathbb{R}^n$. В этом определении веер конусов не фиксирован и не предполагается рациональным. Кусочно полиномиальные функции образуют градуированное кольцо $\mathcal R$. Пусть $J$ – идеал кольца $\mathcal R$, порожденный линейными функциями в $\mathbb{R}^n$. Теорема 3.10. Отображение, сопоставляющее экспоненциальной гиперповерхности опорную функцию ее многогранника Ньютона, продолжается до изоморфизма колец $\mathcal E^{\mathrm{quasi}}\to\mathcal R/J$. § 4. Доказательства теорем 3.1–3.6Напомним, что $L_G=s_G(\mathbb{R}^n)$ (см. обозначения в начале § 3). Положим $\mathcal L_G=L_G+iL_G\subset\mathcal T_G$. Рассмотрим евклидову метрику в пространстве $L_G$, индуцированную пространством $\mathbb{R}^n$. Кроме того, выберем метрику в пространстве $V$, согласованную с решеткой однопараметрических подгрупп $\mathbb{Z}^N$ (определение 5.8) и совпадающую с выбранной метрикой на подпространстве $L_G$. Далее мы будем использовать соответствующую этой метрике функцию $\xi_{\mathrm{e}}$ на парах подпространств пространства $V=\operatorname{Re}\mathcal T_G$; см. определение 5.7. Все доказательства в этом разделе целиком основаны на использовании тропической техники. 4.1. Функционал $\mathcal Y_G$Рассмотрим $L_G$ как евклидов тропический веер в пространстве $V$, состоящий из единственного $n$-мерного конуса с весом $1$. Для любого евклидова тропического веера $\mathcal K$ коразмерности $n$ произведение $L_G\cdot\mathcal K$ является $0$-мерным веером. Определение 4.1. Пусть $\mathcal K$ – тропический веер коразмерности $n$. Обозначим через $\mathcal Y_G(\mathcal K)$ вес конуса $0$ в веере $L_G\cdot\mathcal K$. Из определения операций сложения и умножения тропических вееров вытекает, что отображение $\mathcal Y_G\colon\mathcal K\to\mathbb{R}$ является линейным функционалом на пространстве тропических вееров коразмерности $n$. Пусть $\mathbb{S}\subset\mathbb{T}$ – подтор коразмерности $n$ с алгеброй Ли $\mathcal S$, $S_{\mathrm{Re}}=\mathcal S\cap V$, $\mathcal S_{\mathrm{Im}}=\mathcal S\cap\operatorname{Im}\mathcal T$. Предположим, что $L_G\cap S_{\mathrm{Re}}=0$. Тогда множество
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}(\mathbb{S})=\{z\in\mathcal L_G\mid \exp(z)\in\mathbb{S}\}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
является $n$-мерной решеткой в пространстве $\mathcal L_G$, содержащейся в подпространстве $iL_G$. Предложение 4.1. Пусть $d_n(\mathbb{Z}(\mathbb{S}))$ – $n$-плотность решетки $\mathbb{Z}(\mathbb{S})$. Тогда $d_n(\mathbb{Z}(\mathbb{S})) =\xi_{\mathrm{e}}(L_G,S_{\mathrm{Re}}) \cdot\operatorname{vol}(\Pi_{S_{\mathrm{Re}}})$, где $\operatorname{vol}(\Pi_{S_{\mathrm{Re}}})$ – евклидов объем фундаментального параллелепипеда целочисленной решетки подпространства $S_{\mathrm{Re}}$. Доказательство. Напомним, что $\xi_{\mathrm{e}}(L_G,S_{\mathrm{Re}})$ равно коэффициенту искажения площади пространства $L_G$ при отображении проекции $V\to V/S_{\mathrm{Re}}$. Пусть $\operatorname{vol}(\Pi_{\mathrm{Im}\mathcal T/S_\mathrm{Im}})$ – объем фундаментального параллелепипеда $\Pi_{\mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}}$ целочисленной факторрешетки $\mathbb{Z}_{\mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}}$ пространства $\mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}$. Решетка $\mathbb{Z}(\mathbb{S})$ является прообразом решетки $\mathbb{Z}_{\mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}}$ при проекции $iL_G\to \mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}$. Поэтому для $n$-мерного евклидова объема $\mathrm{v}$ фундаментального параллелепипеда решетки $\mathbb{Z}(\mathbb{S})$ верно, что $\mathrm{v}=\operatorname{vol}(\Pi_{\mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}})/\xi_{\mathrm{e}}(L_G,S_{\mathrm{Re}})$. Из согласованности евклидовой и целочисленной структур в пространстве $V$ (см. определение 5.8) вытекает, что $\operatorname{vol} (\Pi_{\mathrm{Im}\mathcal T/S_{\mathrm{Im}}})\cdot\operatorname{vol}(\Pi_{S_{\mathrm{Re}}})=1$, где $\operatorname{vol}(\Pi_{S_{\mathrm{Re}}})$ – объем фундаментального параллелепипеда $\Pi_{S_{\mathrm{Re}}}$ целочисленной решетки в пространстве $S_{\mathrm{Re}}$. Отсюда получаем, что ${\mathrm{v}}^{-1}=\xi_{\mathrm{e}}(L_G,S_{\mathrm{Re}}) \cdot\operatorname{vol}(\Pi_{S_{\mathrm{Re}}})$. Так как $d_n(\mathbb{Z}(\mathbb{S}))={\mathrm{v}}^{-1}$ (см. определение 2.8), то $d_n(\mathbb{Z}(\mathbb{S}))=\xi_{\mathrm{e}}(L_G,S_{\mathrm{Re}}) \cdot\operatorname{vol}(\Pi_{S_{\mathrm{Re}}})$. Предложение доказано. Следствие 4.1. Рассмотрим $S_{\mathrm{Re}}$ как тропический веер из одного конуса с рациональным весом $1$ и обозначим через $ w_{\mathrm{e}}(S_{\mathrm{Re}})$ евклидов вес этого конуса. Тогда $d_n(\mathbb{Z}(\mathbb{S}))=\xi_{\mathrm{e}}(L_G,S_{\mathrm{Re}})\cdot w_{\mathrm{e}}(S_{\mathrm{Re}})$ Доказательство согласно следствию 4.1 вытекает из определения 4.1 и из правила умножения евклидовых вееров (5.3). Замечание 4.1. Предложение 4.1 практически совпадает с теоремой 3.1 для $\mathrm{EA}$-множества, моделью которого является подтор $\mathbb{S}$. 4.2. Слабая плотностьДоказанная здесь теорема 4.1 является симбиозом и уточнением теорем 3.1, 3.5. Доказательство основано на использовании свойств тропикализации алгебраического многообразия. Понятия тропикализации и аппроксимирующих торических языков многообразия определены в п. 5.3. Структура утверждения и его доказательства состоит в следующем. Пусть $M\subset\mathbb{T}_G$ – модель $\mathrm{EA}$-множества $X$, $\operatorname{codim}_a X=n$. Напомним, что $\mathrm{EA}$-множество $g X=\omega^{-1}_G(g^{-1}M)$, где $\omega_G\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{T}_G$ – отображение стандартной обмотки, называется торическим сдвигом $\mathrm{EA}$-множества $X$. Пусть $\mathcal K$ и $T(M)=\{t_{K,\tau}\}$ – соответственно аппроксимирующий тропический веер и множество аппроксимирующих торических языков многообразия $M$ (веер $\mathcal K$ является некоторым разбиением веера $\operatorname{trop}\nolimits_GX$); см. определения 5.14, 5.16 и теорему 5.7. Тогда $T(g^{-1}(M))=\{t_{K,g^{-1}\tau}\}$ является множеством аппроксимирующих языков многообразия $g^{-1}M$. Аппроксимирующий веер многообразия $g^{-1}M$ остается равным $\mathcal K$. Напомним, что $L_G=\operatorname{Re}\log\omega_G(\mathbb{C}^n)\subset V$, а множество $\mathcal D(L_G,\mathcal K)$ содержит все точки $v\in V$ такие, что пересечение $(v+L_G)\,{\cap}\,\operatorname{supp}\mathcal K$ непусто и не трансверсально; см. определение 5.4. Если пересечение $L_G\cap V_K$, где $K\in\mathcal K$, трансверсально, то множество $\omega_G^{-1}\mathbb{T}_K$ является $n$-мерной решеткой $\mathbb{Z}(K)$ в пространстве $\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$. Будет доказано, что при некотором общем $g\in\mathbb{T}_G$ $\mathrm{EA}$-множество $gX$ является малым возмущением объединения сдвигов упомянутых решеток вида $\mathbb{Z}(K)$. Каждая из сдвинутых решеток является прообразом некоторого языка $t_{K,g^{-1}\tau}$ при отображении стандартной обмотки. Малые возмущения таких решеток возникают после замены пересечения обмотки с аппроксимирующими языками многообразия $g^{-1}M$ на пересечение обмотки с самим многообразием. Переходим к точным формулировкам. Далее мы используем следующие обозначения: 1) $\mathcal B$ – связная компонента области $V\setminus\mathcal D(L_G,\mathcal K)$; 2) $U_{R,\mathcal B}=(V\setminus\mathcal D(L_G,\mathcal K)_R)\cap\mathcal B$, $\widetilde U_{R,\mathcal B}=\{g\in\mathbb{T}_G\colon\operatorname{Re}\log g\in U_{R,\mathcal B}\}$; ниже предполагается, что $R$ достаточно велико, $g\in\widetilde U_{R,\mathcal B}$ и $v=\operatorname{Re}\log g\in U_{R,\mathcal B}$; 3) $\mathcal K(\mathcal B)$ – множество конусов $K\in\mathcal K$ таких, что $(v+L_G)\cap K\ne\varnothing$ при $v\in\mathcal B$ (множество $\mathcal K(\mathcal B)$ не зависит от выбора $v\in\mathcal B$, см. лемму 5.1); 4) $T(M;\mathcal B)=\{t_{K,\tau}\in T(M)\colon K\in\mathcal K(\mathcal B)\}$; 5) $d(x,y)$ – расстояние между точками $x,y\in\operatorname{Re}\mathcal T_G$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal Z(\mathcal B)=\{\mathbb{Z}_{1,\mathcal B},\dots,\mathbb{Z}_{N_\mathcal B,\mathcal B}\},
\end{equation*}
\notag
$$
состоящее из решеток $\mathbb{Z}(K)$, соответствующих конусам $K\in\mathcal K(\mathcal B)$. При этом для каждого торического языка $t_{K,\tau}$ с базой $K$ мы включаем в множество $\mathcal Z(\mathcal B)$ отдельную копию решетки $\mathbb{Z}(K)$ и приписываем этой копии кратность, равную кратности языка $t_{K,\tau}$ (см. п. 5.3). Теорема 4.1. Существуют непрерывные функции $h_1,\dots,h_{N_\mathcal B}\colon\widetilde U_{R,\mathcal B}\to\mathbb{C}^n$ такие, что $\mathrm{EA}$-множество $gX$ является малым возмущением объединения $N_\mathcal B$ сдвинутых решеток Кроме того, 1) существует $R_0$ такое, что при $R>R_0$ $\mathrm{EA}$-множество $g X$, рассматриваемое как возмущение объединения сдвинутых решеток (4.2), $\varepsilon$-мало; 2) $d_n(g X)$ не зависит от выбора $g$ и равна $\mathcal Y_G(\operatorname{trop}\nolimits_GX)$. Это утверждение является уточнением теоремы 3.5. Теорема 3.1 также является его следствием. Действительно, согласно определению дискриминанта $\mathcal D(L_G,\mathcal K)$, база области относительно полной меры $V\setminus\mathcal D(L_G,\mathcal K)$ рациональна. Поэтому прообраз области относительно полной меры $V\setminus\mathcal D(L_G,\mathcal K)$ при отображении $s_G\colon\mathbb{R}^n\to\operatorname{Re}\log\mathcal T$ является областью относительно полной меры в пространстве $\mathbb{R}^n$. Из теоремы 4.1 вытекает, что эта область относительно полной меры удовлетворяет условию теоремы 3.1. Начнем доказательство теоремы с нескольких вспомогательных утверждений. Напомним, что торический язык многообразия $M$ с базой $K\in\mathcal K$ – это подмножество $\mathbb{T}_G$ вида $t_{K,\tau}=\tau\exp(K+iV_K)$ и, следовательно, $\operatorname{Re}\log t_{K,\tau}=\operatorname{Re}\log\tau+K$. Лемма 4.1. Если $t_{K,\tau}\in T(M;\mathcal B)$, то пересечение $(v+L_G)\cap \operatorname{Re}\log t_{K,\tau}$ непусто, трансверсально и одноточечно. Доказательство. Если $R$ достаточно велико, то $v-\operatorname{Re}\log\tau\in\mathcal B$. Поэтому пересечение $(v-\operatorname{Re}\log\tau+L_G)\cap K$ трансверсально и одноточечно. Отсюда вытекает, что $(v+L_G)\cap \operatorname{Re}\log t_{K,\tau}=\kappa+\operatorname{Re}\log\tau$, где $\kappa=(v-\operatorname{Re}\log\tau+L_G)\cap K$ является точкой. Лемма доказана. Следствие 4.3. Если $t_{K,\tau}\in T(M;\mathcal B)$, то $\omega_G^{-1}\mathbb{T}_K$ является $n$-мерной решеткой в подпространстве $\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$, а $\omega_G^{-1}t_{K,g^{-1}\tau}$ – непрерывно зависящим от $g\in\widetilde U_{R,\mathcal B}$ сдвигом этой решетки. Доказательство. Нужные утверждения являются следствиями одноточечности пересечений $L_G\cap V_K$ и $L_G\cap(\operatorname{Re}\log\tau-v+K)$, вытекающей из леммы 4.1. Доказательство. Докажем, что $\forall\, S<R\colon\inf_{l\in L_G,\,\xi\in\mathcal K'(\mathcal B)}d(v+l,\xi)>S$. Пусть $B(S)\subset V$ – шар радиуса $S$ с центром в $0$. Тогда $U_{R,\mathcal B}+B(S)\subset U_{R-S,\mathcal B}$. Поэтому $v+x\in U_{R-S,\mathcal B}$ при любом $x\in B(S)$. Отсюда получаем, что для любого $l\in L_G\colon v+x+l\notin\mathcal K'(\mathcal B)$. Лемма доказана. Доказательство. Из определения торического языка вытекает, что все точки множества $\operatorname{Re}\log T'_\mathcal B$ расположены на ограниченном расстоянии от множества $K'(\mathcal B)$. Поэтому утверждение вытекает из леммы 4.2. Следствие доказано. Доказательство теоремы основано на применении теоремы об аппроксимации многообразия торическими языками. Если $T(M)$ – набор аппроксимирующих языков многообразия $M$, то $T(g^{-1}M)=\{t_{K,g^{-1}\tau}\colon t_{K,\tau}\in T(M)\}$ является набором аппроксимирующих языков многообразия $g^{-1}M$. Положим $T(g^{-1}M;\mathcal B)=\{t_{K,g^{-1}\tau}\in T(g^{-1}M)\colon t_{K,\tau}\in T(M;\mathcal B)\}$. Пусть $g\in\widetilde U_{R,\mathcal B}$, где $R$ достаточно велико. Из леммы 4.2 и следствия 4.4 вытекает, что все точки пересечения $\omega_G(\mathbb{C}^n)\cap g^{-1}M$ расположены в области многообразия $g^{-1}M$, аппроксимируемой торическими языками, принадлежащими множеству $T(g^{-1}M;\mathcal B)$. Согласно следствию 4.3 прообраз любого языка $t_{K,g^{-1}\tau}\in T(g^{-1}M;\mathcal B)$ является сдвигом решетки $\mathbb{Z}(K)$, снабженной кратностью, равной кратности языка $t_{K,g^{-1}\tau}$. Из теоремы об аппроксимации вытекает, что прообраз окрестности этого языка является малым возмущением упомянутой сдвинутой решетки. Отсюда следует утверждение теоремы 4.1 о том, что $\mathrm{EA}$-множество $gX$ является малым возмущением множества решеток $\mathcal Z(\mathcal B)$. Переходим к доказательству утверждения о плотности $\mathrm{EA}$-множества $gX$. Плотность $d_n(gX)$ равна сумме плотностей решеток $\mathbb{Z}_{1,\mathcal B},\dots,\mathbb{Z}_{N_\mathcal B,\mathcal B}$, взятых с учетом кратностей, равных кратностям соответствующих торических языков. Пусть решетка $\mathcal Z=\mathbb{Z}_{i,\mathcal B}$ соответствует языку $t_{K,\tau}$. Согласно предложению 4.1 $d_n(\mathcal Z)=m(t_{K,\tau})\cdot\xi_{\mathrm{e}}(L_G,V_K)\cdot\operatorname{vol}(\Pi_{V_K})$, где $m(t_{K,\tau})$ – кратность языка $t_{K,\tau}$, а $\operatorname{vol}(\Pi_{V_K})$ – евклидова площадь фундаментального параллелепипеда целочисленной решетки подпространства $V_K$. Согласно следствию 5.4$d_n(\mathcal Z)=m(t_{K,\tau})\cdot\xi_{\mathrm{e}}(L_G,V_K)\cdot w_{\mathrm{e}}(K)$. Суммируя последнее равенство по всем тропических языкам из множества $T(M;\mathcal B)$, получаем
$$
\begin{equation*}
d_n(gX)=\sum_{K\in\mathcal K(\mathcal B)}\xi_{\mathrm{e}}(L_G,V_K)\cdot w_{\mathrm{e}}(K).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя правило умножения (5.3) для вычисления веса нулевого конуса евклидова тропического веера $\mathcal K\cdot L_G$ (здесь $L_G$ рассматривается как веер, состоящий из единственного конуса с весом $1$), получаем, что $d_n(gX)=\mathcal K\cdot L_G=\mathcal Y(L_G\cdot\mathcal K)$. 4.3. Индекс пересеченияЗдесь помещены доказательства теорем 3.2, 3.3, 3.4 и 3.6. 4.3.1. Доказательство теорем 3.2, 3.3, 3.6Пусть $\mathcal P$, $Q$ – тропикализации равноразмерных алгебраических многообразий $P,Q\subset\mathbb{T}_G$. Напомним, что существует область относительно полной меры $B_\mathcal J\subset V$ с рациональной базой $\mathcal J$ такая, что при достаточно большом $R$ верно следующее (см. определение 2.10 и следствие 5.9): если $\operatorname{Re}\log g\in B_\mathcal J^R$, то многообразие $P\cap gQ$ равноразмерно, а его тропикализация равна $\mathcal P\cdot Q$. Пусть $X,Y\subset\mathbb{T}_G$ – модели $\mathrm{EA}$-множеств $P$, $Q$; см. определение 2.5. Рассмотрим набор подпространств пространства $\mathbb{R}^n$
$$
\begin{equation*}
\mathcal I=\{I\subset\mathbb{R}^n\colon I=s_G^{-1}(J),\, J\in\mathcal J\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти подпространства являются собственными, так как стандартная обмотка $\omega_G$ всюду плотна. Пусть $B_\mathcal I$ – область относительно полной меры с основанием $\mathcal I$. Тогда при достаточно большом $R$ верно следующее: если $z\in B_\mathcal I^R+\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$, то $\mathrm{EA}$-множество $X\cap(z+Y)$ равноразмерно и $\operatorname{trop}\nolimits_G(X\cap(z+Y)) =\operatorname{trop}\nolimits_GX\cdot\operatorname{trop}\nolimits_GY$ (напомним, что через $\operatorname{trop}\nolimits_GZ$ обозначается тропикализация модели $\mathrm{EA}$-множества $Z$). Пусть теперь $\operatorname{codim}_a X+\operatorname{codim}_a Y=n$. Тогда согласно теореме 3.5
$$
\begin{equation*}
d_w(X\cap(z+Y))=\mathcal Y_G\bigl(\operatorname{trop}\nolimits_G(X\cap(z+Y))\bigr)=\mathcal Y_G(\operatorname{trop}\nolimits_GX\cdot\operatorname{trop}\nolimits_GY),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. слабая плотность $d_w(X\cap(z+Y))$ не зависит от выбора $z\in B_\mathcal I^R+\operatorname{Im}\mathbb{C}^n$ и равна $\mathcal Y_G(\operatorname{trop}\nolimits_GX\cdot\operatorname{trop}\nolimits_GY)$. Теоремы 3.2, 3.6 доказаны. Доказательство теоремы 3.3. Пусть $P$, $Q$ – модели $\mathrm{EA}$-множеств $X$, $Y$. Согласно свойству A, (ii) существует алгебраическая гиперповерхность $M\subset\mathbb{T}_G$ такая, что тропикализация многообразия $gP\cap Q$ равна $\operatorname{trop}X\cdot\operatorname{trop}Y$ при любом $g\notin M$. Применяя теорему 3.5, получаем нужное утверждение для экспоненциальной гиперповерхности $Z=\omega_G^{-1}M\subset\mathbb{C}^n$. Теорема 3.3 доказана. 4.3.2. Доказательство теоремы 3.4Пусть $X_1,\dots,X_n$ – экспоненциальные гиперповерхности, $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n\subset\mathbb{R}^{n*}$ – их многогранники Ньютона, $P_1,\dots,P_n\subset\mathbb{T}_G$ – модели $\mathrm{EA}$-множеств $X_i$. Обозначим соответственно через $\Delta_i$ и $\mathcal P_i$ многогранник Ньютона и тропикализацию алгебраической гиперповерхности $P_i$. Согласно свойству A, (ii) существует алгебраическая гиперповерхность $M\,{\subset}\,(\mathbb{T}_G)^n$ такая, что если $(g_1,\dots,g_n)\notin M$, то тропикализация многообразия $g_1P_1\cap\dots\cap g_nP_n$ равна $\mathcal P_1\cdots\mathcal P_n$. Пусть $\Xi\subset(\mathbb{C}^n)^n$ – экспоненциальная гиперповерхность с моделью $M$. Из определения стандартной обмотки (см. определение 2.4) вытекает, что если $(w_1,\dots,w_n)\notin\Xi$, то $(\omega_G(w_1),\dots,\omega_G(w_n))\notin M$. Поэтому согласно теореме 3.7 тропикализация $\mathrm{EA}$-множества $(w_1+X_1)\cap\dots\cap(w_n+X_n)$ равна $s^*_G(\mathcal P_1\cdots\mathcal P_n)$. Из свойства E, (i), свойства B вытекает,что
$$
\begin{equation*}
s^*_G(\mathcal P_1\cdots\mathcal P_n)=s^*_G\mathcal P_1\cdots s^*_G\mathcal P_n= s^*_G\mathcal K_{\Delta_1,1}\cdots s^*_G\mathcal K_{\Delta_n,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойства E, (i) и свойства E, (iv) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
s^*_G(\mathcal P_1\cdots\mathcal P_n)= s^*_G(\mathcal K_{\Delta_1,1}\cdots\mathcal K_{\Delta_n,1})=\mathcal K_{\Lambda_1,1}\cdots\mathcal K_{\Lambda_n,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно тропической теореме Кушниренко–Бернштейна (см. [3])
$$
\begin{equation*}
\mathcal K_{\Lambda_1,1}\cdots\mathcal K_{\Lambda_n,1}=n!\,V_n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает нужное утверждение.
§ 5. Сведения из тропической геометрииЭтот параграф содержит использующиеся в тексте сведения из тропической алгебраической геометрии. В основном эти сведения состоят из описания структуры кольца пересечений тропических многообразий и сопутствующей геометрии выпуклых многогранников. В настоящее время существуют подробные изложения тропической алгебраической геометрии (например, [6], [7], [19], [3]), а также тропической теории пересечений [20], [21]. Нам удобнее использовать ссылки на [8], так как этот текст изначально связан с пересечениями $\mathrm{EA}$-множеств. В соответствии с этим мы используем терминологию, немного отличную от принятой. Все определения в тексте приведены. Нужные факты, в основном, собраны в теоремах 5.1–5.10. Доказательства теорем, как правило, опущены, доказательства вспомогательных утверждений и следствий, как правило, приведены. 5.1. Кольцо тропических многообразийПусть $\mathcal K$ – веер выпуклых конусов в векторном пространстве $V$, $\dim V=N$. Размерностью веера называется максимальная из размерностей его конусов. Веер $\mathcal K$ называется равноразмерным, если любой его конус является гранью некоторого $k$-мерного конуса $K\in\mathcal K$, где $\dim\mathcal K=k$. Далее по умолчанию предполагается, что все веера являются равноразмерными. При $K\in\mathcal K$ обозначим через $V_K\subset V$ подпространство, порожденное конусом $K$. Пусть $W\colon K\mapsto W(K)\in \bigwedge^q V^*$ – функция, значение которой меняет знак при смене ориентации конуса $K$. Рассмотрим веер $\mathcal K$ как полиэдральный комплекс, клетки которого являются конусами. Тогда $W$ является $p$-цепью комплекса $\mathcal K$ с коэффициентами в $\bigwedge^q V^*$. Будем говорить, $W$ является $p$-цепью степени $q$. Определение 5.1. Назовем $k$-цепь $W$ степени $(N-k)$ $k$-мерного веера конусов $\mathcal K$ весовой цепью, если Значение $W(K)$ называется весом конуса $K$. Граница $d W$ $p$-цепи $W$ является $(p-1)$-цепью той же степени. Цепь $W$ называется замкнутой, если $d W=0$. Замечание 5.1. Замкнутость цепи $W$ в публикациях по тропической геометрии иногда называется сбалансированностью весов или аддитивными соотношениями. Любое разбиение тропического веера $\mathcal K$ с наследуемыми от $\mathcal K$ весами также является тропическим веером. Определение 5.3. Два тропических веера называются эквивалентными, если у них существует общее тропическое разбиение. Класс эквивалентности тропических вееров будем называть тропическим многообразием. Замечание 5.2. Иногда (см. [21]), в традициях классической теории пересечений (см., например, [3; п. 4.1.5]), вместо термина “тропическое многообразие” используется термин “тропический цикл”. Определим сложение $k$-мерных тропических вееров $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$ следующим образом. Множество $\operatorname{supp}\mathcal K=\bigcup_{K\in\mathcal K}K$ называется носителем веера $\mathcal K$. Объединение носителей $k$-мерных вееров $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$ распадается в объединение попарно непересекающихся подмножеств трех видов:
$$
\begin{equation*}
\{K\cap L\colon K\in{\mathcal K},\,L\in{\mathcal L}\},\qquad \{K\setminus\operatorname{supp}{\mathcal L}\colon K\in{\mathcal K}\},\qquad \{L\setminus\operatorname{supp}{\mathcal K}\colon L\in{\mathcal L}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подмножества первого вида – конусы, второго и третьего – открытые области конусов. Припишем $k$-мерным подмножествам указанного вида веса по правилу $W(K)+W(L)$, $W(K)$ и $W(L)$ соответственно в первом, втором и третьем случаях, где $W(K)$, $W(L)$ – веса конусов $K$, $L$. Пусть ${\mathcal P}$ – веер конусов с носителем $\operatorname{supp}\mathcal K\cup\operatorname{supp}\mathcal L$ такой, что каждое из указанных выше подмножеств составлено целиком из конусов ${\mathcal P}$ (очевидно, что такие веера существуют). Припишем $k$-мерным конусам ${\mathcal P}$ веса содержащих их подмножеств. Тогда $\mathcal P$ является тропическим веером. Суммы эквивалентных тропических вееров эквивалентны. Поэтому определены также суммы тропических многообразий. Определение 5.4. Пусть $K$, $L$ – выпуклые многогранные конусы размерностей $k$, $l$. Если $\dim(V_K\cap V_L)>k+l-N$, то обозначим через $D(K,L)$ минимальное содержащее $V_K\cup V_L$ собственное подпространство пространства $V$. Иначе положим $D(K,L)=\varnothing$. Назовем $\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})=\bigcup_{K\in\mathcal K,\, L\in\mathcal L}D(K,L)$ дискриминантным множеством пары вееров $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$. Рассмотрим множество пар конусов
$$
\begin{equation}
\mathcal C_v=\{(K\in\mathcal K,\, L\in\mathcal L)\mid \dim K\cap(v+L)=\dim K\cap L=k+l-N\}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Лемма 5.1. Если $u$, $v$ содержатся в общей компоненте связности области $V\setminus \mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$, то $\mathcal C_u=\mathcal C_v$. Доказательство. Множество $v$ таких, что $(K,L)\in\mathcal C_v$, является замыканием некоторой области $U\subset V$. Пусть $v\in\partial U$. Тогда $K\cap(v+L)=K'\cap(v+L')$, где $K'$, $L'$ – грани конусов $K$, $L$, одна из которых является собственной. Если собственной является грань $L'$, то $v\in D(K,L')\subset\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$. Иначе $v\in D(K',L)\subset\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$. Лемма доказана. Далее мы считаем пространство $V$ ориентированным. Кроме того, мы предполагаем, что по умолчанию используются следующие правила согласования ориентаций. Правило 1. Для ориентированных подпространств $E\subset H$ пространства $V$ ориентации $E$, $H$, $H/E$ выбраны так, что изоморфизм $E\times H/E=H$ является изоморфизмом ориентированных пространств. Правило 2. При $G,H\subset U$, $E=G\cap H$, $\dim E=\dim G+\dim H-\dim U$ ориентации $G$, $H$, $E$, $U$ согласованы так, что изоморфизм $U/G\times U/H=U/E$ является изоморфизмом ориентированных пространств. Определим теперь умножение тропических вееров. Пусть $\mathcal K$, $\mathcal L$ – тропические веера с функциями весов $T, U$, $\dim\mathcal K=k$, $\dim\mathcal L=l$. Обозначим через $\mathcal K\cap\mathcal L$ веер всех конусов вида $K\cap L$, где $K\in\mathcal K$, $L\in\mathcal L$. При фиксированном $v\in V\setminus\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$ назначим вес $W(P)$ конуса $P\in\mathcal K\cap\mathcal L$ размерности $k+l-N$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
W_v(P)=\sum_{(K,L)\in\mathcal C_v,\,P = K\cap L} T(K)\wedge U(L).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Ориентации подпространств $V_P$, $V_K$, $V_L$ в правой части (5.2) согласованы по правилу 2. Поэтому знак формы $T(K)\wedge U(L)$ меняется при смене ориентации конуса $P$. Рассмотрим веер $\mathcal K\cdot\mathcal L$, образованный конусами вида $P=K\cap L$ с ненулевыми весами $W_v(P)$, а также всеми гранями таких конусов. Заметим, что веер $\mathcal K\cdot\mathcal L$ может оказаться пустым. Если $u$, $v$ содержатся в общей компоненте связности области $V\setminus \mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$, то согласно лемме 5.1 наборы пар конусов $(K,L)$ в правой части (5.2) для $W_u$ и $W_v$ одинаковы. Теорема 5.1 (см. [8]). Цепь $W_v$ из (5.2) замкнута и не зависит от выбора $v\in V\setminus\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$. Веер $\mathcal K\cdot\mathcal L$ с цепью $W_v$ является тропическим. Таким образом, определено произведение $\mathcal K\cdot\mathcal L$ тропических вееров. Операция умножения коммутативна и ассоциативна. Произведения эквивалентных тропических вееров эквивалентны. Таким образом, определено умножение тропических многообразий. Для $(n-k)$-мерного подпространства $L\subset V$ обозначим через $\mathcal L$ веер с единственным конусом $L$ и некоторым ненулевым весом $U$. Следствие 5.1 (см. [8]). Пусть $\mathcal K$ – $k$-мерный веер конусов с весовой цепью $T$. Тогда если при любом фиксированном $L$ правая часть (5.2) не зависит от выбора $v$, то веер $\mathcal K$ является тропическим. Напомним, что нечетной формой на пространстве $E$ называется нечетная функция на множестве ориентаций пространства $E$ со значениями во внешних формах. Обратный образ нечетной формы при линейном отображении $H\to E$ определен, если ориентации пространств $E$, $H$ согласованы. Интеграл нечетной формы объема любой ограниченной области не зависит от выбора ориентации пространства. Если этот объем положителен, то форма называется положительной. Определение 5.5. Пусть $\mathcal K$ – веер конусов с весовой цепью $W$. Рассмотрим вес $W(K)$ как обратный образ нечетной формы объема $\widetilde W$ на пространстве $V/V_K$. Если для любого $K\in\mathcal K$ форма объема $\widetilde W(K)$ положительна, то веер $\mathcal K$ с весовой цепью $W$ также называется положительным. Пусть $\mathcal K$ – $k$-мерный веер конусов, $K\in\mathcal K$ – ориентированный $l$-мерный конус. Проекции конусов веера $\mathcal K$, содержащих $K$, на пространство $V^K=V/V_K$ образуют $(k-l)$-мерный веер конусов $\mathcal K_{\mathrm{fact}}^K$. Пусть $W$ – $k$-цепь степени $N-k$ на веере $\mathcal K$. Построим $(N-k)$-цепь $W^K$ на веере $\mathcal K_{\mathrm{fact}}^K$, определяя ее значение на $(k-l)$-мерном конусе $L_{\mathrm{fact}}\in \mathcal K_{\mathrm{fact}}^K$ следующим образом. Если $L\in\mathcal K$ является прообразом конуса $L_{\mathrm{fact}}$, то форма $W(L)$ является прообразом некоторой нечетной $(N-k)$-формы $W^K(L_{\mathrm{fact}})$ на пространстве $V^K$. Определение 5.6. Назовем веер $\mathcal K_{\mathrm{fact}}^K$, снабженный цепью $W^K$, $K$-факторизацией веера $\mathcal K$ с цепью $W$. Следующее утверждение является прямым следствием определений. Следствие 5.2. 1) Если $k$-мерный веер $\mathcal K$ тропический, то для любого $K\in\mathcal K$ веер $\mathcal K_{\mathrm{fact}}^K$ также является тропическим. Наоборот, если для любого $(k-1)$-мерного $L\in\mathcal K$ веер $\mathcal K_{\mathrm{fact}}^L$ тропический, то веер $\mathcal K$ также является тропическим. 2) Пусть $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$ – тропические веера, $P\in\mathcal{K}\cap \mathcal{L}$. Предположим, что $P$ принадлежит также веерам $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$. Тогда если $\mathcal K^P_{\mathrm{fact}}\cdot\mathcal L^P_{\mathrm{fact}}\neq0$, то $P\in\mathcal{K\cdot L}$ и $(\mathcal{K}\cdot\mathcal{L})^P_{\mathrm{fact}}=\mathcal K^P_{\mathrm{fact}}\cdot\mathcal L^P_{\mathrm{fact}}$. 5.2. Евклидова и рациональная тропикаПусть в пространстве $V$ задана евклидова метрика или целочисленная решетка. Тогда мы можем рассматривать вес $W$ как числовую функцию $w$ на множестве конусов следующим образом. Пусть $\mathcal K$ – веер в пространстве $V$, $K\in\mathcal K$, $\dim K=\dim\mathcal K=k$, $\Pi$ – параллелепипед со сторонами $\eta_1,\dots,\eta_{N-k}$ в пространстве $V/V_K$. Если пространство $V$ евклидово, то выберем $\Pi$ равным единичному кубу факторметрики в $V/V_K$. Если в $V$ фиксирована решетка и конус $K$ рационален, то выберем $\Pi$ равным фундаментальному кубу факторрешетки в $V/V_K$. Положим $w(K)=W(K)(\eta_1\,{\wedge}\,\cdots\,{\wedge}\,\eta_{N-k})$. В первом и во втором случаях мы будем говорить соответственно о евклидовых и рациональных веерах. Далее мы предполагаем, что веса рациональных вееров рациональны, и рассматриваем евклидовы и рациональные тропические многообразия как градуированные векторные пространства соответственно над полями вещественных и рациональных чисел. Однородными компонентами степени $k$ в этих пространствах являются равноразмерные тропические многообразия коразмерности $k$. Отметим, что при выборе метрики в пространстве $V$ любое тропическое многообразие становится евклидовым. Ниже, используя числовые веса, мы запишем правило умножения (5.2) в виде (5.3), см. ниже. Определение 5.7. Пусть $L$, $S$ – подпространства $V$, в котором зафиксирована или евклидова метрика или целочисленная решетка. Коэффициент искажения площади пространства $L/(L\cap S)$ при отображении проекции $\pi_{L,S}\colon V/(L\cap S) \to V/S$ обозначим через $\xi(L,S)$. При этом (i) если пространство $V$ евклидово, то площади в факторпространствах измеряются при помощи факторметрик; (ii) если в пространстве $V$ задана целочисленная решетка, то подпространства $L$, $S$ предполагаются рациональными, а площади в подпространствах и факторпространствах измеряются при помощи подрешеток и факторрешеток. Если в $V$ заданы и метрика и решетка, то для различения двух видов тропики мы используем нижние индексы, например, $w_{\mathrm{e}}$, $w_{\mathrm{int}}$ для веса $W$ и $\xi_{\mathrm{e}}$, $\xi_{\mathrm{int}}$ для функции $\xi$. Следствие 5.3. 1) $\xi(L,S)=\xi(S,L)$. 2) Функция $\xi(L,S)\cdot\xi(L\cap S,T)$ не меняется при перестановках аргументов $L$, $S$, $T$. 3) Пусть $\Pi_L$ – единичный куб евклидовой метрики или целочисленной решетки подпространства $L$. Тогда если $\dim L + \dim S = N$, то $\xi(S,L)$ равно соответственно евклидову или целочисленному объему параллелепипеда, составленного из параллелепипедов $\Pi_L$, $\Pi_S$. Замечание 5.3. Пусть $\mathbb{L}$, $\mathbb{S}$ – подторы, порожденные экспонентами рациональных подпространств $L$, $S$. Тогда если $\operatorname{codim} L\cap S=\operatorname{codim} L+\operatorname{codim} S$, то $\mathbb {L\cap S}$ является объединением $\xi(L,S)$ сдвигов некоторого подтора размерности $\dim (L\cap S)$; см. лемму 5.3. Для евклидовых и рациональных вееров (5.2) переписывается как
$$
\begin{equation}
w(P)=\sum_{(K,L)\in\mathcal C_v,\, P = K\cap L} \xi(V_K,V_L)\cdot w(K)\cdot w(L).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Следующие две теоремы тропической геометрии удобно формулировать на языке евклидовых и рациональных многообразий. Обозначим эти алгебры соответственно через ${\mathbb E}(V)$ и $\mathbb{Q}(V)$. Евклидов или рациональный веер степени $N$, т. е. точку $0$ с вещественным или рациональным весом, отождествим соответственно с $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Q}$. Таким образом, операция умножения задает спаривания
$$
\begin{equation*}
\mathcal P_k\colon{\mathbb E}_k(V)\times{\mathbb E}_{N-k}(V)\to\mathbb{R},\qquad \mathcal Q_k\colon\mathbb{Q}_k(V)\times\mathbb{Q}_{N-k}(V)\to\mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.2 (см. [8]). Спаривания $\mathcal P_k$ и $\mathcal Q_k$ невырождены. Напомним (см. п. 5.3), что любому выпуклому многограннику $\Delta$ сопоставлен веер конусов $\mathcal K_{\Delta,k}$, состоящий из конусов, двойственных граням $\Delta$ размерности не больше $k$. Снабдим конусы коразмерности $k$ весами, равными площадям двойственных граней. Веер $\mathcal K_{\Delta,k}$ является евклидовым тропическим веером. Если вершины $\Delta$ целочисленные, а площади граней измерены при помощи целочисленной решетки, то $\mathcal K_{\Delta,k}$ является рациональным тропическим веером. Теорема 5.3 (см. [8]). Алгебры ${\mathbb E}(V)$, $\mathbb{Q}(V)$ порождены элементами степени $1$ вида $\mathcal K_{\Delta,1}$. В заключение приведем несколько утверждений, использующихся в контексте $\mathrm{EA}$-множеств. Начнем с одного уточнения теоремы 5.2. Доказательство. Предположим обратное. Тогда существует $\mathcal L\in\mathbb E(V)$ такое, что $\mathcal L\cdot\mathcal K_{\Delta,1}=0$ для любого многогранника $\Delta$ с рациональными вершинами. Докажем, что в этом случае $\mathcal L$ принадлежит ядру спаривания $\mathbb E(V)\times\mathbb E(V)\to\mathbb{R}$, что противоречит теореме 5.2. Любой выпуклый многогранник $\Lambda$ является пересечением аффинных полупространств $U_p\subset V^*$, границы которых содержат грани $\Lambda$ размерности $N-1$. Предположим, что $U_p$ образуют набор полупространств общего положения (такие многогранники называются простыми). Рассмотрим близкие к $U_p$ рациональные полупространства $U_{p,i}$. Тогда $\Lambda_i=\bigcap_p U_{p,i}$ являются простыми многогранниками с рациональными вершинами. При этом если $\lim_{i\to\infty} U_{p,i}=U_p$, то из определения произведения евклидовых тропических многообразий вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\forall\, \mathcal K\in\mathbb E(V)\colon\quad \lim_{i\to\infty} \mathcal K\cdot\mathcal K_{\Lambda_i,1}=\mathcal K\cdot\mathcal K_{\Lambda,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что $\mathcal L\cdot\mathcal K_{\Lambda,1}=0$ для любого простого многогранника $\Lambda\,{\subset}\, V^*$. Теперь остается вспомнить, что любой выпуклый многогранник является разностью двух простых (это означает, что существуют простые многогранники $\Lambda_1$, $\Lambda_2$ такие, что $\mathcal K_{\Delta,1}=\mathcal K_{\Lambda_1,1}-\mathcal K_{\Lambda_2,1}$) и сослаться на теорему 5.3. Предложение доказано. Определение 5.8. Будем говорить, что евклидова структура и целочисленная решетка $\mathbb{Z}^N\subset V$ согласованы, если некоторый базис решетки $\mathbb{Z}^N$ является ортонормированным. Ниже в этом параграфе мы предполагаем, что евклидова структура и целочисленная решетка согласованы. Кроме того, мы используем обозначения $\operatorname{vol}_{\mathrm{e}}$ и $\operatorname{vol}_{\mathrm{int}}$ для евклидовых и целочисленных площадей тел, расположенных в подпространствах или факторпространствах $V$. Лемма 5.2. Пусть $L$ – рациональное подпространство $V$, $\Pi_L$ – фундаментальный параллелепипед целочисленной решетки в $L$. Тогда в факторпространстве $V/L$ верно, что $\operatorname{vol}_{\mathrm{int}} =\operatorname{vol}_{\mathrm{e}}(\Pi_L)\cdot\operatorname{vol}_{\mathrm{e}}$. Следствие 5.4. Рассмотрим $L$ как рациональный тропический веер с единственным конусом веса $1$. Тогда вес конуса $L$ в соответствующем евклидовом тропическом веере равен $\operatorname{vol}_{\mathrm{e}}(\Pi_L)$. Доказательство. Пусть $f_1,\dots$ – стороны куба целочисленной решетки факторпространства $V/L$. По определению$W(L)(f_1\wedge f_2\wedge\cdots)=1$. Евклидов вес $w_{\mathrm{e}}(L)$ по определению равен $W(L)(e_1\wedge e_2\wedge\cdots)$, где $e_1,\dots$ – ортонормированный базис факторметрики пространства $V/L$. Отсюда по лемме 5.2 $w_{\mathrm{e}}(L)=\operatorname{vol}_{\mathrm{e}}\Pi_L$. Следствие доказано. 5.3. Обратные образы тропических многообразийЗдесь определен прообраз $s^*\mathcal K$ тропического веера $\mathcal K\subset U$ относительно линейного оператора $s\colon V\to U$, где $V$ – пространство с фиксированной ориентацией. Свойства отображения обратного образа применяются в доказательстве основных результатов о $\mathrm{EA}$-множествах; см. п. 3.2 и п. 3.3. После вывода основного результата мы помещаем некоторые его следствия из геометрии выпуклых многогранников. Далее предполагается, что зафиксирована некоторая ориентация ядра оператора $s$. Если оператор $s$ сюръективен, то прообразы $s^{-1}K$ конусов $K\in\mathcal K$ образуют веер конусов $\{s^{-1}K\colon K\in\mathcal K\}$ в пространстве $V$. Пусть $W$ – весовая цепь на веере $\mathcal K$. Согласуем ориентации любого подпространства $E\subset U$ с ориентацией подпространства $s^{-1}E\subset V$ по правилам 1, 2. Отображение $s$ устанавливает изоморфизм факторпространств $U/U_K$ и $V/V_{s^{-1}K}$. Поэтому упомянутое согласование позволяет рассматривать обратный образ $s^*(W(K))$ веса $W(K)$ как вес конуса $s^{-1}K$. Для сюръективного оператора $s$ обозначим через $s^*\mathcal K$ веер, состоящий из конусов $s^{-1}K$ с весами $s^*(W(K))$. Определение 5.9. Назовем тропический веер $s^*\mathcal K$ обратным образом тропического веера $\mathcal K$ относительно сюръективного оператора $s$. Если оператор $s$ инъективен, то отождествим его образ $s(V)$ с подпространством $V\subset U$. Рассмотрим $V$ как тропический веер в пространстве $U$ с единственным конусом и любым ненулевым весом $T(V)$. Тогда $\operatorname{supp}(\mathcal K\cdot V)\subset V$. Пусть $L$ – конус максимальной размерности веера $\mathcal K\cdot V$. Тогда вес конуса $L$ равен $T(V)\wedge W(L)$, где $W(L)$ – однозначно определенная форма объема в пространстве $V/V_L$. Определение 5.10. Построенный тропический веер в пространстве $V$ с весовой цепью $W$ обозначим через $s^*\mathcal K$ и назовем обратным образом тропического веера $\mathcal K$ относительно инъективного оператора $s$. Определим теперь обратный образ тропического веера относительно любого линейного оператора $s\colon V\to U$ следующим образом. Представим $s$ в виде $s=s_{\mathrm{inj}}\cdot s_{\mathrm{surj}}$, где оператор $s_{\mathrm{surj}}\colon V\to s(V)$ сюръективен, а оператор $s_{\mathrm{inj}}\colon s(V)\to U$ инъективен. Основной результат об обратных образах тропических многообразий состоит в следующем (в формулировке последнего утверждения теоремы используется приведенное ниже определение 5.12). Теорема 5.4. 1) Для любого фиксированного $s\colon V\to U$ отображение $\mathcal K\mapsto s^*\mathcal K$ является гомоморфизмом колец $s^*\colon\mathcal V(U)\to\mathcal V(V)$. 2) Если $s=s_1\cdot s_2$, то $s^*=s_2^*\cdot s_1^*$. 3) Пусть $\Delta\subset U^*$ – выпуклый многогранник, $\Lambda=s'\Delta$, где $s'\colon U^*\to V^*$ – оператор, сопряженный оператору $s\colon V\to U$. Тогда $s^*\mathcal K_{\Delta,k}=\mathcal K_{\Lambda,k}$. Начнем с формулировки некоторых свойств выпуклых многогранников, использующихся в выводе теоремы 5.4. Пусть $\Delta\subset V^*$ – выпуклый многогранник. Обозначим через $\Gamma_*\subset V$ двойственный конус грани $\Gamma\subset\Delta$. Напомним, что $\Gamma_*$ состоит из векторов $v\in V$ таких, что линейный функционал $v\colon\Delta\to\mathbb{R}$ достигает максимума во всех точках грани $\Gamma$. По построению $\dim\Gamma_*+\dim\Gamma=N$. Двойственные конусы всех граней многогранника образуют веер конусов $\mathcal K_\Delta$ с носителем $V$. При $k\leqslant N$ определим весовую $k$-цепь $W_k$ веера $\mathcal K_\Delta$ следующим образом. Обозначим через $T_\Gamma\subset V^*$ касательное пространство $k$-мерной грани $\Gamma\,{\subset}\,\Delta$. Оно двойственно факторпространству $V/V_{\Gamma_*}$. Пусть $\xi_1,\dots,\xi_k\in V/V_{\Gamma_*}$. Рассмотрим $|\xi_1\wedge\dots\wedge\xi_k|$ как положительную форму объема на пространстве $T_\Gamma$ (см. определение 5.5) и положим
$$
\begin{equation}
W_k(\Gamma_*)(\xi_1\wedge\dots\wedge\xi_k)=\frac{1}{k!}\int_\Gamma|\xi_1\wedge\dots\wedge\xi_k|.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Определение 5.12. Обозначим через $\mathcal K_{\Delta,k}$ $(N-k)$-мерный веер конусов, двойственных граням $\Delta$ размерности не меньше $k$, с построенной выше весовой цепью $W_k$. Предложение 5.2. 1) Веер $\mathcal K_{\Delta,k}$ является тропическим. 2) Отображение $\Delta\to\mathcal K_{\Delta,1}$ переводит сложение Минковского многогранников в сложение тропических вееров. 3) $\mathcal K^k_{\Delta,1}=k!\,\mathcal K_{\Delta,k}$. 4) Если зафиксировать в пространствах $V$, $V^*$ двойственные евклидовы метрики, то числовое значение веса $W_k(\Gamma_*)$ равно евклидовой площади $k$-мерной грани $\Gamma$. 5) Зафиксируем в пространствах $V$, $V^*$ двойственные целочисленные решетки, и предположим, что вершины многогранника $\Delta$ целочисленны. Тогда числовое значение веса $W_k(\Gamma_*)$ равно площади $k$-мерной площади $\Gamma$, измеренной при помощи целочисленной решетки в касательном пространстве грани. Доказательство. Утверждения 1), 2), 4), 5) являются прямыми следствиями определений. Утверждение 3) является тропической версией теоремы Кушниренко; см. [3; § 3]. Предложение доказано. Пусть $E\subset U$, $E^*=U^*/E^\bot$, где $E^\bot$ – подпространство функционалов, обращающихся в $0$ на $E$, $\pi\colon U^*\to E^*$ – отображение проекции, $\pi \Delta$ – образ проекции выпуклого многогранника $\Delta\subset U^*$. Выберем в пространстве $U$ произвольную евклидову метрику и рассмотрим подпространство $E$ как евклидов тропический веер, состоящий из единственного конуса с весом $1$. Обозначим через $\mathcal L_{\pi\Delta}$ двойственный тропический веер многогранника $\pi\Delta$ в пространстве $E$. Доказательство вытекает из предложения 5.2, 4) и определения произведения евклидовых тропических вееров; см. (5.3). Переходим к доказательству теоремы 5.4. Сначала докажем утверждение 3). Если оператор $s$ сюръективен, то сопряженный оператор $s'$ инъективен и многогранник $s'\Delta$ лежит в подпространстве $s'(U^*)\subset V^*$. В этом случае утверждение 3) является прямым следствием двух определений: определения 5.12 и определения 5.9. Если оператор $s$ инъективен, то сопряженный оператор $s'$ сюръективен. В этом случае согласно определению 5.10 утверждение 3) совпадает со следствием 5.5 при $E=s(V)$. Если $s=s_{\mathrm{inj}}\cdot s_{\mathrm{surj}}$, то $s'\Delta=s'_{\mathrm{surj}}s'_{\mathrm{inj}}\Delta$. Поэтому согласно определению 5.11 нужное утверждение сводится к предыдущему. Утверждение 3) доказано. Переходим к доказательству 2). Для тропических вееров вида $\mathcal K_{\Delta,k}$ утверждение 2) вытекает из 3). Действительно,
$$
\begin{equation*}
s_2^*s_1^*\mathcal K_{\Delta,k}=s_2^*\mathcal K_{s_1'\Delta,k}=\mathcal K_{s'_2s'_1\Delta,k}=\mathcal K_{(s_1s_2)'\Delta,k}=(s_1s_2)^*\mathcal K_{\Delta,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 5.3 и предложению 5.2, 2) любое тропическое многообразие $\mathcal K$ степени $k$ можно представить в виде конечной суммы $\sum_\Delta\mathcal K_{\Delta,k}$. Отображение обратного образа $s^*\colon\mathcal V(U)\to\mathcal V(V)$ является линейным. Поэтому 2) вытекает из 3). Для доказательства утверждения 1) нам потребуются некоторые дополнительные аргументы из геометрии многогранников. Определим кольцо выпуклых многогранников в $N$-мерном векторном пространстве $E$ следующим образом. Пусть $H$ – пространство виртуальных выпуклых многогранников в $E$ (напомним, что виртуальный многогранник – это формальная разность двух выпуклых многогранников), $\mathcal S(E)=\sum_{m\geqslant0}\mathcal S_m(E)$ – симметрическая алгебра пространства $H$. Для $\mathcal S_N(E)\ni s=\Delta_1\cdots\Delta_N$ положим $I_E(s)$ равным смешанному объему выпуклых многогранников $\Delta_i$. Свяжем с линейным функционалом $I_E\colon \mathcal S_N(E)\to\mathbb{R}$ однородный идеал $J_E\subset \mathcal S(E)$, порожденный следующими множествами образующих: 1) $\ker I_E$; 2) $\sum_{m>N}\mathcal S_m(E)$; 3) $\{s\in\mathcal S_k(E)\mid s\cdot\mathcal S_{N-k}(E)\subset\ker I_E,\, k=1,\dots,N-1\}$. Отметим, что идеал $J_E$ не зависит от выбора меры Лебега в пространстве $E$, используемой для вычисления объема. Определение 5.13. Положим $\operatorname{Pol}(E)=\mathcal S(E)/J$ и назовем $\mathbb{R}$-алгебру $\operatorname{Pol}(E)$ кольцом выпуклых многогранников в пространстве $E$. Теорема 5.5 (см. [3]). Сопоставление выпуклому многограннику $\Delta\subset V^*$ тропического веера $K_{\Delta,1}$ продолжается до изоморфизма $\mathcal N(V)\colon\operatorname{Pol}(V^*)\to\mathcal V(V)$ кольца выпуклых многогранников в кольцо тропических многообразий. Теорема 5.6. Линейный оператор $s'\colon U^*\to V^*$ продолжается до гомоморфизма колец многогранников $\operatorname{Pol}(s)\colon \operatorname{Pol}(U^*)\to \operatorname{Pol}(V^*)$. Доказательство. Оператор $s'$ очевидным образом продолжается до гомоморфизма колец $\mathcal S(s)\colon\mathcal S(U^*)\to\mathcal S(V^*)$. Таким образом, остается доказать, что $\mathcal S(s)(J_{U^*})\subset J_{V^*}$. Согласно доказанному выше утверждению 3) теоремы 5.4 следующая диаграмма коммутативна: Пусть $\mathcal P\in J_{U^*}$. Тогда согласно теореме 5.5 $\mathcal N(U)\mathcal P=0$. Из коммутативности диаграммы (5.5) вытекает, что $\mathcal N(V)\mathcal S(s)\mathcal P=0$. Снова, применяя теорему 5.5, получаем, что $\mathcal S(s)\mathcal P\in J_{V^*}$. Теорема доказана. Утверждение 1) теоремы 5.4 является следствием теоремы 5.6. Теорема 5.4 доказана. 5.4. Тропикализация многообразия5.4.1. Торические языки многообразияПусть $V=\operatorname{Re}\mathcal T$ и $\mathbb{Z}^N\subset V$ – решетка однопараметрических тора $\mathbb{T}$. Здесь рассматриваются рациональные тропические веера в пространстве $V$ с положительными целыми весами. Такие веера и соответствующие тропические многообразия называются алгебраическими. В тропической алгебраической геометрии $k$-мерному алгебраическому многообразию $M\subset\mathbb{T}$ сопоставляется называемый веером Бергмана $k$-мерный алгебраический веер $\mathcal K$ в пространстве $V$ (см., например, [22], [8], [3]). Соответствующее тропическое многообразие определено однозначно и называется тропикализацией $M$. Тропикализацию можно рассматривать как некоторую аппроксимацию многообразия $M$ вблизи бесконечности; см. теорему 5.7. Это свойство аппроксимации однозначно выделяет тропикализацию $M$ среди тропических многообразий. Приведем нужные для описания этой аппроксимации определения и обозначения: (i) $\mathbb{T}_K$ – подтор $\mathbb{T}$, порожденный экспонентами конуса $K$; (ii) $A_R$ – $R$-окрестность множества $A\subset V$, т. е. множество точек, расположенных на расстоянии не больше $R$ от $A$; (iii) $\mathcal K^m$ – подвеер веера $\mathcal K$, состоящий из конусов размерности не больше $k- m$; (iv) $\operatorname{supp}\mathcal K$ – объединение конусов веера $\mathcal K$ с ненулевыми весами; (v) $O_R(\mathcal K)=\{\tau\in\mathbb{T}\colon\operatorname{Re}\log\tau\notin (\operatorname{supp}\mathcal K^1)_R\}$. Определение 5.14. Пусть $K\subset V$ – выпуклый рациональный конус. Назовем область $t_{K,\tau}=\tau\exp(\sqrt{-1}\,V_K)\exp(K)\subset\tau\mathbb{T}_K$ торическим языком с базой $K$ и сдвигом $\tau\in\mathbb{T}$. Пусть $M$ – $k$-мерное алгебраическое многообразие, $U$ – открытая область сдвинутого подтора $\tau\mathbb{L}\subset\mathbb{T}$ размерности $k$, $\mathbb{V}$ – подтор $\mathbb{T}$ размерности $N-k$ такой, что $\#(\mathbb{L}\cap\mathbb{V})=1$, $\mathbb{V}_\varepsilon$ – $\varepsilon$-окрестность единицы в подторе $\mathbb{V}$ и $U_\varepsilon=\{l\cdot v\mid l\in U,\, v\in V_\varepsilon\}$. Рассмотрим отображение $\pi_\varepsilon\colon U_\varepsilon\to U$, определенное как $\pi_\varepsilon\colon l\cdot v\mapsto l$. Определение 5.15. Назовем $M\cap U_\varepsilon$ $\varepsilon$-возмущением области $U$, если ограничение $\pi_\varepsilon$ на $M\cap U_\varepsilon$ является конечнолистным неразветвленным накрытием $U$. Определение 5.16. Пусть $M\subset\mathbb{T}$ – $k$-мерное алгебраическое многообразие, $T(M)$ – конечное множество попарно непересекающихся $k$-мерных торических языков, $\mathcal K$ – $k$-мерный веер конусов. Назовем $T(M)$ аппроксимирующим набором языков многообразия $M$ с аппроксимирующим веером $\mathcal K$, если верно следующее: (i) множество баз языков совпадает с множеством $k$-мерных конусов веера $\mathcal K$; (ii) для любого $\varepsilon$ существует $R$ такое, что в области $O_{R}(\mathcal K)$ многообразие $M$ совпадает с объединением $\varepsilon$-возмущений всех областей вида $O_{R-1}(\mathcal K)\cap t_{K,\tau}$ при $\{t_{K,\tau}\}\in T(\mathcal K)$. Будем называть эти возмущения возмущениями торических языков, а степени накрытий – весами этих языков. Для любого $k$-мерного конуса $K\in\mathcal K$ определим его вес как где суммирование идет по всем языкам $t_{K,\tau}\in T(M)$ с базой $K$, а $m(t_{K,\tau})$ – вес языка $t_{K,\tau}$.Теорема 5.7. Для любого многообразия $M$ аппроксимирующий веер конусов $\mathcal K$ и аппроксимирующий набор языков $T(M)$ из определения 5.16 существуют. Веера $\mathcal K$ с весами из (5.6) являются алгебраическими. Все такие алгебраические веера эквивалентны. Замечание 5.4. 1) Если $\dim M=0$, то $T(M)$ совпадает с множеством точек многообразия. 2) При $\dim M>0$ языки из множества $T(M)$ определены неоднозначно. Например, если при $s\in\exp(K)$ заменить язык $t_{K,\tau}$ языком $s\cdot t_{K,\tau}=t_{K,s\tau}$, то при соответствующем увеличении $R$ утверждение об аппроксимации остается верным. Кроме того, любое разбиение аппроксимирующего веера $\mathcal K$ остается аппроксимирующим. При измельчении $\mathcal K$ тропические языки также измельчаются. 3) При сдвиге $M\mapsto gM$ торические языки из множества $T(M)$ также сдвигаются: $T(gM)=\{t_{K,g\tau}\colon t_{K,\tau}\in T(M)\}$. Определение 5.17. Веера из условия теоремы 5.7 называются тропическими веерами многообразия $M$. Класс эквивалентности тропических вееров называется тропикализацией многообразия. Следствие 5.6. Тропический веер сдвига $\tau\mathbb{L}$ подтора $\mathbb{L}\subset\mathbb{T}$ с алгеброй Ли $\mathcal L$ состоит из единственного конуса $L=\mathcal L\cap V$ с целочисленным весом $w_r(L)=1$. Следствие 5.7. Пусть $M=\bigcup_i m_iM_i$, где $M_i$ – неприводимы и $M_i\ne M_j$ при $i\ne j$. Тогда тропикализация многообразия $M$ равна $\sum_i m_i\mathcal M_i$, где $\mathcal M_i$ – тропикализации неприводимых компонент $M_i$. Кроме того, при достаточно большом $R$ все особые точки многообразий $M_i$, а также все точки попарных пересечений $M_i\cap M_j$ содержатся в $\exp^{-1}(\mathcal K^1_R+\operatorname{Im}\mathcal T)$. Следствие 5.8. Пусть $\mathcal K$ – тропический веер многообразия $M$. Тогда если $R$ достаточно велико, то $\operatorname{Re}\log M\subset(\operatorname{supp}\mathcal K)_R$. Доказательство. По определению при $t_{K,\tau}\in T(M)$ множество $\operatorname{Re}\log t_{K,\tau}$ расположено на конечном расстоянии от конуса $K$. Поэтому нужное утверждение вытекает из теоремы 5.7. Следствие доказано. Следующее утверждение общеизвестно. Оно является основой для применения многогранников Ньютона в алгебраической геометрии. Предложение 5.3. Пусть $M\subset\mathbb{T}$ – гиперповерхность с уравнением $f=0$, $\Delta$ – многогранник Ньютона полинома $f$. Тогда веер $\mathcal K_{\Delta,1}$ (см. определение 5.12 и предложение 5.2, 5)) является тропическим веером многообразия $M$. Пусть $\nu\colon \mathbb{T}_1\to\mathbb{T}$ – сюръективный гомоморфизм торов, $s\colon\operatorname{Re}\mathcal T_1\to\operatorname{Re}\mathcal T$ – ограничение дифференциала $d\nu$ на пространство $\operatorname{Re}\mathcal T_1$. Для рационального подпространства $H\subset\operatorname{Re}\mathcal T$ положим $\eta(H)$ равным коэффициенту искажения площади при отображении $\operatorname{Re}\mathcal T_1/s^{-1}H\to\operatorname{Re}\mathcal T/H$, где для измерения площадей используются факторрешетки целочисленных решеток в пространствах $\operatorname{Re}\mathcal T_1$, $\operatorname{Re}\mathcal T$. Если $\mathcal K\subset\operatorname{Re}\mathcal T$ – рациональный тропический веер, то определим рациональный тропический веер $s^*\mathcal K$ как $\{s^{-1}K\colon K\in\mathcal K\}$, где $w_{\mathrm{int}}(s^{-1}K)=\eta(V_K)w_{\mathrm{int}}(K)$. Веер $s^{-1}K$ называется обратным образом $\mathcal K$ относительно линейного оператора $s$; см. определение 5.9. Доказательство. Использование аппроксимации многообразия торическими языками сводит утверждение к случаю, когда многообразие $M$ является сдвинутым подтором тора $\mathbb{T}$. Детали мы опускаем. Предложение доказано. 5.4.2. Тропикализация пересечения многообразийПусть $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$ – тропические веера многообразий $X$, $Y$, $\dim X=k$, $\dim Y=l$, $k+l\geqslant N$, $\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$ – дискриминантное множество пары $(\mathcal{K}, \mathcal{L})$ и $T(X)$, $T(Y)$ – аппроксимирующие наборы торических языков многообразий $X$, $Y$. Здесь приведено описание аппроксимирующего набора торических языков многообразия $T(X\cap gY)$ при $\operatorname{Re}\log g\in V\setminus\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})_S$, где $S$ достаточно велико. Начнем с нескольких вспомогательных утверждений. Лемма 5.3. Пусть $\mathbb{L},\mathbb{S}\subset\mathbb{T}$ – подторы размерностей $k$, $l$, $\mathcal{L}$, $\mathcal{S}$ – их алгебры Ли, $\dim\mathcal{L\cap S}=k + l - N$, $L=\mathcal L\cap V$, $S=\mathcal S\cap V$, $\mathbb{J}\subset\mathbb{T}$ – подтор с алгеброй Ли $\mathcal{L\cap S}$. Тогда для любых $\mu,\nu\in\mathbb{T}$ пересечение $\mu\mathbb{L}\cap\nu\mathbb{S}$ является объединением $\xi_{\mathrm{int}}(L,S)$ сдвигов $\tau_i\mathbb{J}$ подтора $\mathbb{J}$. При этом для любых $i$, $j$ отношение $\tau_i/\tau_j$ в факторторе $\mathbb{T}/\mathbb{J}$ является корнем из единицы. Доказательство. Пересечение сдвинутых торов совпадает с некоторым сдвигом их пересечения. Если $\mu=\nu=1$, то переход к фактортору $\mathbb{T}/\mathbb{J}$ сводит утверждение к $k+l = N$. В этом случае утверждение является следствием определения функции $\xi_{\mathrm{int}}(L,S)$; см. определение 5.7, 2). Лемма доказана. Определение 5.18. Пусть $u\in V$, $K\in\mathcal K$, $L\in\mathcal L$, $\dim K=k$, $\dim L=l$. Пару конусов $(K,L)$ назовем $u$-допустимой, если 1) $K\cap(u+L)\ne\varnothing$; 2) пересечение подпространств $V_K\cap V_L$ трансверсально; 3) $\dim K\cap L=k+l-N$. Свойство пары конусов быть $u$-допустимой зависит только от содержащей $u$ связной компоненты области $V\setminus\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$; см. лемму 5.1. Лемма 5.4. Пусть пара конусов $(K,L)$ $u$-допустима, $u=\operatorname{Re}\log g$ и $u\in V\setminus\mathcal D({\mathcal K,L})_S$, где $S$ достаточно велико. Тогда для любых двух торических языков $t_{K,\mu}\in T(X)$, $t_{L,\nu}\in T(Y)$ существует $\tau\in\mathbb{T}$ такой, что где $\eta_i$ пробегает некоторое множество из $\xi_{\mathrm{int}}(V_K,V_L)$ элементов, состоящее из корней из единицы в факторторе $\mathbb{T}/\mathbb{T}_{K\cap L}$. Доказательство. Если $S$ достаточно велико, то $u$ и $u+\operatorname{Re}\log\nu-\operatorname{Re}\log\mu$ принадлежат общей компоненте связности области $V\setminus D(\mathcal{K},\mathcal{L})_S$. Отсюда $\dim(\operatorname{Re}\log\mu+K)\cap(u+\operatorname{Re}\log\nu)=k+l-N$. Теперь остается применить лемму 5.3 при $\mathbb{L}=\mathbb{T}_K$, $\mathbb{S}=\mathbb{T}_L$, $\mathbb{J}=\mathbb{T}_{K\cap L}$. Лемма доказана. Для каждой $u$-допустимой пары конусов $(K,L)$ выберем в каждой из областей $\tau\eta_i\exp(\sqrt{-1}\,V_K\cap V_L)\exp(K\cap L)$ из правой части (5.7) торический язык с базой $K\cap L$. Обозначим это множество выбранных языков через $T(X,Y;g)$. Теорема 5.8. Если $S$ достаточно велико, то при $\operatorname{Re}\log g\in V\setminus\mathcal D(\mathcal K,\mathcal L)_S$ торические языки из множества $T(X,Y;g)$ образуют набор аппроксимирующих торических языков многообразия $X\cap gY$. Следствие 5.9. Тропическое многообразие $\mathcal K\cdot\mathcal L$ является тропикализацией многообразия $X\cap gY$. Доказательство вытекает из сравнения теоремы 5.8 с правилом умножения рациональных тропических вееров; см. (5.3). 5.5. Торическое пополнениеПусть $\mathcal K$ – веер строго выпуклых рациональных конусов в пространстве $V$. В этом случае $0\in\mathcal K$. Рассмотрим множество $\mathbb{T}^{\mathcal K}=\bigcup_{K\in{\mathcal K}}\mathbb{T}/\mathbb{T}_K$. На этом множестве имеется структура алгебраического многообразия; см., например, [3]. Такие многообразия называются торическими. Тор $\mathbb{T}$ стандартно действует на $\mathbb{T}^{\mathcal K}$ с орбитами $\mathbb{T}/\mathbb{T}_K$. Это действие является алгебраическим. Тор $\mathbb{T}$ является единственной открытой орбитой такого действия. Пусть $\mathcal K$ является тропическим веером равноразмерного многообразия $M{\kern1pt}{\subset}\,\mathbb{T}$. Обозначим через $M^K$ множество предельных точек многообразия $M$ на орбите $\mathbb{T}/\mathbb{T}^K$. Теорема 5.9. 1) Многообразие $\bigcup_{K\in\mathcal K}M^K$ компактно. 2) Многообразие $M^K$ равноразмерно, его коразмерность в торе $\mathbb{T}/\mathbb{T}_K$ равна коразмерности $M$. 3) Тропический веер многообразия $M^K$, расположенный в пространстве $V/V_K$, совпадает с факторизацией $\mathcal K_{\mathrm{fact}}^K$ (определение 5.6) веера $\mathcal K$. 4) Пусть $K\in\mathcal K$, $U_K=\{t\in\mathbb{T}\colon \operatorname{Re}\log t\in K_R\setminus (\partial K)_S\}$, где $S$ достаточно велико. Тогда подмножество $M\cap U_K\subset \mathbb{T}^{\mathcal K}$ относительно компактно, а множество его предельных точек, не принадлежащих $\mathbb{T}$, совпадает с $M^K$. Выше, в § 3 и § 4, используются два следующих утверждения из тропической алгебраической геометрии, для получения которых применяются торические пополнения. Первое из них является усилением следствия 5.9, второе – уточнением теоремы BKK. Предложение 5.5. Пусть $\mathcal K$, $L$ – тропикализации подмногообразий $X$, $Y$ тора $\mathbb{T}$. Тогда существует алгебраическая гиперповерхность $D\subset\mathbb{T}$ такая, что при $g\notin D$, тропикализация $X\cap gY$ равна $\mathcal K\cdot\mathcal L$. При этом носитель тропикализации гиперповерхности $D$ принадлежит $\mathcal D(\mathcal{K},\mathcal{L})$. Теорема 5.10. Пусть $X_1,\dots,X_k$ – нулевые множества полиномов Лорана $f_1,\dots,f_k$, $\Delta_1,\dots,\Delta_k$ – многогранники Ньютона полиномов $f_i$. Тогда существует алгебраическая гиперповерхность $D\subset \mathbb{T}^{k-1}$ такая, что если $(t_2,\dots,t_k)\notin D$, то тропическое многообразие $\mathcal K_{\Delta_1,1}\cdots\mathcal K_{\Delta_k,1}$ является тропикализацией многообразия $X_1\cap t_2X_2\cap\dots\cap t_kX_k$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kaz22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|