Аннотация:
Рассматривается задача оптимального стартового управления для двумерных уравнений Буссинеска, описывающих неизотермические течения вязкой жидкости в ограниченной области. На основе изучения свойств допустимых кортежей и оператора сдвига доказана разрешимость задачи оптимизации при естественных допущениях относительно данных модели. Выведено вариационное неравенство, которому удовлетворяет оптимальное управление при условии, что целевой функционал определяется финальным наблюдением. Кроме того, получены достаточные условия единственности оптимального управления.
Библиография: 28 наименований.
Задачи оптимизации и управления для уравнений гидродинамики и теплопереноса представляют большой интерес с математической точки зрения (см. [1], [2]) и весьма важны для приложений. Наиболее хорошо изучен случай распределенного (в области течения) управления, когда в качестве параметра управления выбирается внешняя сила, действующая на жидкость [3; § 6], или интенсивность внешних тепловых источников [4]. Управление может входить не только в правые части уравнений движения и баланса энергии, но и в граничные условия. Так, например, при решении задачи о минимизации работы, производимой вязкой несжимаемой жидкостью, обтекающей ограниченное трехмерное тело [5], управлением является неоднородное краевое условие Дирихле для поля скоростей жидкости на границе тела. В задачах оптимизации протекания жидкости через заданную трехмерную область естественно использовать в качестве параметров управления напор [6] или давление [7] на тех участках границы, где происходит протекание жидкости.
Другой важный тип управления – стартовое управление – возникает в ситуации, когда управляющие параметры входят в начальные условия для эволюционных уравнений [3; § 7]. Стартовое управление используется, например, при изучении некорректных задач Коши [8; гл. 3, § 11.4], а также при стабилизации решений системы Навье–Стокса около стационарного решения [9]. Обычно в задачах оптимального стартового управления течением начальное состояние системы служит управлением, а целевой функционал является финальным, т. е. наблюдается только финальное состояние системы (см., например, [10]). Однако в некоторых случаях важно отслеживать состояние управляемой системы и в промежуточные моменты времени, оценивая при этом отклонение текущих характеристик, таких как скорость, температура, давление и др., от желаемых значений. Соответствующие нелинейные задачи оптимизации достаточно сложны и до сих пор не исследованы. Одна из таких задач изучается в настоящей статье.
Рассмотрим задачу оптимального стартового управления для системы уравнений Буссинеска, описывающей неизотермическое течение вязкой жидкости в ограниченной области Ω⊂R2 с локально-липшицевой границей ∂Ω:
где x, y – пространственные координаты; t – время; t0,…,tM – заданные моменты времени, причем 0=t0<⋯<tM; v=(vx(x,y,t),vy(x,y,t)) – скорость течения жидкости; D(v) – тензор скоростей деформации,
D(v):=[∂vx∂x12(∂vx∂y+∂vy∂x)12(∂vx∂y+∂vy∂x)∂vy∂y];
θ=θ(x,y,t) – температура; p=p(x,y,t) – давление; f=f(x,y,t,θ) – поле внешних сил, действующих на жидкость; h=h(x,y,t) – интенсивность тепловых источников; n=(nx(x,y),ny(x,y)) – единичная внешняя нормаль к поверхности ∂Ω; ν – коэффициент вязкости, ν>0; α – коэффициент скольжения, α>0; β – коэффициент теплоотдачи на ∂Ω, β>0; k – коэффициент теплопроводности, k>0; u=(ux(x,y),uy(x,y)) и ζ=ζ(x,y) – поле скоростей и температуры в начальный момент времени (управляющие функции); ˆvi=(ˆvix(x,y),ˆviy(x,y)) и ˆθi=ˆθi(x,y) – заданные функции; U1×U2 – множество допустимых управлений; J=J(v,θ) – целевой функционал; λ0,…,λM и μ0,…,μM – числовые параметры, причем 0<λi<1, 0⩽ для каждого i\in\{0,1,\dots,M\} и \sum_{i=0}^M\mu_i=1. Нижний индекс \tau обозначает касательную составляющую вектора, т. е. \boldsymbol{v}_{\tau}:=\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}. Символы \nabla и \Delta обозначают соответственно градиент и лапласиан по переменным x и y:
где \boldsymbol{a}=(a_x, a_y) и \boldsymbol{A}=(A_{ij})_{i,j=1}^2.
Суть задачи оптимального стартового управления течением заключается в том, чтобы во множестве допустимых начальных состояний \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 найти такую пару (\boldsymbol{u}_*,\zeta_*), выбор которой приводит к наиболее выгодному (относительно целевого функционала J) состоянию управляемой системы в заданные моменты времени t_0,\dots,t_M.
Основная цель настоящей статьи – доказать разрешимость задачи (1.1)–(1.7) и установить свойства ее решений. Работа организована следующим образом. В § 2 дана точная формулировка задачи об оптимальном управлении в терминах допустимых кортежей (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) и оператора сдвига \mathbb{T}_t=\mathbb{T}_t(\boldsymbol{u},\zeta), описывающего изменение поля скоростей и температуры за промежуток времени [0,t] при выборе управляющих функций (\boldsymbol{u},\zeta). В § 2 также сформулированы основные результаты статьи (теорема 1): приводятся достаточные условия для существования и единственности оптимального решения, а также указано вариационное неравенство, которому удовлетворяет оптимальное управление при условии, что целевой функционал определяется финальным наблюдением. В § 3 установлены некоторые свойства допустимых кортежей и оператора сдвига; с помощью этих свойств в § 4 доказана теорема 1.
Замечание 1. Отметим некоторые работы, в которых рассматриваются задачи управления для различных моделей тепломассопереноса. Точная управляемость уравнений Буссинеска установлена в [11]. В статье [12] обсуждается применение принципа максимума Понтрягина к задаче оптимального управления двумерным неизотермическим течением вязкой жидкости. Работа [13] посвящена построению различных дискретных аппроксимаций и вычислительного алгоритма для решения линейной задачи управления с обратной связью в модели Буссинеска. Задачи с жестким управлением для линеаризованных уравнений Буссинеска изучаются в [14]. В работе [15] предложено решение задачи локальной экспоненциальной стабилизации для уравнений Буссинеска с управлением, действующим на заданном участке границы области течения. Авторами статьи [16] рассмотрен вопрос о существовании оптимальных решений в одномерной системе типа Буссинеска, моделирующей артериальную сеть. Следует также упомянуть работы [17]–[21], в которых изучаются различные задачи оптимизации для моделей стационарных неизотермических течений вязкой жидкости.
§ 2. Постановка задачи оптимального стартового управления и основные результаты работы
В этом параграфе приводится точная формулировка задачи об оптимальном стартовом управлении неизотермическим течением в терминах допустимых кортежей и оператора сдвига. Сначала опишем необходимые в дальнейшем обозначения и пространства функций.
Символ \mathbf{R} обозначает множество вещественных чисел, а \mathbf{R}^n – n-мерное евклидово пространство. Пусть \boldsymbol{\varphi}\colon\overline{\Omega}\times [0,s]\to\mathbf{R}^n – вектор-функция и t\in[0,s]. Через \boldsymbol{\varphi}(t) будем обозначать вектор-функцию (x,y)\longmapsto\boldsymbol{\varphi}(x,y,t), где (x,y)\in\overline{\Omega}.
Как обычно, L^q(\Omega), 1\leqslant q<\infty, – пространство Лебега, а H^1(\Omega):=W^{1,2}(\Omega) – пространство Соболева. Для обозначения соответствующих классов векторных функций используются те же самые символы, но для первой буквы применяется жирное начертание, т. е.
Сужение функции v\in{H}^1(\Omega) на \partial\Omega определяется по формуле v|_{\partial\Omega}=\gamma_0v, где \gamma_0\colon{H}^1(\Omega)\to L^s(\partial\Omega) – оператор следа (см., например, [22; § 2.4.2]), 1\leqslant s<\infty.
Отметим, что для любого q\in[2,+\infty) выполнено мультипликативное неравенство [23; гл. 5, теорема 5.8]
Из неравенства Корна (см. [24; гл. I, § 2.2]) следует, что норма \|\,{\cdot}\,\|_{\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)} эквивалентна норме \|\,{\cdot}\,\|_{\boldsymbol{H}^1(\Omega)}.
Используя теорему Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве, отождествим L^2(\Omega) с его сопряженным пространством: [L^2(\Omega) ]^*\equiv L^2(\Omega). Таким образом, приходим к цепочке вложений
Пусть \lambda\in(0,1). Через \boldsymbol{E}_\lambda(\Omega) обозначим пространство, состоящее из пар (\boldsymbol{w},\psi)\in \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega), со скалярным произведением
и евклидовой нормой \|(\boldsymbol{w},\psi)\|_{\boldsymbol{E}_{\lambda}(\Omega)} :=\bigl((\boldsymbol{w},\psi), (\boldsymbol{w},\psi)\bigr)_{\boldsymbol{E}_{\lambda}(\Omega)}^{1/2}.
Пусть F — банахово пространство. При l\in F^* и \varphi\in F с помощью \langle l, \varphi\rangle_{F^*\times F} будем обозначать действие функционала l на элементе \varphi.
Через C([0,s];F) обозначим пространство непрерывных функций из [0,s] в F, а через L^q(0,s;F) – пространство L^q-функций (т. е. функций интегрируемых в степени q) из [0, s] в F.
Нам понадобится следующее утверждение, доказательство которого приведено в [25; гл. III, § 1].
Лемма 1. Пусть X и Y – гильбертовы пространства и имеет место цепочка вложений X\hookrightarrow Y\equiv Y^*\hookrightarrow X^*, где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны. Если функция g принадлежит пространству L^2(0, s;X), а ее обобщенная производная g' принадлежит пространству L^2(0, s; X^*), то функция g п. в. равна некоторой непрерывной функции из [0, s] в Y и справедливо равенство
(h2) вектор-функция \boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,,\varrho)\colon \Omega\times (0,t_M)\to\mathbf{R}^2 принадлежит пространству Лебега \boldsymbol{L}^2(\Omega\times (0,t_M)) для любого \varrho\in\mathbf{R};
(h3) вектор-функция \boldsymbol{f}(\boldsymbol{r},t,{\cdot}\,)\colon\mathbf{R}\to\mathbf{R}^2 непрерывна при п. в. (\boldsymbol{r},t)\in\Omega\times(0,t_M);
(h4) существует постоянная K\geqslant 0 такая, что выполнено неравенство
при любых \varrho_1,\varrho_2\in\mathbf{R} и п. в. (\boldsymbol{r},t)\in\Omega\times(0,t_M);
(h5) множество \mathcal{U}_1 ограничено и секвенциально слабо замкнуто в пространстве \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega);
(h6) множество \mathcal{U}_2 ограничено и секвенциально слабо замкнуто в пространстве H^1(\Omega).
Замечание 2. При K=0, т. е. когда плотность внешних сил не зависит от температуры, уравнения (1.1)–(1.3) переходят в так называемую несвязную модель тепломассопереноса.
Определение 1.Допустимым кортежем управляемой системы (1.1)–(1.7) будем называть четверку (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) такую, что
для любых функций \boldsymbol{w}\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) и \psi\in H^1(\Omega).
Множество всех допустимых кортежей обозначим через \mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2} .
Замечание 3. Поясним, как возникают тождества (2.3) и (2.4) в определении допустимого кортежа. Пусть тройка (\boldsymbol{v},\theta, p) – классическое решение задачи (1.1)–(1.5). Умножим скалярно в \boldsymbol{L}^2(\Omega) равенство (1.1) на векторную функцию \boldsymbol{w}\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega). Принимая во внимание соотношения \Delta\boldsymbol{v}=2\nabla\cdot \boldsymbol{D}(\boldsymbol{v}) и (\nabla p,\boldsymbol{w})_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}=0, с помощью интегрирования по частям выводим равенство
Подставляя граничное условие проскальзывания 2\nu[\boldsymbol{D}(\boldsymbol{v})\mathbf{n}]_{\tau}=-\alpha\boldsymbol{v}_{\tau} в пятое слагаемое из левой части последнего равенства, приходим к тождеству (2.3). Аналогично, умножая скалярно в L^2(\Omega) равенство (1.3) на функцию \psi\in H^1(\Omega) и выполняя интегрирование по частям, получаем тождество (2.4).
В следующем параграфе будет показано, что для любой пары управляющих функций (\boldsymbol{u},\zeta) из множества \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 существует единственный допустимый кортеж (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta). Это дает возможность корректно определить оператор сдвига.
Определение 2. Пусть t\in[0,t_M]. Оператором сдвига за времяt будем называть отображение \mathbb{T}_t\colon\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\to\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) \times L^2(\Omega), заданное по формуле
где функции \boldsymbol{v} и \theta взяты из допустимого кортежа (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta).
Определение 3.Оптимальным управлением в системе (1.1)–(1.7) будем называть пару функций (\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 такую, что
Определение 4. Если \mu_0=\dots=\mu_{M-1}=0, а \mu_{M}=1, то целевой функционал J будем называть финальным.
Cформулируем теперь основные результаты работы.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (h1)–(h6). Тогда
(i) в системе (1.1)–(1.7) существует по крайней мере одно оптимальное управление;
(ii) если целевой функционал J является финальным, \mathcal{U}_1=\{\boldsymbol{u}_0\}, множество \mathcal{U}_2 выпукло и K=0, то пара (\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)\in\mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2 является оптимальным управлением в системе (1.1)–(1.7) в том и только в том случае, когда выполнено вариационное неравенство
(iii) если \mu_0>0, K=0 и множество \mathcal{U}_1 состоит из единственного элемента, a множество \mathcal{U}_2 выпукло, то в системе (1.1)–(1.7) существует единственное оптимальное управление.
Замечание 4. Аналогичные результаты могут быть получены и для трехмерных гидродинамических моделей при наличии теоремы о глобальной разрешимости, единственности и непрерывной зависимости решения от времени t. Например, такими свойствами обладают уравнения Навье–Стокса–Фойгта [26], описывающие течения несжимаемой вязкоупругой жидкости.
§ 3. Свойства допустимых кортежей и оператора сдвига
Для того чтобы доказать теорему 1, установим основные свойства допустимых кортежей и оператора сдвига.
Лемма 2. Если (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}, то
\begin{equation}
\boldsymbol{v}'(t)=-\mathbb{A}_1(\boldsymbol{v}(t))+\mathbb{B}_1(\boldsymbol{v}(t),\boldsymbol{v}(t))+\mathbb{F}(t,\theta(t)) \quad\text{при п. в. } t\in(0, t_M).
\end{equation}
\tag{3.4}
Принимая во внимание условия (h2)–(h4), получаем, что
Здесь и ниже C_j, j=1,2,\dots, – положительные постоянные, зависящие только от исходных данных задачи. Из оценки (3.7) и непрерывности нормы \|\boldsymbol{v}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} по t вытекает (3.6). Принимая во внимание соотношения (3.4)–(3.6), можно сделать вывод о справедливости первого включения из (3.1).
Докажем теперь, что выполнено и второе включение из (3.1). Введем два оператора:
\begin{equation}
\theta'(t)=-\mathbb{A}_2(\theta(t))+\mathbb{B}_2(\boldsymbol{v}(t),\theta(t))+h(t)\quad \text{при п. в. } t\in(0, t_M).
\end{equation}
\tag{3.8}
Оценивая второе и четвертое слагаемые из правой части (3.26) с помощью (3.18) и (3.25) соответственно, приходим к неравенству (3.15). Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если (\boldsymbol{u}_1,\zeta_1,\boldsymbol{v}_1,\theta_1) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2} и (\boldsymbol{u}_2,\zeta_2,\boldsymbol{v}_2,\theta_2) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}, то
Так как по условию данной леммы (\boldsymbol{u}_i,\zeta_i,\boldsymbol{v}_i,\theta_i) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}, i=1,2, то при п. в. t\in(0, t_M) имеют место следующие равенства:
где g_2(t):= C_{10}\|\nabla\widetilde{\boldsymbol{v}}\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2} \|\theta_2(t)\|_{H^1(\Omega)}\|\nabla\widetilde{\theta}(t)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^{1/2}.
Следствие 1. Если (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v}_1,\theta_1) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2} и (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v}_2,\theta_2) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}, то для любого t\in[0,{t_M}] справедливы равенства: \boldsymbol{v}_1(t)=\boldsymbol{v}_2(t) и \theta_1(t)=\theta_2(t).
Лемма 5. Для любой пары (\boldsymbol{u},\zeta) из множества допустимых управлений \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 существует единственная пара (\boldsymbol{v},\theta) такая, что (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}.
Доказательство. Для нахождения функций \boldsymbol{v} и \theta воспользуемся методом Фаэдо–Галеркина. Пусть \{\boldsymbol{w}_{\ell}\}_{\ell=1}^\infty – последовательность вектор-функций, которая является полной в пространствах \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) и \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) и ортонормированной в \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega). Способ построения такой последовательности базисных функций описан в [27; гл. 1, § 6.3]. Кроме того, зафиксируем последовательность \{\psi_\ell\}_{\ell=1}^\infty, которая является полной в пространствах H^1(\Omega) и L^2(\Omega) и ортонормированной в L^2(\Omega). Зафиксируем также произвольное натуральное число n.
Приближенные решения, описывающие поле скоростей и температуру при выборе \boldsymbol{u} и \zeta в качестве управляющих функций, будем искать в виде
Используя те же самые рассуждения, что и при доказательстве леммы 3, можно показать, что нормы \|\boldsymbol{v}_n(s)\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} и \|\theta_n(s)\|_{L^2(\Omega)} равномерно ограничены относительно n\in\{1,2,\dots\} и s\in[0,{t_M}]. Наличие таких априорных оценок означает, что задача Коши (3.40)–(3.43) разрешима “в целом”, т. е. на всем отрезке [0,{t_M}].
Имеет место также равномерная ограниченность норм \|\boldsymbol{v}_n\|_{\boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega))} и \|\theta_n\|_{L^2(0,{t_M};H^1(\Omega))}. Кроме того, аналогично тому, как это делается при построении слабых решений эволюционных уравнений Навье–Стокса (см. [27; гл. 1, § 6.4]), можно вывести равномерную ограниченность норм \|\boldsymbol{v}_n'\|_{\boldsymbol{L}^2(0,{t_M};[\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)]^*)} и \|\theta_n'\|_{L^2(0,{t_M};[H^1(\Omega)]^*)}. Применив теорему 5.1 из [27; гл. 1, § 5.2], заключаем, что множество \{\boldsymbol{v}_n\}_{n=1}^\infty относительно компактно в \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) ), а множество \{\theta_n\}_{n=1}^\infty относительно компактно в L^2(0,{t_M};L^2(\Omega)). Поэтому, переходя к подпоследовательности (если это необходимо), получаем, что
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_n\to\boldsymbol{v}\text{ слабо в } \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.44}
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_n\to \boldsymbol{v}\text{ сильно в } \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.45}
\begin{equation}
\theta_n\to \theta\text{ слабо в } L^2(0,{t_M};H^1(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.46}
\begin{equation}
\theta_n\to\theta\text{ сильно в } L^2(0,{t_M};L^2(\Omega)) \text{ при } n\to\infty
\end{equation}
\tag{3.47}
для некоторых функций \boldsymbol{v} и \theta.
Кроме того, с помощью теоремы М. А. Красносельского о непрерывности оператора суперпозиции (см., например, [28; гл. I, § 1.8]) и условий (h2)–(h4) из (3.47) выводим следующую сходимость:
\begin{equation}
\boldsymbol{F}(\theta_n)\to\boldsymbol{F}(\theta) \text{ сильно в } \boldsymbol{L}^2(0,{t_M};\boldsymbol{L}^2(\Omega)) \text{ при } n\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.48}
где [\boldsymbol{F}(\theta)](t):=\boldsymbol{f}(\,{\cdot}\,, t,\theta(t)) при t\in[0,t_M].
Пусть \eta=\eta(t) – бесконечно дифференцируемая функция с носителем, содержащимся в (0,{t_M}). Умножим обе части (3.40) на \eta. Проинтегрируем полученное равенство по t в пределах от 0 до t_M и применим формулу интегрирования по частям к первому слагаемому из левой части; в результате имеем
Далее, умножим обе части (3.41) на функцию \eta, проинтегрируем по t в пределах от 0 до t_M, a затем применим формулу интегрирования по частям к первому слагаемому из левой части полученного равенства:
Благодаря тому, что последовательность \{\boldsymbol{w}_{\ell}\}_{\ell=1}^\infty полна в \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega), а последовательность \{\psi_\ell\}_{\ell=1}^\infty полна в H^1(\Omega), в приведенных выше равенствах можно заменить \boldsymbol{w}_{\ell} и \psi_\ell на произвольные функции \boldsymbol{w}\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) и \psi\in H^1(\Omega) соответственно. Кроме того, ввиду начальных условий (3.42) и (3.43) приходим к равенствам \boldsymbol{v}(0)=\boldsymbol{u} и \theta(0)=\zeta. Таким образом, установлено, что (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}. Единственность пары (\boldsymbol{v},\theta), удовлетворяющей требованиям данной леммы, вытекает из следствия 1. Лемма 5 доказана.
Следствие 2. Для любого t\in[0,{t_M}] корректно определен оператор сдвига \mathbb{T}_t\colon\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\subset\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) \times L^2(\Omega)\to\boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega), причем в силу леммы 4 этот оператор является липшиц-непрерывным.
Лемма 6. Если K=0 и множество \mathcal{U}_2 выпукло, то справедливо равенство
для любых \boldsymbol{u}\in\mathcal{U}_1, \zeta_1,\zeta_2\in\mathcal{U}_2, a\in[0,1] и s\in[0,t_M].
Доказательство. Равенство K=0 позволяет существенно упростить процедуру вычисления \mathbb{T}_s(\boldsymbol{u},\zeta). В самом деле, по определению оператора сдвига \mathbb{T}_s(\boldsymbol{u},\zeta)=(\boldsymbol{v}(s),\theta(s)), где функции \boldsymbol{v} и \theta таковы, что (\boldsymbol{u},\zeta,\boldsymbol{v},\theta) \in\mathfrak{M}_{\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2}. В условиях данной леммы целесообразно вначале найти \boldsymbol{v}, решая нелинейное уравнение (2.3), которое не зависит от функций \theta и \zeta, при начальном условии \boldsymbol{v}(0)=\boldsymbol{u}. Затем, подставляя \boldsymbol{v} в (2.4), получаем линейное (относительно \theta) уравнение, из которого можно найти значение \theta(s). Используя данный подход к нахождению значений оператора сдвига, с учетом условия выпуклости множества \mathcal{U}_2 можно непосредственно вывести соотношение (3.51). Лемма доказана.
Сначала докажем утверждение (i) о существовании оптимального управления в системе (1.1)–(1.7).
Заметим, что пространство \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) компактно вложено в \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) . Это непосредственно следует из компактности вложения H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega) (см., например, [25; гл. 2, § 1]). Далее, напомним, что согласно условиям теоремы 1 множество допустимых управлений \mathcal{U}_1 ограничено в \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega), а множество допустимых управлений \mathcal{U}_2 ограничено в H^1(\Omega). Поэтому множество \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 относительно компактно в пространстве \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega). Кроме того, это множество является замкнутым в \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega). В самом деле, возьмем последовательность \{(\boldsymbol{u}_n,\zeta_n)\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 такую, что (\boldsymbol{u}_n,\zeta_n) сходится к (\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) по норме \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega) при n\to\infty. Поскольку последовательность \{\boldsymbol{u}_n\}_{n=1}^\infty ограничена в \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega), а последовательность \{\zeta_n\}_{n=1}^\infty ограничена в H^1(\Omega), то найдутся подпоследовательности \{\boldsymbol{u}_{n_m}\}_{m=1}^\infty и \{\theta_{n_m}\}_{m=1}^\infty, векторная функция \boldsymbol{v}_0\in \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) и функция \xi_0\in H^1(\Omega) такие, что \boldsymbol{u}_{n_m} слабо сходится к \boldsymbol{v}_0 в \boldsymbol{H}^1_{\sigma,\tau}(\Omega) и \zeta_{n_m} слабо сходится к \xi_0 в H^1(\Omega) при m\to\infty. В силу допущений (h5) и (h6) имеем включение (\boldsymbol{v}_0,\xi_0)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2. С другой стороны, ясно, что \boldsymbol{u}_{n_m} сходится к \boldsymbol{v}_0 по норме \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega) , а \zeta_{n_m} сходится к \xi_0 по норме L^2(\Omega) при m\to\infty. Поэтому (\boldsymbol{u}_0,\zeta_0)=(\boldsymbol{v}_0,\xi_0)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2. Таким образом, заключаем, что множество \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 компактно в пространстве \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega).
Из леммы 4 вытекает, что операторы сдвига \mathbb{T}_{t_i}, i=0,1,\dots,M, рассматриваемые как отображения из множества \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\subset \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega) в пространство \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega), являются непрерывными.
Введем оператор \mathbb{T}\colon\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2\to[ \boldsymbol{L}^2_{\sigma,\tau}(\Omega)\times L^2(\Omega)]^{M+1} по формуле
Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная функция \Phi\circ\mathbb{T} достигает минимума на компактном множестве \mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2. Рассмотрим пару (\boldsymbol{u}_*,\zeta_*)\in\mathcal{U}_1\times\mathcal{U}_2 такую, что
Из равенства (3.51) следует, что это множество выпукло.
Покажем, что \mathcal{G} замкнуто в \boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega). Возьмем пару (\overline{\boldsymbol{v}},\overline{\theta}) \in\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega), для которой существует последовательность \{\overline{\zeta}_m\}_{m=1}^\infty\subset\mathcal{U}_2 такая, что
\begin{equation}
\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta}_m)\to (\overline{\boldsymbol{v}},\overline{\theta}) \text{ сильно в } \boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega) \text{ при } m\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.1}
В силу условия (h6) не ограничивая общности, можно считать, что \overline{\zeta}_m\to\overline{\zeta}\in\mathcal{U}_2 слабо в H^1(\Omega) при m\to\infty. Поскольку вложение H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega) компактно и оператор \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,{\cdot}\,)\colon \mathcal{U}_2\subset L^2(\Omega)\to L^2(\Omega) непрерывен, то получаем
\begin{equation}
\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta}_m)\to \mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta}) \text{ сильно в } \boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega) \text{ при } m\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.2}
Сравнивая (4.1) и (4.2), приходим к выводу, что (\overline{\boldsymbol{v}},\overline{\theta}) =\mathbb{T}_{t_M}(\boldsymbol{u}_0,\overline{\zeta})\in\mathcal{G}.
Обозначим через \mathbb{P}_{\mathcal{G}}(\boldsymbol{w},\psi) метрическую проекцию пары (\boldsymbol{w},\psi)\in\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega) на множество \mathcal{G}. В силу установленных выше свойств множества \mathcal{G} оператор \mathbb{P}_{\mathcal{G}}\colon\boldsymbol{E}_{\lambda_M}(\Omega)\to\mathcal{G} определен корректно.
Ясно, что пара (\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) является решением задачи оптимизации (1.1)–(1.7) тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство:
откуда следует равенство (4.3); тем самым установлено, что пара (\boldsymbol{u}_0,\zeta_0) является решением задачи оптимизации (1.1)–(1.7).
Для доказательства (iii) будем рассуждать от противного. Предположим, что в системе (1.1)–(1.7) существуют как минимум два оптимальных управления (\boldsymbol{u}_0,\zeta_*) и (\boldsymbol{u}_0,\zeta_{**}), где \boldsymbol{u}_0 — единственный элемент множества \mathcal{U}_1 и \zeta_*\neq\zeta_{**}.
Рассмотрим функцию \Psi_{\boldsymbol{u}_0}\colon\mathcal{U}_2\to\mathbf{R}, заданную по формуле
Покажем, что \Psi_{\boldsymbol{u}_0} — строго выпуклая функция. Пусть \zeta_1,\zeta_2\in \mathcal{U}_2, \zeta_1\neq\zeta_2 и a\in(0,1). Используя лемму 6, получаем, что
А. В. Фурсиков, Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения, Научная книга, Новосибирск, 1999, 352 с. ; англ. пер.: A. V. Fursikov, Optimal control of distributed systems. Theory and applications, Transl. Math. Monogr., 187, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, xiv+305 с.
2.
Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко, Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости, Дальнаука, Владивосток, 2008, 365 с.
3.
А. В. Фурсиков, “Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье–Стокса и Эйлера”, Матем. сб., 115(157):2(6) (1981), 281–306; англ. пер.: A. V. Fursikov, “Control problems and theorems concerning the unique solvability of a mixed boundary value problem for the three-dimensional Navier–Stokes and Euler equations”, Math. USSR-Sb., 43:2 (1982), 251–273
4.
Hyung-Chun Lee, Byeong Chun Shin, “Dynamics for controlled 2-D Boussinesq systems with distributed controls”, J. Math. Anal. Appl., 273:2 (2002), 457–479
5.
А. В. Фурсиков, “Обтекание тела вязкой несжимаемой жидкостью: краевые задачи и минимизация работы жидкости”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 37, РУДН, М., 2010, 83–130; англ. пер.: A. V. Fursikov, “Flow of a viscous incompressible fluid around a body: boundary-value problems and minimization of the work of a fluid”, J. Math. Sci. (N.Y.), 180:6 (2012), 763–816
6.
Е. С. Барановский, “Оптимальное граничное управление течением нелинейно-вязкой жидкости”, Матем. сб., 211:4 (2020), 27–43; англ. пер.: E. S. Baranovskii, “Optimal boundary control of nonlinear-viscous fluid flows”, Sb. Math., 211:4 (2020), 505–520
7.
E. S. Baranovskii, A. A. Domnich, M. A. Artemov, “Optimal boundary control of non-isothermal viscous fluid flow”, Fluids, 4:3 (2019), 133, 14 pp.
8.
Ж.-Л. Лионс, Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, Мир, М., 1972, 416 с. ; пер. с фр.: J. L. Lions, Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles, Dunod, Paris; Gauthier-Villars, Paris, 1968, xiii+426 pp.
9.
A. Fursikov, A. V. Gorshkov, “Certain questions of feedback stabilization for Navier–Stokes equations”, Evol. Equ. Control Theory, 1:1 (2012), 109–140
10.
M. V. Plekhanova, G. D. Baybulatova, P. N. Davydov, “Numerical solution of an optimal control problem for Oskolkov's system”, Math. Methods Appl. Sci., 41:18 (2018), 9071–9080
11.
А. В. Фурсиков, О. Ю. Эмануилов, “Точная управляемость уравнений Навье–Стокса и Буссинеска”, УМН, 54:3(327) (1999), 93–146; англ. пер.: A. V. Fursikov, O. Yu. Imanuilov, “Exact controllability of the Navier–Stokes and Boussinesq equations”, Russian Math. Surveys, 54:3 (1999), 565–618
12.
Shugang Li, Gengsheng Wang, “The time optimal control of the Boussinesq equations”, Numer. Funct. Anal. Optim., 24:1-2 (2003), 163–180
13.
Hyung-Chun Lee, Youngmi Choi, “Analysis and approximation of linear feedback control problems for the Boussinesq equations”, Comput. Math. Appl., 51:5 (2006), 829–848
14.
М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова, “Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска”, Дифференц. уравнения, 48:4 (2012), 565–576; англ. пер.: M. V. Plekhanova, A. F. Islamova, “Problems with a robust mixed control for the linearized Boussinesq equation”, Differ. Equ., 48:4 (2012), 574–585
15.
J. A. Burns, Xiaoming He, Weiwei Hu, “Feedback stabilization of a thermal fluid system with mixed boundary control”, Comput. Math. Appl., 71:11 (2016), 2170–2191
16.
C. D'Apice, O. P. Kupenko, R. Manzo, “On boundary optimal control problem for an arterial system: First-order optimality conditions”, Netw. Heterog. Media, 13:4 (2018), 585–607
17.
Г. В. Алексеев, “Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции”, Сиб. матем. журн., 39:5 (1998), 982–998; англ. пер.: G. V. Alekseev, “Solvability of stationary boundary control problems for heat convection equations”, Siberian Math. J., 39:5 (1998), 844–858
18.
Г. В. Алексеев, А. М. Хлуднев, “Устойчивость решений экстремальных задач граничного управления для стационарных уравнений тепловой конвекции”, Сиб. журн. индустр. матем., 13:2 (2010), 5–18; англ. пер.: G. V. Alekseev, A. M. Khludnev, “Stability of solutions to extremal problems of boundary control for stationary heat convection equations”, J. Appl. Industr. Math., 5:1 (2011), 1–13
19.
G. Alekseev, D. Tereshko, “Stability of optimal controls for the stationary Boussinesq equations”, Int. J. Differ. Equ., 2011 (2011), 535736, 28 pp.
20.
E. Mallea-Zepeda, E. Lenes, E. Valero, “Boundary control problem for heat convection equations with slip boundary condition”, Math. Probl. Eng., 2018 (2018), 7959761, 14 pp.
21.
J. L. Boldrini, E. Mallea-Zepeda, M. A. Rojas-Medar, “Optimal boundary control for the stationary Boussinesq equations with variable density”, Commun. Contemp. Math., 22:5 (2020), 1950031, 34 pp.
22.
J. Nečas, Direct methods in the theory of elliptic equations, Transl. from the French, Springer Monogr. Math., Springer, Heidelberg, 2012, xvi+372 pp.
23.
R. A. Adams, J. J. F. Fournier, Sobolev spaces, Pure Appl. Math. (Amst.), 140, 2nd ed., Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2003, xiv+305 pp.
24.
В. Г. Литвинов, Движение нелинейно-вязкой жидкости, Наука, М., 1982, 375 с.
25.
Р. Темам, Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ, Мир, М., 1981, 408 с. ; пер. с англ.: R. Temam, Navier–Stokes equations. Theory and numerical analysis, Stud. Math. Appl., 2, 2nd rev. ed., North-Holland Publishing Co., Amsterdam–New York, 1979, x+519 с.
26.
E. S. Baranovskii, “Strong solutions of the incompressible Navier–Stokes–Voigt model”, Mathematics, 8:2 (2020), 181, 16 pp.
27.
Ж.-Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Мир, М., 1972, 587 с. ; пер. с фр.: J.-L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris; Gauthier-Villars, Paris, 1969, xx+554 pp.
28.
H. K. Pathak, An introduction to nonlinear analysis and fixed point theory, Springer, Singapore, 2018, xxvii+830 pp.
Образец цитирования:
Е. С. Барановский, “Задача оптимального стартового управления для двумерных уравнений Буссинеска”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:2 (2022), 3–24; Izv. Math., 86:2 (2022), 221–242
R. V. Brizitskii, A. A. Donchak, “Multiplicative Control Problem for a Nonlinear Reaction–Diffusion Model”, Comput. Math. and Math. Phys., 64:1 (2024), 56
Evgenii S. Baranovskii, Olga Yu. Shishkina, “Generalized Boussinesq System with Energy Dissipation: Existence of Stationary Solutions”, Mathematics, 12:5 (2024), 756
Е. С. Барановский, “Стационарная система Навье–Стокса–Буссинеска
с регуляризованной диссипативной функцией”, Матем. заметки, 115:5 (2024), 665–678; E. S. Baranovskii, “The Stationary Navier–Stokes–Boussinesq System with a Regularized Dissipation Function”, Math. Notes, 115:5 (2024), 670–682
R. V. Brizitskii, N. N. Maksimova, “MULTIPLICATIVE CONTROL PROBLEMS FOR THE DIFFUSION-DRIFT CHARGING MODEL OF AN INHOMOGENEOUS POLAR DIELECTRIC”, Differencialʹnye uravneniâ, 60:5 (2024)
Р. В. Бризицкий, А. А. Дончак, “Задача мультипликативного управления для нелинейной модели реакции–диффузии”, Žurnal vyčislitelʹnoj matematiki i matematičeskoj fiziki, 64:1 (2024)
R. V. Brizitskii, N. N. Maksimova, “Multiplicative Control Problems for the Diffusion–Drift Charging
Model of an Inhomogeneous Polar Dielectric”, Diff Equat, 60:5 (2024), 614
Z. Luo, X. Liu, Y. Zeng, Y. Li, “Existence and uniqueness of generalized and mixed finite element solutions for steady Boussinesq equation”, Mathematics, 11:3 (2023), 545
J. Moon, “A Pontryagin maximum principle for terminal state-constrained optimal control problems of Volterra integral equations with singular kernels”, AIMS Mathematics, 8:10 (2023), 22924–22943
Andrea Chierici, Valentina Giovacchini, Sandro Manservisi, “Analysis and computations of optimal control problems for boussinesq equations”, Fluids, 7:6 (2022), 203
Baranovskii E.S., Lenes E., Mallea-Zepeda E., Rodriguez J., Vasquez L., “Control Problem Related to 2D Stokes Equations With Variable Density and Viscosity”, Symmetry-Basel, 13:11 (2021), 2050