| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 10 научных статьях (всего в 10 статьях) Задача оптимального стартового управления для двумерных уравнений Буссинеска Е. С. Барановский Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9099 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеЗадачи оптимизации и управления для уравнений гидродинамики и теплопереноса представляют большой интерес с математической точки зрения (см. [1], [2]) и весьма важны для приложений. Наиболее хорошо изучен случай распределенного (в области течения) управления, когда в качестве параметра управления выбирается внешняя сила, действующая на жидкость [3; § 6], или интенсивность внешних тепловых источников [4]. Управление может входить не только в правые части уравнений движения и баланса энергии, но и в граничные условия. Так, например, при решении задачи о минимизации работы, производимой вязкой несжимаемой жидкостью, обтекающей ограниченное трехмерное тело [5], управлением является неоднородное краевое условие Дирихле для поля скоростей жидкости на границе тела. В задачах оптимизации протекания жидкости через заданную трехмерную область естественно использовать в качестве параметров управления напор [6] или давление [7] на тех участках границы, где происходит протекание жидкости. Другой важный тип управления – стартовое управление – возникает в ситуации, когда управляющие параметры входят в начальные условия для эволюционных уравнений [3; § 7]. Стартовое управление используется, например, при изучении некорректных задач Коши [8; гл. 3, § 11.4], а также при стабилизации решений системы Навье–Стокса около стационарного решения [9]. Обычно в задачах оптимального стартового управления течением начальное состояние системы служит управлением, а целевой функционал является финальным, т. е. наблюдается только финальное состояние системы (см., например, [10]). Однако в некоторых случаях важно отслеживать состояние управляемой системы и в промежуточные моменты времени, оценивая при этом отклонение текущих характеристик, таких как скорость, температура, давление и др., от желаемых значений. Соответствующие нелинейные задачи оптимизации достаточно сложны и до сих пор не исследованы. Одна из таких задач изучается в настоящей статье. Рассмотрим задачу оптимального стартового управления для системы уравнений Буссинеска, описывающей неизотермическое течение вязкой жидкости в ограниченной области $\Omega\subset\mathbf{R}^2$ с локально-липшицевой границей $\partial\Omega$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}+v_x\, \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x} +v_y\, \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial y}-\nu\Delta\boldsymbol{v}+\nabla p =\boldsymbol{f}(x,y,t,\theta)\quad\text{в } \Omega\times(0,{t_M}),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla\cdot \boldsymbol{v}=0\quad \text{в } \Omega\times(0,{t_M}),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \theta}{\partial t}+v_x\,\frac{\partial \theta}{\partial x} +v_y\,\frac{\partial \theta}{\partial y} -k\Delta\theta=h\quad \text{ в } \Omega\times(0,{t_M}),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
2\nu[\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v})\mathbf{n}]_{\tau}=-\alpha\boldsymbol{v}_{\tau}, \quad \boldsymbol{v}\cdot\mathbf{n}=0,\quad k\,\frac{\partial \theta}{\partial \mathbf{n}}=-\beta\theta\quad \text{ на } \partial\Omega\times(0,{t_M}),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}(x,y, 0)=\boldsymbol{u}(x,y), \quad\theta(x,y, 0)=\zeta(x,y), \qquad (x,y)\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
$$
\begin{equation}
(\boldsymbol{u},\zeta)\in\mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} J(\boldsymbol{v},\theta) &:= \sum_{i=0}^M\mu_i\bigl(\lambda_i\|\boldsymbol{v}(\,{\cdot}\,,{t_i}) -\widehat{\boldsymbol{v}}_i(\,{\cdot}\,)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 \\ &\qquad +(1-\lambda_i)\|\theta(\,{\cdot}\,,{t_i})-\widehat{\theta}_i(\,{\cdot}\,)\|_{L^2(\Omega)}^2\bigr) \to\min, \end{split}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $x$, $y$ – пространственные координаты; $t$ – время; $t_0,\dots,t_M$ – заданные моменты времени, причем $0=t_0<\dots <t_M$; $\boldsymbol{v}=(v_x(x,y,t),v_y(x,y,t))$ – скорость течения жидкости; $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v})$ – тензор скоростей деформации,
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v}):= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial v_x}{\partial x} &\dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{\partial v_x}{\partial y}+\dfrac{\partial v_y}{\partial x}\biggr) \\ \dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{\partial v_x}{\partial y}+\dfrac{\partial v_y}{\partial x}\biggr) &\dfrac{\partial v_y}{\partial y} \end{bmatrix};
\end{equation*}
\notag
$$
$\theta=\theta(x,y,t)$ – температура; $p=p(x,y,t)$ – давление; $\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}(x,y,t,\theta)$ – поле внешних сил, действующих на жидкость; $h=h(x,y,t)$ – интенсивность тепловых источников; $\mathbf{n}=(n_x(x,y),n_y(x,y))$ – единичная внешняя нормаль к поверхности $\partial\Omega$; $\nu$ – коэффициент вязкости, $\nu>0$; $\alpha$ – коэффициент скольжения, $\alpha>0$; $\beta$ – коэффициент теплоотдачи на $\partial\Omega$, $\beta>0$; $k$ – коэффициент теплопроводности, $k>0$; $\boldsymbol{u}=(u_x(x,y),u_y(x,y))$ и $\zeta=\zeta(x,y)$ – поле скоростей и температуры в начальный момент времени (управляющие функции); $\widehat{\boldsymbol{v}}_i=(\widehat{v}_{ix}(x,y),\widehat{v}_{iy}(x,y))$ и $\widehat{\theta}_i=\widehat{\theta}_i(x,y)$ – заданные функции; $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ – множество допустимых управлений; $J=J(\boldsymbol{v},\theta)$ – целевой функционал; $\lambda_0,\dots,\lambda_M$ и $\mu_0,\dots,\mu_M$ – числовые параметры, причем $0<\lambda_i<1$, $0\leqslant\mu_i\leqslant 1$ для каждого $i\in\{0,1,\dots,M\}$ и $\sum_{i=0}^M\mu_i=1$. Нижний индекс $\tau$ обозначает касательную составляющую вектора, т. е. $\boldsymbol{v}_{\tau}:=\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}$. Символы $\nabla$ и $\Delta$ обозначают соответственно градиент и лапласиан по переменным $x$ и $y$:
$$
\begin{equation*}
\nabla:=\biggl(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y}\biggr),\qquad\Delta:=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Условимся также использовать следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nabla\cdot\boldsymbol{a}:=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}, \qquad \nabla\cdot\boldsymbol{A}:=\biggl(\frac{\partial A_{11}}{\partial x}+\frac{\partial A_{12}}{\partial y},\, \frac{\partial A_{21}}{\partial x}+\frac{\partial A_{22}}{\partial y}\biggr), \\ \nabla\boldsymbol{a}:= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial a_x}{\partial x} &\dfrac{\partial a_x}{\partial y} \\ \dfrac{\partial a_y}{\partial x} &\dfrac{\partial a_y}{\partial y} \end{bmatrix},\qquad \Delta\boldsymbol{a}:=(\Delta a_x,\Delta a_y), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol{a}=(a_x, a_y)$ и $\boldsymbol{A}=(A_{ij})_{i,j=1}^2$. Суть задачи оптимального стартового управления течением заключается в том, чтобы во множестве допустимых начальных состояний $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ найти такую пару $(\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)$, выбор которой приводит к наиболее выгодному (относительно целевого функционала $J$) состоянию управляемой системы в заданные моменты времени $t_0,\dots,t_M$. Основная цель настоящей статьи – доказать разрешимость задачи (1.1)–(1.7) и установить свойства ее решений. Работа организована следующим образом. В § 2 дана точная формулировка задачи об оптимальном управлении в терминах допустимых кортежей $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta)$ и оператора сдвига $\mathbb{T}_t=\mathbb{T}_t(\boldsymbol{u},\zeta)$, описывающего изменение поля скоростей и температуры за промежуток времени $[0,t]$ при выборе управляющих функций $(\boldsymbol{u},\zeta)$. В § 2 также сформулированы основные результаты статьи (теорема 1): приводятся достаточные условия для существования и единственности оптимального решения, а также указано вариационное неравенство, которому удовлетворяет оптимальное управление при условии, что целевой функционал определяется финальным наблюдением. В § 3 установлены некоторые свойства допустимых кортежей и оператора сдвига; с помощью этих свойств в § 4 доказана теорема 1. Замечание 1. Отметим некоторые работы, в которых рассматриваются задачи управления для различных моделей тепломассопереноса. Точная управляемость уравнений Буссинеска установлена в [11]. В статье [12] обсуждается применение принципа максимума Понтрягина к задаче оптимального управления двумерным неизотермическим течением вязкой жидкости. Работа [13] посвящена построению различных дискретных аппроксимаций и вычислительного алгоритма для решения линейной задачи управления с обратной связью в модели Буссинеска. Задачи с жестким управлением для линеаризованных уравнений Буссинеска изучаются в [14]. В работе [15] предложено решение задачи локальной экспоненциальной стабилизации для уравнений Буссинеска с управлением, действующим на заданном участке границы области течения. Авторами статьи [16] рассмотрен вопрос о существовании оптимальных решений в одномерной системе типа Буссинеска, моделирующей артериальную сеть. Следует также упомянуть работы [17]–[21], в которых изучаются различные задачи оптимизации для моделей стационарных неизотермических течений вязкой жидкости. § 2. Постановка задачи оптимального стартового управления и основные результаты работыВ этом параграфе приводится точная формулировка задачи об оптимальном стартовом управлении неизотермическим течением в терминах допустимых кортежей и оператора сдвига. Сначала опишем необходимые в дальнейшем обозначения и пространства функций. Символ $\mathbf{R}$ обозначает множество вещественных чисел, а $\mathbf{R}^n$ – $n$-мерное евклидово пространство. Пусть $\boldsymbol{\varphi}\colon\overline{\Omega}\times [0,s]\to\mathbf{R}^n$ – вектор-функция и $t\in[0,s]$. Через $\boldsymbol{\varphi}(t)$ будем обозначать вектор-функцию $(x,y)\longmapsto\boldsymbol{\varphi}(x,y,t)$, где $(x,y)\in\overline{\Omega}$. Как обычно, $L^q(\Omega)$, $1\leqslant q<\infty$, – пространство Лебега, а $H^1(\Omega):=W^{1,2}(\Omega)$ – пространство Соболева. Для обозначения соответствующих классов векторных функций используются те же самые символы, но для первой буквы применяется жирное начертание, т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{L}^q(\Omega)&:= \{\boldsymbol{w}=(w_x, w_y)\colon w_x\in L^q(\Omega), \, w_y\in L^q(\Omega)\}, \\ \boldsymbol{H}^1(\Omega)&:= \{\boldsymbol{w}=(w_x, w_y)\colon w_x\in H^1(\Omega), \, w_y\in H^1(\Omega)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сужение функции $v\in{H}^1(\Omega)$ на $\partial\Omega$ определяется по формуле $v|_{\partial\Omega}=\gamma_0v$, где $\gamma_0\colon{H}^1(\Omega)\to L^s(\partial\Omega)$ – оператор следа (см., например, [22; § 2.4.2]), $1\leqslant s<\infty$. Отметим, что для любого $q\in[2,+\infty)$ выполнено мультипликативное неравенство [23; гл. 5, теорема 5.8]
$$
\begin{equation}
\|w\|_{L^q(\Omega)}\leqslant K_0(\Omega,q)\|w\|_{H^1(\Omega)}^{(q-2)/q}\| w\|_{L^2(\Omega)}^{2/q},\qquad K_0(\Omega,q)=\mathrm{const},\quad \forall\, w\in H^1(\Omega).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Введем пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{C}^\infty_\tau(\overline{\Omega}) & :=\{\boldsymbol{w}=(w_x, w_y)\colon w_x\in C^\infty(\overline{\Omega}), \,w_y\in C^\infty(\overline{\Omega}),\,\boldsymbol{w}\cdot \mathbf{n}=0 \text{ на } \partial\Omega\}, \\ \boldsymbol{C}^\infty_{\sigma}(\overline{\Omega}) & :=\{\boldsymbol{w}=(w_x, w_y)\colon w_x\in C^\infty(\overline{\Omega}), \, w_y\in C^\infty(\overline{\Omega}), \, \nabla\cdot \boldsymbol{w}=0\text{ в } \Omega\}, \\ \boldsymbol{C}^\infty_{\sigma,\tau}(\overline{\Omega}) & :=\boldsymbol{C}^\infty_\sigma(\overline{\Omega}) \cap\boldsymbol{C}^\infty_\tau(\overline{\Omega}), \\ \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) & := \text{замыкание множества } \boldsymbol{C}^\infty_{\sigma,\tau}(\overline{\Omega}) \text{ в пространстве } \boldsymbol{L}^2(\Omega), \\ \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) & := \text{замыкание множества } \boldsymbol{C}^\infty_{\sigma,\tau}(\overline{\Omega}) \text{ в пространстве } \boldsymbol{H}^1(\Omega). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При изучении задачи (1.1)–(1.7) в пространстве $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ удобно использовать скалярное произведение, заданное по формуле
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{\phi},\boldsymbol{\psi})_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} :=2\nu(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\phi}),\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\psi}))_{\boldsymbol{L}^2 (\Omega)}+\alpha(\boldsymbol{\phi},\boldsymbol{\psi})_{\boldsymbol{L}^2(\partial\Omega)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\phi}),\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\psi}))_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} :=\sum_{i,j=1}^2(D_{ij}(\boldsymbol{\phi}),D_{ij}(\boldsymbol{\psi}))_{L^2(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Норму в $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ определим по формуле
$$
\begin{equation*}
\|\boldsymbol{\phi}\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} :=(\boldsymbol{\phi},\boldsymbol{\phi})_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства Корна (см. [24; гл. I, § 2.2]) следует, что норма $\|\,{\cdot}\,\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}$ эквивалентна норме $\|\,{\cdot}\,\|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)}$. Используя теорему Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве, отождествим $L^2(\Omega)$ с его сопряженным пространством: $[L^2(\Omega) ]^*\equiv L^2(\Omega)$. Таким образом, приходим к цепочке вложений
$$
\begin{equation*}
H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)\equiv [L^2(\Omega) ]^*\hookrightarrow [H^1(\Omega)]^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, получаем
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)\hookrightarrow \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) \equiv [\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\hookrightarrow [\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\lambda\in(0,1)$. Через $\boldsymbol{E}_\lambda(\Omega)$ обозначим пространство, состоящее из пар $(\boldsymbol{w},\psi)\in \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$, со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\bigl((\boldsymbol{w}_1,\psi_1), (\boldsymbol{w}_2,\psi_2)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda}(\Omega)} :=\lambda(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +(1-\lambda)(\psi_1,\psi_2)_{L^2(\Omega)}
\end{equation*}
\notag
$$
и евклидовой нормой $\|(\boldsymbol{w},\psi)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda}(\Omega)} :=\bigl((\boldsymbol{w},\psi), (\boldsymbol{w},\psi)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda}(\Omega)}^{1/2}$. Пусть $F$ — банахово пространство. При $l\in F^*$ и $\varphi\in F$ с помощью $\langle l, \varphi\rangle_{F^*\times F}$ будем обозначать действие функционала $l$ на элементе $\varphi$. Через $C([0,s];F)$ обозначим пространство непрерывных функций из $[0,s]$ в $F$, а через $L^q(0,s;F)$ – пространство $L^q$-функций (т. е. функций интегрируемых в степени $q$) из $[0, s]$ в $F$. Нам понадобится следующее утверждение, доказательство которого приведено в [25; гл. III, § 1]. Лемма 1. Пусть $X$ и $Y$ – гильбертовы пространства и имеет место цепочка вложений $X\hookrightarrow Y\equiv Y^*\hookrightarrow X^*$, где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны. Если функция $g$ принадлежит пространству $L^2(0, s;X)$, а ее обобщенная производная $g'$ принадлежит пространству $L^2(0, s; X^*)$, то функция $g$ п. в. равна некоторой непрерывной функции из $[0, s]$ в $Y$ и справедливо равенство которое выполняется почти всюду на $(0, s)$. Опишем теперь условия, при которых мы будем рассматривать задачу оптимизации (1.1)–(1.7). Всюду далее предполагаем, что (h1) выполнены следующие включения:
$$
\begin{equation*}
h\in L^2(0,{t_M};L^2(\Omega)), \quad\widehat{\boldsymbol{v}}_i\in \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega),\quad\widehat{\theta}_i\in L^2(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $i=0,1,\dots,M$; (h2) вектор-функция $\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,,\varrho)\colon \Omega\times (0,t_M)\to\mathbf{R}^2$ принадлежит пространству Лебега $\boldsymbol{L}^2(\Omega\times (0,t_M))$ для любого $\varrho\in\mathbf{R}$; (h3) вектор-функция $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,{\cdot}\,)\colon\mathbf{R}\to\mathbf{R}^2$ непрерывна при п. в. $(\boldsymbol{r},t)\in\Omega\times(0,t_M)$; (h4) существует постоянная $K\geqslant 0$ такая, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,\varrho_1)-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,\varrho_2)|\leqslant K|\varrho_1-\varrho_2|
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
при любых $\varrho_1,\varrho_2\in\mathbf{R}$ и п. в. $(\boldsymbol{r},t)\in\Omega\times(0,t_M)$; (h5) множество $\mathcal{U}_1$ ограничено и секвенциально слабо замкнуто в пространстве $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$; (h6) множество $\mathcal{U}_2$ ограничено и секвенциально слабо замкнуто в пространстве $H^1(\Omega)$. Замечание 2. При $K=0$, т. е. когда плотность внешних сил не зависит от температуры, уравнения (1.1)–(1.3) переходят в так называемую несвязную модель тепломассопереноса. Определение 1. Допустимым кортежем управляемой системы (1.1)–(1.7) будем называть четверку $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta)$ такую, что Множество всех допустимых кортежей обозначим через $\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2} $. Замечание 3. Поясним, как возникают тождества (2.3) и (2.4) в определении допустимого кортежа. Пусть тройка $(\boldsymbol{v},\theta, p)$ – классическое решение задачи (1.1)–(1.5). Умножим скалярно в $\boldsymbol{L}^2(\Omega)$ равенство (1.1) на векторную функцию $\boldsymbol{w}\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$. Принимая во внимание соотношения $\Delta\boldsymbol{v}=2\nabla\cdot \boldsymbol{D}(\boldsymbol{v})$ и $(\nabla p,\boldsymbol{w})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}=0$, с помощью интегрирования по частям выводим равенство В следующем параграфе будет показано, что для любой пары управляющих функций $(\boldsymbol{u},\zeta)$ из множества $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ существует единственный допустимый кортеж $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta)$. Это дает возможность корректно определить оператор сдвига. Определение 2. Пусть $t\in[0,t_M]$. Оператором сдвига за время $t$ будем называть отображение $\mathbb{T}_t\colon\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\to\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) \times L^2(\Omega)$, заданное по формуле где функции $\boldsymbol{v}$ и $\theta$ взяты из допустимого кортежа $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta)$. Определение 3. Оптимальным управлением в системе (1.1)–(1.7) будем называть пару функций $(\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ такую, что Определение 4. Если $\mu_0=\dots=\mu_{M-1}=0$, а $\mu_{M}=1$, то целевой функционал $J$ будем называть финальным. Cформулируем теперь основные результаты работы. Теорема 1. Пусть выполнены условия (h1)–(h6). Тогда (i) в системе (1.1)–(1.7) существует по крайней мере одно оптимальное управление; (ii) если целевой функционал $J$ является финальным, $\mathcal{U}_1=\{\boldsymbol{u}_0\}$, множество $\mathcal{U}_2$ выпукло и $K=0$, то пара $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)\in\mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2$ является оптимальным управлением в системе (1.1)–(1.7) в том и только в том случае, когда выполнено вариационное неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl(\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0), \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)-\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) \bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \\ &\qquad\geqslant \bigl((\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M), \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)-\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) \bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \quad\forall\,\zeta\in\mathcal{U}_2; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
(iii) если $\mu_0>0$, $K=0$ и множество $\mathcal{U}_1$ состоит из единственного элемента, a множество $\mathcal{U}_2$ выпукло, то в системе (1.1)–(1.7) существует единственное оптимальное управление. Доказательство этой теоремы приводится в § 4. Замечание 4. Аналогичные результаты могут быть получены и для трехмерных гидродинамических моделей при наличии теоремы о глобальной разрешимости, единственности и непрерывной зависимости решения от времени $t$. Например, такими свойствами обладают уравнения Навье–Стокса–Фойгта [26], описывающие течения несжимаемой вязкоупругой жидкости. § 3. Свойства допустимых кортежей и оператора сдвигаДля того чтобы доказать теорему 1, установим основные свойства допустимых кортежей и оператора сдвига. Лемма 2. Если $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$, то Доказательство. Введем три оператора:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{A}_1\colon \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) \to [\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*, \\ \langle\mathbb{A}_1(\boldsymbol{\varphi}),\boldsymbol{w}\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau} (\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} :=2\nu(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\varphi}),\boldsymbol{D}(\boldsymbol{w}))_{\boldsymbol{L}^2 (\Omega)}+\alpha(\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{w})_{\boldsymbol{L}^2(\partial\Omega)}, \\ \mathbb{B}_1\colon \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) \times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) \to [\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*, \\ \langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi}),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} :=\biggl(\varphi_x\boldsymbol{\psi},\frac{\partial\boldsymbol{w}}{\partial x}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\biggl(\varphi_y\boldsymbol{\psi},\frac{\partial\boldsymbol{w}}{\partial y}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}, \\ \mathbb{F}\colon[0,t_M]\times{L}^2(\Omega)\to [\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*, \\ \langle\mathbb{F}(t,\xi),\boldsymbol{w}\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} :=(\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\xi),\boldsymbol{w})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения допустимых кортежей вытекает, что
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}'(t)=-\mathbb{A}_1(\boldsymbol{v}(t))+\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{v}(t))+\mathbb{F}(t,\theta(t)) \quad\text{при п. в. } t\in(0, t_M).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Принимая во внимание условия (h2)–(h4), получаем, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{A}_1(\boldsymbol{v})\in \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*),\qquad \mathbb{F}(\,{\cdot}\,,\theta(\,{\cdot}\,))\in \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Остается только проверить, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v},\boldsymbol{v})\in \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Применяя неравенство Гёльдера и неравенство (2.1) c $q=4$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{v}(t)),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}| \leqslant C_1 \|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^4(\Omega)}^2 \|\boldsymbol{w}\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \\ &\qquad \leqslant C_2\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \|\nabla\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \|\boldsymbol{w}\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Здесь и ниже $C_j$, $j=1,2,\dots$, – положительные постоянные, зависящие только от исходных данных задачи. Из оценки (3.7) и непрерывности нормы $\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}$ по $t$ вытекает (3.6). Принимая во внимание соотношения (3.4)–(3.6), можно сделать вывод о справедливости первого включения из (3.1). Докажем теперь, что выполнено и второе включение из (3.1). Введем два оператора:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{A}_2\colon H^1(\Omega)\to [H^1(\Omega)]^*, \\ \langle\mathbb{A}_2(\xi),\psi \rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}:=k(\nabla\xi,\nabla \psi)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\beta(\xi,\psi)_{L^2(\partial\Omega)}, \\ \mathbb{B}_2\colon \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) \times H^1(\Omega) \to [H^1(\Omega)]^*, \\ \langle\mathbb{B}_2(\boldsymbol{\varphi},\xi),\psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^* \times H^1(\Omega)}:=\biggl(\varphi_x\xi,\frac{\partial\psi}{\partial x}\biggr)_{L^2(\Omega)}+\biggl(\varphi_y\xi,\frac{\partial\psi}{\partial y}\biggr)_{L^2(\Omega)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения допустимых кортежей следует, что
$$
\begin{equation}
\theta'(t)=-\mathbb{A}_2(\theta(t))+\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}(t),\theta(t))+h(t)\quad \text{при п. в. } t\in(0, t_M).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Ясно, что имеют место следующие включения:
$$
\begin{equation}
\mathbb{A}_2(\theta)\in {L}^2(0,{t_M};[H^1(\Omega)]^*),\qquad h\in {L}^2(0,{t_M};[H^1(\Omega)]^*).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v},\theta)\in L^2(0,{t_M};[H^1(\Omega)]^*).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Используя неравенство Гёльдера и неравенство (2.1) с $q=4$, выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\langle\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}(t),\theta(t)),\psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}|\leqslant C_3 \|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^4(\Omega)} \|\theta(t)\|_{L^4(\Omega)}\|\psi\|_{H^1(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant C_4\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2}\| \nabla\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2} \|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^{1/2}\|\nabla\theta(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2} \|\psi\|_{H^1(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Так как нормы $\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}$ и $\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}$ непрерывны по $t$ и
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{L}^2(0,{t_M}; \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)),\qquad \theta\in L^2(0,{t_M}; H^1(\Omega)),
\end{equation*}
\notag
$$
то из (3.11) вытекает (3.10). Ясно, что соотношения (3.8)–(3.10) влекут второе включение из (3.1). Наконец, применяя лемму 1 к функциям $\boldsymbol{v}$ и $\theta$, приходим к равенствам (3.2) и (3.3). Лемма 2 доказана. Лемма 3. Если $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta)\in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$, то Доказательство. Из равенства (3.8) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\theta'(t),\theta(t)\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} =-\langle\mathbb{A}_2(\theta(t)),\theta(t)\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} \\ &\qquad+\langle\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}(t),\theta(t)),\theta(t)\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}+(h(t),\theta(t))_{L^2(\Omega)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
при п. в. $t\in(0,t_M)$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \langle\mathbb{A}_2(\theta(t)),\theta(t)\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}\geqslant C_5\|\theta(t)\|_{H^1(\Omega)}^2, \\ \langle\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}(t),\theta(t)),\theta(t)\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание эти соотношения и (3.3), выводим из (3.16) неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}\,\frac{d}{dt}\|\theta(t)\|^2_{L^2(\Omega)}+C_5\|\theta(t)\|_{H^1(\Omega)}^2 \leqslant (h(t),\theta(t))_{L^2(\Omega)},
\end{equation*}
\notag
$$
справедливое при п. в. $t\in(0,t_M)$. Умножим обе части этого неравенства на $2$ и проинтегрируем по $t$ в пределах от $0$ до $s$:
$$
\begin{equation*}
\|\theta(s)\|^2_{L^2(\Omega)}+2C_5 \int_0^s\|\theta(t)\|_{H^1(\Omega)}^2\,dt \leqslant \|\zeta\|^2_{L^2(\Omega)}+2\int_0^s(h(t),\theta(t))_{L^2(\Omega)}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Коши–Буняковского–Шварца ко второму слагаемому из правой части последнего неравенства, находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\theta(s)\|^2_{L^2(\Omega)}+2C_5 \int_0^s\|\theta(t)\|_{H^1(\Omega)}^2\,dt \\ &\qquad\leqslant \|\zeta\|^2_{L^2(\Omega)}+\int_0^s\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt +\int_0^{t_M}\|h(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
откуда с помощью леммы Гронуолла–Беллмана выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \max_{s\in[0,{t_M}]}\|\theta(s)\|^2_{L^2(\Omega)} &\leqslant \biggl(\|\zeta\|^2_{L^2(\Omega)}+\int_0^{t_M}\|h(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt\biggr)e^{t_M} \\ &\leqslant\biggl(\sup_{\widetilde{\zeta}\in\mathcal{U}_2}\|\widetilde{\zeta}\|^2_{L^2(\Omega)} +\int_0^{t_M}\|h(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt\biggr)e^{t_M}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Далее, полагая $s=t_M$ в (3.17), с учетом (3.18) получаем, что
$$
\begin{equation}
\int_0^{t_M}\|\theta(t)\|_{H^1(\Omega)}^2\,dt \leqslant \biggl(\sup_{\widetilde{\zeta}\in\mathcal{U}_2}\|\widetilde{\zeta}\|^2_{L^2(\Omega)} +\int_0^{t_M}\|h(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt\biggr)\frac{e^{t_M}t_M+1}{2C_5}.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Из соотношений (3.18) и (3.19) непосредственно следуют оценки (3.12) и (3.13) для функции $\theta$. Займемся теперь выводом оценок (3.14) и (3.15) для вектор-функции $\boldsymbol{v}$. Из равенства (3.4) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\boldsymbol{v}'(t),\boldsymbol{v}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau} (\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} =-\langle\mathbb{A}_1(\boldsymbol{v}(t)),\boldsymbol{v}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau} (\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \\ &\ +\langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{v}(t)),\boldsymbol{v}(t) \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}+\langle\mathbb{F}(t,\theta(t)),\boldsymbol{v}(t) \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
при п. в. $t\in(0,t_M)$. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \langle\mathbb{A}_1(\boldsymbol{v}(t)),\boldsymbol{v}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau} (\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} =\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^2, \\ \langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{v}(t)),\boldsymbol{v}(t) \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
перепишем (3.20) в виде
$$
\begin{equation}
\langle\boldsymbol{v}'(t),\boldsymbol{v}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^* \times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \,{=}\,{-}\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^2 +\langle\mathbb{F}(t,\theta(t)),\boldsymbol{v}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^* \times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Полагая $\varrho_1=\varrho$ и $\varrho_2=0$ в неравенстве (2.2), нетрудно вывести оценку
$$
\begin{equation}
|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,\varrho)|\leqslant K|\varrho|+|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,0)|,
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
справедливую при любых $\varrho\in\mathbf{R}$ и п. в. $(\boldsymbol{r},t)\in\Omega\times(0,t_M)$. Из (3.22) следует, что
$$
\begin{equation*}
|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,\rho)|^2\leqslant (K|\varrho|+|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,0)|)^2\leqslant 2K^2|\rho|^2+2|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,0)|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит,
$$
\begin{equation*}
\|\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta(t))\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\leqslant 2K^2\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2+2\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этого неравенства находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\langle\mathbb{F}(t,\theta(t)),\boldsymbol{v}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^* \times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}| \leqslant \|\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta(t))\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{2}\|\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta(t))\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 +\frac{1}{2}\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 \\ &\qquad\leqslant K^2\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 +\frac{1}{2}\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Принимая во внимание (3.2) и (3.23), с помощью элементарных преобразований выводим из (3.21) оценку
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{v}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +2\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^2 \leqslant 2 K^2\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 +2\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 +\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем последнее неравенство по $t$ от 0 до $s$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\boldsymbol{v}(s)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +2\int_0^s\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^2\,dt \leqslant \|\boldsymbol{u}\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} + 2K^2\int_0^s\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt \\ &\qquad+2\int_0^s\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\,dt +\int_0^s\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Применив лемму Гронуолла–Беллмана, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\boldsymbol{v}(s)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \leqslant \biggl(\|\boldsymbol{u}\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +2 K^2\int_0^s\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt +2\int_0^s\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\,dt\biggr) e^{t_M}
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу (3.18) приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\max_{s\in[0,t_M]}\|\boldsymbol{v}(s)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \leqslant \sup_{\widetilde{\boldsymbol{u}}\in\mathcal{U}_1} \|\widetilde{\boldsymbol{u}}\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}e^{t_M} +2e^{t_M}\int_0^{t_M}\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\,dt \\ &\qquad+2 K^2t_Me^{2t_M} \biggl(\sup_{\widetilde{\zeta}\in\mathcal{U}_2}\|\widetilde{\zeta}\|^2_{L^2(\Omega)} +\int_0^{t_M}\|h(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
откуда и следует (3.14). Далее, полагая $s=t_M$ в (3.24), выводим неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^{t_M}\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^2\,dt \leqslant \frac{1}{2}\sup_{\widetilde{\boldsymbol{u}}\in\mathcal{U}_1}\|\widetilde{\boldsymbol{u}} \|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +K^2\int_0^{t_M}\|\theta(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\,dt \\ &\qquad+\int_0^{t_M}\|\boldsymbol{f}_0(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\,dt +\frac{1}{2}\int_0^{t_M}\|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Оценивая второе и четвертое слагаемые из правой части (3.26) с помощью (3.18) и (3.25) соответственно, приходим к неравенству (3.15). Лемма 3 доказана. Лемма 4. Если $(\boldsymbol{u}_1,\zeta_1,\boldsymbol{v}_1,\theta_1) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$ и $(\boldsymbol{u}_2,\zeta_2,\boldsymbol{v}_2,\theta_2) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$, то Доказательство. В силу леммы 2 мы имеем
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{v}_i'\in \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*), \quad \theta_i'\in {L}^2(0,{t_M};[H^1(\Omega)]^*),\qquad i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 1 к функциям $\boldsymbol{\widetilde{v}}:=\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2$ и $\widetilde{\theta}:=\theta_1-\theta_2$, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} &=2\langle\boldsymbol{\widetilde{v}}'(t),\boldsymbol{\widetilde{v}}(t) \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}, \\ \frac{d}{dt}\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)} &=2\langle\widetilde{\theta}'(t),\widetilde{\theta}(t)\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
для п. в. $t\in(0,{t_M})$. Так как по условию данной леммы $(\boldsymbol{u}_i,\zeta_i,\boldsymbol{v}_i,\theta_i) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$, $i=1,2$, то при п. в. $t\in(0, t_M)$ имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\langle\boldsymbol{v}_i'(t),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} =-\langle\mathbb{A}_1(\boldsymbol{v}_i(t)),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}_i(t),\boldsymbol{v}_i(t)),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} +\langle\mathbb{F}(t,\theta_i(t)),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)},
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
$$
\begin{equation}
\langle\theta_i'(t),\psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} =-\langle\mathbb{A}_2(\theta_i(t)),\psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\langle\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}_i(t),\theta(t)),\psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}+(h(t),\psi)_{L^2(\Omega)}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
для любых $\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ и $\psi\in H^1(\Omega)$. Вычтем из равенства (3.29), в котором полагаем $i=1$, равенство (3.29) c $i=2$; это приводит нас к следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\boldsymbol{\widetilde{v}}'(t),\boldsymbol{w}\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau} (\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} -\langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}_1(t),\widetilde{\boldsymbol{v}}(t)),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \\ &\qquad\quad-\langle\mathbb{B}_1(\widetilde{\boldsymbol{v}}(t),\boldsymbol{v}_2(t)), \boldsymbol{w}\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} +\langle\mathbb{A}_1(\widetilde{\boldsymbol{v}}(t)), \boldsymbol{w}\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \\ &\qquad=\langle\mathbb{F}(t,\theta_1(t))-\mathbb{F}(t,\theta_2(t)),\boldsymbol{w} \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Аналогичным образом, из (3.30) выводим равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\widetilde{\theta}',\psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} -\langle\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}_1(t),\widetilde{\theta}(t)), \psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} \\ &\qquad-\langle\mathbb{B}_2(\widetilde{\boldsymbol{v}}(t),\theta_2(t)), \psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} +\langle\mathbb{A}_2(\widetilde{\theta}(t)), \psi\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Положим $\boldsymbol{w}=\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)$ в (3.31). Учитывая (3.28) и легко проверяемое соотношение
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}_1(t),\widetilde{\boldsymbol{v}}(t)), \widetilde{\boldsymbol{v}}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\, \frac{d}{dt}\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} -\langle\mathbb{B}_1(\widetilde{\boldsymbol{v}}(t),\boldsymbol{v}_2(t)), \boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} +\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \\ &\qquad=\langle\mathbb{F}(t,\theta_1(t))-\mathbb{F}(t,\theta_2(t)),\boldsymbol{\widetilde{v}}(t) \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Оценим второе слагаемое из левой части (3.33). Используя формулу интегрирования по частям и применяя неравенства Гёльдера, Юнга и (2.1), получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\langle\mathbb{B}_1(\widetilde{\boldsymbol{v}}(t),\boldsymbol{v}_2(t)), \boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}| \\ &\qquad=\biggl|\biggl( \widetilde{v}_x(t)\, \frac{\partial\boldsymbol{v}_2(t)}{\partial x},\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\biggl( \widetilde{v}_y(t)\, \frac{\partial\boldsymbol{v}_2(t)}{\partial y}, \boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\biggr| \\ &\qquad\leqslant C_6 \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^4(\Omega)}^2\|\boldsymbol{v}_2(t) \|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)}\leqslant C_7\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\| \nabla\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \|\boldsymbol{v}_2(t)\|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant C_8 \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} \|\boldsymbol{v}_2(t)\|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant C_9\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 \|\boldsymbol{v}_2(t)\|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)}^2 +\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}^{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Кроме того, с помощью условия (h4) находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\langle\mathbb{F}(t,\theta_1(t))-\mathbb{F}(t,\theta_2(t)),\boldsymbol{\widetilde{v}}(t) \rangle_{[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)}| \\ &\qquad\leqslant \|\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta_1(t)) -\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta_2(t))\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant K \|\widetilde{\theta}(t)\|_{L^2(\Omega)} \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \leqslant\frac{K}{2}\bigl(\|\widetilde{\theta}(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 +\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
С учетом (3.34) и (3.35) выводим из равенства (3.33) следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\leqslant g_1(t) \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +K\|\widetilde{\theta}(t)\|_{L^2(\Omega)}^2,
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
где $g_1(t) :=2C_9\|\boldsymbol{v}_2(t)\|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)}^2+K$. Аналогично, подставляя $\psi=\widetilde{\theta}(t)$ в (3.32), приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)}\leqslant g_2(t) (\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)} +\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}),
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где $g_2(t):= C_{10}\|\nabla\widetilde{\boldsymbol{v}}\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2} \|\theta_2(t)\|_{H^1(\Omega)}\|\nabla\widetilde{\theta}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2}$. Сложим неравенства (3.36) и (3.37):
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\bigl(\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)}\bigr) \leqslant (g_1(t) +g_2(t))\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +(g_2(t)+K) \|\widetilde{\theta}(t)\|_{L^2(\Omega)}^2.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Обозначим Из (3.38) следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\bigl(\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{L^2(\Omega)} +\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)}\bigr) \leqslant g_3(t) \bigl(\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{L^2(\Omega)} +\|\widetilde{\theta}(t)\|_{L^2(\Omega)}^2\bigr).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Так как $g_1\in L^1(0,{t_M})$ и $g_2\in L^1(0,{t_M})$, то $g_3\in L^1(0,{t_M})$. Поэтому можно законно применить лемму Гронуолла–Беллмана к (3.39); это дает
$$
\begin{equation*}
\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)} \leqslant \bigl(\|\boldsymbol{\widetilde{v}}(0)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\|\widetilde{\theta}(0)\|^2_{L^2(\Omega)}\bigr)\exp\biggl(\int_0^{t_M}g_3(s)\,ds\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $t\in[0,{t_M}]$. Заметив, что
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\widetilde{v}}(0)=\boldsymbol{v}_1(0)-\boldsymbol{v}_2(0) =\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2,\qquad \widetilde{\theta}(0)=\theta_1(0)-\theta_2(0)=\zeta_1-\zeta_2,
\end{equation*}
\notag
$$
очевидным образом приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\boldsymbol{\widetilde{v}}(t)\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\|\widetilde{\theta}(t)\|^2_{L^2(\Omega)} &\leqslant \bigl(\|\boldsymbol{u}_1-\boldsymbol{u}_2\|^2_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\|\zeta_1-\zeta_2\|^2_{L^2(\Omega)}\bigr) \\ &\qquad\times\exp\biggl(\int_0^{t_M}g_3(s)\,ds\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует требуемая оценка (3.27) с константой $Q$, которая вычисляется по формуле Лемма 4 доказана. Следствие 1. Если $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v}_1,\theta_1) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$ и $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v}_2,\theta_2) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$, то для любого $t\in[0,{t_M}]$ справедливы равенства: $\boldsymbol{v}_1(t)=\boldsymbol{v}_2(t)$ и $\theta_1(t)=\theta_2(t)$. Лемма 5. Для любой пары $(\boldsymbol{u},\zeta)$ из множества допустимых управлений $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ существует единственная пара $(\boldsymbol{v},\theta)$ такая, что $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$. Доказательство. Для нахождения функций $\boldsymbol{v}$ и $\theta$ воспользуемся методом Фаэдо–Галеркина. Пусть $\{\boldsymbol{w}_{\ell}\}_{\ell=1}^\infty$ – последовательность вектор-функций, которая является полной в пространствах $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) $ и $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ и ортонормированной в $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)$. Способ построения такой последовательности базисных функций описан в [27; гл. 1, § 6.3]. Кроме того, зафиксируем последовательность $\{\psi_\ell\}_{\ell=1}^\infty$, которая является полной в пространствах $H^1(\Omega)$ и $L^2(\Omega)$ и ортонормированной в $L^2(\Omega)$. Зафиксируем также произвольное натуральное число $n$. Приближенные решения, описывающие поле скоростей и температуру при выборе $\boldsymbol{u}$ и $\zeta$ в качестве управляющих функций, будем искать в виде
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{v}_n(x,y,t):=\sum_{\ell=1}^na_{n\ell}(t)\boldsymbol{w}_{\ell}(x,y), \qquad \theta_n(x,y,t):=\sum_{\ell=1}^nb_{n\ell}(t)\psi_\ell(x,y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{n\ell}\colon[0,{t_M}]\to\mathbf{R}$ и $b_{n\ell}\colon[0,{t_M}]\to\mathbf{R}$ – неизвестные функции. Для нахождения $\boldsymbol{v}_n$ и $\theta_n$ рассмотрим задачу Коши на отрезке $[0,{t_M}]$:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\biggl(\frac{\partial \boldsymbol{v}_n}{\partial t}, \boldsymbol{w}_{\ell} \biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\biggl(v_{nx}\, \frac{\partial \boldsymbol{v}_n}{\partial x},\boldsymbol{w}_{\ell}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\biggl(v_{ny}\, \frac{\partial \boldsymbol{v}_n}{\partial y},\boldsymbol{w}_{\ell}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \\ &\qquad\qquad+2\nu(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v}_n), \boldsymbol{D}(\boldsymbol{w}_{\ell}))_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\alpha(\boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\partial\Omega)} \\ &\qquad = (\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta_n),\boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}, \qquad t\in(0,{t_M}),\quad \ell\in\{1,2,\dots, n\}, \end{split}
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\biggl(\frac{\partial \theta_n}{\partial t}, \psi_\ell \biggr)_{L^2(\Omega)} +\biggl(v_{nx}\,\frac{\partial \theta_n}{\partial x},\psi_\ell\biggr)_{L^2(\Omega)} +\biggl(v_{ny}\,\frac{\partial \theta_n}{\partial y},\psi_\ell\biggr)_{L^2(\Omega)} \\ &\qquad\qquad+k(\nabla\theta_n, \nabla\psi_\ell)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} +\beta(\theta_n, \psi_\ell)_{L^2(\partial\Omega)} \\ &\qquad=(h,\psi_\ell)_{L^2(\Omega)}, \qquad t\in(0,{t_M}),\quad \ell\in\{1,2,\dots, n\}, \end{split}
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_n(x,y,0)=\sum_{\ell=1}^{n}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\boldsymbol{w}_{\ell}(x,y), \qquad (x,y)\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
$$
\begin{equation}
\!\!\!\theta_n(x,y,0)=\sum_{\ell=1}^{n}(\zeta, \psi_\ell)_{L^2(\Omega)}\psi_\ell(x,y), \qquad (x,y)\in\Omega.
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
Используя те же самые рассуждения, что и при доказательстве леммы 3, можно показать, что нормы $\|\boldsymbol{v}_n(s)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}$ и $\|\theta_n(s)\|_{L^2(\Omega)}$ равномерно ограничены относительно $n\in\{1,2,\dots\}$ и $s\in[0,{t_M}]$. Наличие таких априорных оценок означает, что задача Коши (3.40)–(3.43) разрешима “в целом”, т. е. на всем отрезке $[0,{t_M}]$. Имеет место также равномерная ограниченность норм $\|\boldsymbol{v}_n\|_{\boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega))}$ и $\|\theta_n\|_{L^2(0,{t_M};H^1(\Omega))}$. Кроме того, аналогично тому, как это делается при построении слабых решений эволюционных уравнений Навье–Стокса (см. [27; гл. 1, § 6.4]), можно вывести равномерную ограниченность норм $\|\boldsymbol{v}_n'\|_{\boldsymbol{L}^2(0,{t_M};[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*)}$ и $\|\theta_n'\|_{L^2(0,{t_M};[H^1(\Omega)]^*)}$. Применив теорему 5.1 из [27; гл. 1, § 5.2], заключаем, что множество $\{\boldsymbol{v}_n\}_{n=1}^\infty$ относительно компактно в $\boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) )$, а множество $\{\theta_n\}_{n=1}^\infty$ относительно компактно в $L^2(0,{t_M};L^2(\Omega))$. Поэтому, переходя к подпоследовательности (если это необходимо), получаем, что
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_n\to\boldsymbol{v}\text{ слабо в } \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_n\to \boldsymbol{v}\text{ сильно в } \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
$$
\begin{equation}
\theta_n\to \theta\text{ слабо в } L^2(0,{t_M};H^1(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
$$
\begin{equation}
\theta_n\to\theta\text{ сильно в } L^2(0,{t_M};L^2(\Omega)) \text{ при } n\to\infty
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
для некоторых функций $\boldsymbol{v}$ и $\theta$. Кроме того, с помощью теоремы М. А. Красносельского о непрерывности оператора суперпозиции (см., например, [28; гл. I, § 1.8]) и условий (h2)–(h4) из (3.47) выводим следующую сходимость:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{F}(\theta_n)\to\boldsymbol{F}(\theta) \text{ сильно в } \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{L}^2(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
где $[\boldsymbol{F}(\theta)](t):=\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,, t,\theta(t))$ при $t\in[0,t_M]$. Пусть $\eta=\eta(t)$ – бесконечно дифференцируемая функция с носителем, содержащимся в $(0,{t_M})$. Умножим обе части (3.40) на $\eta$. Проинтегрируем полученное равенство по $t$ в пределах от $0$ до $t_M$ и применим формулу интегрирования по частям к первому слагаемому из левой части; в результате имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int_0^{t_M}(\boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta'\,dt +\int_0^{t_M}\biggl(v_{nx}\, \frac{\partial \boldsymbol{v}_n}{\partial x},\boldsymbol{w}_{\ell}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\ +\int_0^{t_M}\biggl(v_{ny}\, \frac{\partial \boldsymbol{v}_n}{\partial y},\boldsymbol{w}_{\ell}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt +2\nu\int_0^{t_M}(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v}_n), \boldsymbol{D}(\boldsymbol{w}_{\ell}))_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\ +\alpha\int_0^{t_M}(\boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\partial\Omega)}\eta\,dt =\int_0^{t_M}(\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta_n),\boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2 (\Omega)}\eta\,dt, \qquad\ell\in\{1,2,\dots, n\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Далее, умножим обе части (3.41) на функцию $\eta$, проинтегрируем по $t$ в пределах от $0$ до $t_M$, a затем применим формулу интегрирования по частям к первому слагаемому из левой части полученного равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int_0^{t_M}(\theta_n, \psi_\ell)_{L^2(\Omega)}\eta'\,dt +\int_0^{t_M}\biggl(v_{nx}\,\frac{\partial \theta_n}{\partial x},\psi_\ell\biggr)_{L^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\quad+\int_0^{t_M}\biggl(v_{ny}\, \frac{\partial \theta_n}{\partial y},\psi_\ell\biggr)_{L^2(\Omega)}\eta\,dt +k\int_0^{t_M}(\nabla\theta_n, \nabla\psi_\ell)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\quad+\beta\int_0^{t_M}(\theta_n, \psi_\ell)_{L^2(\partial\Omega)}\eta\,dt =\int_0^{t_M}(h, \psi_\ell)_{L^2(\Omega)}\eta\,dt, \qquad\ell\in\{1,2,\dots, n\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
Принимая во внимание (3.44)–(3.48), перейдем к пределу $n\to\infty$ в равенствах (3.49) и (3.50); в результате получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\int_0^{t_M}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta'\,dt +\int_0^{t_M}\biggl(v_{x}\, \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x},\boldsymbol{w}_{\ell}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\qquad+\int_0^{t_M}\biggl(v_{y}\, \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial y},\boldsymbol{w}_{\ell}\biggr)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt +2\nu\int_0^{t_M}(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{D}(\boldsymbol{w}_{\ell}))_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\qquad+\alpha\int_0^{t_M}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\partial\Omega)}\eta\,dt =\int_0^{t_M}(\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,t,\theta), \boldsymbol{w}_{\ell})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt, \\ &-\int_0^{t_M}(\theta, \psi_\ell)_{L^2(\Omega)}\eta'\,dt +\int_0^{t_M}\biggl(v_{x}\, \frac{\partial \theta}{\partial x},\psi_\ell\biggr)_{L^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\qquad+\int_0^{t_M}\biggl(v_{y}\, \frac{\partial \theta}{\partial y},\psi_\ell\biggr)_{L^2(\Omega)}\eta\,dt +k\int_0^{t_M}(\nabla\theta, \nabla\psi_\ell)_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\eta\,dt \\ &\qquad+\beta\int_0^{t_M}(\theta, \psi_\ell)_{L^2(\partial\Omega)}\eta\,dt =\int_0^{t_M}(h, \psi_\ell)_{L^2(\Omega)}\eta\,dt \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $\ell\in\{1,2,\dots\}$. Благодаря тому, что последовательность $\{\boldsymbol{w}_{\ell}\}_{\ell=1}^\infty$ полна в $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$, а последовательность $\{\psi_\ell\}_{\ell=1}^\infty$ полна в $H^1(\Omega)$, в приведенных выше равенствах можно заменить $\boldsymbol{w}_{\ell} $ и $\psi_\ell$ на произвольные функции $\boldsymbol{w}\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ и $\psi\in H^1(\Omega)$ соответственно. Кроме того, ввиду начальных условий (3.42) и (3.43) приходим к равенствам $\boldsymbol{v}(0)=\boldsymbol{u}$ и $\theta(0)=\zeta$. Таким образом, установлено, что $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$. Единственность пары $(\boldsymbol{v},\theta)$, удовлетворяющей требованиям данной леммы, вытекает из следствия 1. Лемма 5 доказана. Следствие 2. Для любого $t\in[0,{t_M}]$ корректно определен оператор сдвига $\mathbb{T}_t\colon\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\subset\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) \times L^2(\Omega)\to\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$, причем в силу леммы 4 этот оператор является липшиц-непрерывным. Лемма 6. Если $K=0$ и множество $\mathcal{U}_2$ выпукло, то справедливо равенство для любых $\boldsymbol{u}\in\mathcal{U}_1$, $\zeta_1,\zeta_2\in\mathcal{U}_2$, $a\in[0,1]$ и $s\in[0,t_M]$. Доказательство. Равенство $K=0$ позволяет существенно упростить процедуру вычисления $\mathbb{T}_s(\boldsymbol{u},\zeta)$. В самом деле, по определению оператора сдвига $\mathbb{T}_s(\boldsymbol{u},\zeta)=(\boldsymbol{v}(s),\theta(s))$, где функции $\boldsymbol{v}$ и $\theta$ таковы, что $(\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}$. В условиях данной леммы целесообразно вначале найти $\boldsymbol{v}$, решая нелинейное уравнение (2.3), которое не зависит от функций $\theta$ и $\zeta$, при начальном условии $\boldsymbol{v}(0)=\boldsymbol{u}$. Затем, подставляя $\boldsymbol{v}$ в (2.4), получаем линейное (относительно $\theta$) уравнение, из которого можно найти значение $\theta(s)$. Используя данный подход к нахождению значений оператора сдвига, с учетом условия выпуклости множества $\mathcal{U}_2$ можно непосредственно вывести соотношение (3.51). Лемма доказана.
§ 4. Доказательство теоремы 1Сначала докажем утверждение (i) о существовании оптимального управления в системе (1.1)–(1.7). Заметим, что пространство $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ компактно вложено в $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) $. Это непосредственно следует из компактности вложения $H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ (см., например, [25; гл. 2, § 1]). Далее, напомним, что согласно условиям теоремы 1 множество допустимых управлений $\mathcal{U}_1$ ограничено в $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$, а множество допустимых управлений $\mathcal{U}_2$ ограничено в $H^1(\Omega)$. Поэтому множество $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ относительно компактно в пространстве $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$. Кроме того, это множество является замкнутым в $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$. В самом деле, возьмем последовательность $\{(\boldsymbol{u}_n,\zeta_n)\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ такую, что $(\boldsymbol{u}_n,\zeta_n)$ сходится к $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)$ по норме $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$ при $n\to\infty$. Поскольку последовательность $\{\boldsymbol{u}_n\}_{n=1}^\infty$ ограничена в $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$, а последовательность $\{\zeta_n\}_{n=1}^\infty$ ограничена в $H^1(\Omega)$, то найдутся подпоследовательности $\{\boldsymbol{u}_{n_m}\}_{m=1}^\infty$ и $\{\theta_{n_m}\}_{m=1}^\infty$, векторная функция $\boldsymbol{v}_0\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ и функция $\xi_0\in H^1(\Omega)$ такие, что $\boldsymbol{u}_{n_m}$ слабо сходится к $\boldsymbol{v}_0$ в $\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)$ и $\zeta_{n_m}$ слабо сходится к $\xi_0$ в $H^1(\Omega)$ при $m\to\infty$. В силу допущений (h5) и (h6) имеем включение $(\boldsymbol{v}_0,\xi_0)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$. С другой стороны, ясно, что $\boldsymbol{u}_{n_m}$ сходится к $\boldsymbol{v}_0$ по норме $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) $, а $\zeta_{n_m}$ сходится к $\xi_0$ по норме $L^2(\Omega)$ при $m\to\infty$. Поэтому $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)=(\boldsymbol{v}_0,\xi_0)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$. Таким образом, заключаем, что множество $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ компактно в пространстве $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$. Из леммы 4 вытекает, что операторы сдвига $\mathbb{T}_{t_i}$, $i=0,1,\dots,M$, рассматриваемые как отображения из множества $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\subset \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$ в пространство $\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)$, являются непрерывными. Введем оператор $\mathbb{T}\colon\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\to[ \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)]^{M+1}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}(\boldsymbol{u},\zeta) :=\mathbb{T}_{t_0}(\boldsymbol{u},\zeta)\times \mathbb{T}_{t_1}(\boldsymbol{u},\zeta)\times\dots\times\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u},\zeta)
\end{equation*}
\notag
$$
и функцию $\Phi\colon[\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)]^{M+1}\to\mathbf{R}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\Phi[(\boldsymbol{w}_0,\eta_0),(\boldsymbol{w}_1,\eta_1),\dots,(\boldsymbol{w}_M,\eta_M)] :=\sum_{i=0}^M\mu_i\|(\boldsymbol{w}_i,\eta_i)-(\widehat{\boldsymbol{v}_i},\widehat{\theta}_i) \|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная функция $\Phi\circ\mathbb{T}$ достигает минимума на компактном множестве $\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$. Рассмотрим пару $(\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2$ такую, что
$$
\begin{equation*}
[\Phi\circ\mathbb{T}](\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)=\inf\{[\Phi\circ\mathbb{T}](\boldsymbol{u},\zeta) \colon (\boldsymbol{u},\zeta)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что пара $(\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)$ — оптимальное управление в системе (1.1)–(1.7). Докажем теперь утверждение (ii). Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}:=\{\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)\colon \zeta\in\mathcal{U}_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (3.51) следует, что это множество выпукло. Покажем, что $\mathcal{G}$ замкнуто в $\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)$. Возьмем пару $(\overline{\boldsymbol{v}},\overline{\theta}) \in\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)$, для которой существует последовательность $\{\overline{\zeta}_m\}_{m=1}^\infty\subset\mathcal{U}_2$ такая, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta}_m)\to (\overline{\boldsymbol{v}},\overline{\theta}) \text{ сильно в } \boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega) \text{ при } m\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В силу условия (h6) не ограничивая общности, можно считать, что $\overline{\zeta}_m\to\overline{\zeta}\in\mathcal{U}_2$ слабо в $H^1(\Omega)$ при $m\to\infty$. Поскольку вложение $H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ компактно и оператор $\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,{\cdot}\,)\colon \mathcal{U}_2\subset L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$ непрерывен, то получаем
$$
\begin{equation}
\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta}_m)\to \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta}) \text{ сильно в } \boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega) \text{ при } m\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Сравнивая (4.1) и (4.2), приходим к выводу, что $(\overline{\boldsymbol{v}},\overline{\theta}) =\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta})\in\mathcal{G}$. Обозначим через $\mathbb{P}_{\mathcal{G}}(\boldsymbol{w},\psi)$ метрическую проекцию пары $(\boldsymbol{w},\psi)\in\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)$ на множество $\mathcal{G}$. В силу установленных выше свойств множества $\mathcal{G}$ оператор $\mathbb{P}_{\mathcal{G}}\colon\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)\to\mathcal{G}$ определен корректно. Ясно, что пара $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)$ является решением задачи оптимизации (1.1)–(1.7) тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)=\mathbb{P}_{\mathcal{G}}(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Пусть выполнено (4.3). Поскольку множество $\mathcal{G}$ выпукло, то
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)+s(\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta) -\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)) =(1-s)\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)+s\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta) \in\mathcal{G}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $\zeta\in\mathcal{U}_2$ и любого $s\in[0,1]$. Введем функцию $\Upsilon\colon[0,1]\to\mathbf{R}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\Upsilon(s):=\|(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)-\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) -s(\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta) -\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0))\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d\Upsilon}{ds} &=-2\bigl((\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)-\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0),\mathbb{T}_{t_M} (\boldsymbol{u}_0,\zeta)-\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) \bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \\ &\qquad+2s\|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta) -\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Заметим, что в силу равенства (4.3) функция $\Upsilon$ достигает минимума в точке $s=0$. Это означает, что Из соотношений (4.4) и (4.5) следует вариационное неравенство (2.5).С другой стороны, если выполнено (2.5), то для любой функции $\zeta\in\mathcal{U}_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \bigl(\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M), \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta) -\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \\ &=\bigl(\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M), \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \\ &\qquad-\|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)}^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)}^2 \\ &\qquad\leqslant\bigl(\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M), \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant\|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)} \leqslant\|\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\zeta)-(\widehat{\boldsymbol{v}}_M, \widehat{\theta}_M)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)}\quad \forall\,\zeta\in\mathcal{U}_2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует равенство (4.3); тем самым установлено, что пара $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)$ является решением задачи оптимизации (1.1)–(1.7). Для доказательства (iii) будем рассуждать от противного. Предположим, что в системе (1.1)–(1.7) существуют как минимум два оптимальных управления $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_*)$ и $(\boldsymbol{u}_0,\zeta_{**})$, где $\boldsymbol{u}_0$ — единственный элемент множества $\mathcal{U}_1$ и $\zeta_*\neq\zeta_{**}$. Рассмотрим функцию $\Psi_{\boldsymbol{u}_0}\colon\mathcal{U}_2\to\mathbf{R}$, заданную по формуле
$$
\begin{equation*}
\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta):=\sum_{i=0}^M\mu_i\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation}
\inf\{\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta)\colon \zeta\in\mathcal{U}_2\} =\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_*)=\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_{**}).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Покажем, что $\Psi_{\boldsymbol{u}_0}$ — строго выпуклая функция. Пусть $\zeta_1,\zeta_2\in \mathcal{U}_2$, $\zeta_1\neq\zeta_2$ и $a\in(0,1)$. Используя лемму 6, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(a\zeta_1+(1-a)\zeta_2) =\sum_{i=0}^M\mu_i\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,a\zeta_1+(1-a)\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2 \\ &=\sum_{i=0}^M\mu_i\bigl\|a\bigl(\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\bigr) +(1-a)\bigl(\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\bigr) \bigr\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2 \\ &=\sum_{i=0}^M\mu_i \bigl\{a^2\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2+(1-a)^2\| \mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2\bigr\} \\ &\qquad+2a(1-a)\sum_{i=0}^M\mu_i\bigl(\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)),\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Кроме того, исходя из определения функции $\Psi_{\boldsymbol{u}_0}$, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_1)+(1-a)\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_2) &= a\sum_{i=0}^M\mu_i\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2 \\ &\qquad+(1-a)\sum_{i=0}^M\mu_i\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычитая из последнего равенства (4.7), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_1)+(1-a)\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_2) -\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(a\zeta_1+(1-a)\zeta_2) \\ &\qquad=a(1-a)\sum_{i=0}^M\mu_i \|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2 \\ &\qquad= a(1-a)\sum_{i=0}^M\mu_i \|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2 \\ &\qquad\qquad+2a(1-a)\sum_{i=0}^M\mu_i\bigl(\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)),\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2) -(\widehat{\boldsymbol{v}}_i,\widehat{\theta}_i)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с помощью несложных преобразований выводим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_1)+(1-a)\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_2) -\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(a\zeta_1+(1-a)\zeta_2) \\ &\quad =a(1-a)\sum_{i=0}^M\mu_i\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2 \\ &\quad=a(1-a)\biggl\{(1-\lambda_0)\mu_0\|\zeta_1-\zeta_2\|_{L^2(\Omega)}^2 +\sum_{i=1}^M\mu_i\|\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_1) -\mathbb{T}_{t_i}(\boldsymbol{u}_0,\zeta_2)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda_i}(\Omega)}^2\biggr\} \\ &\quad\geqslant a(1-a)(1-\lambda_0)\mu_0\|\zeta_1-\zeta_2\|_{L^2(\Omega)}^2>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В приведенных выше выкладках мы использовали следующие соотношения: $\zeta_1\neq\zeta_2$, $0<a<1$, $0<\lambda_0<1$ и $\mu_0>0$. Таким образом, установлено, что функция $\Psi_{\boldsymbol{u}_0}$ строго выпуклая. Тогда с учетом (4.6) находим, что
$$
\begin{equation*}
\inf\{\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta)\colon \zeta\in\mathcal{U}_2\} =a\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_*)+(1-a)\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(\zeta_{**}) >\Psi_{\boldsymbol{u}_0}(a\zeta_*+(1-a)\zeta_{**}).
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречие доказывает утверждение (iii). Теорема 1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bar22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|