| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О числе эпи-, моно- и гомоморфизмов групп Е. К. Брусянскаяab, А. А. Клячкоab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9139 
Реферативные базы данных:
    ВведениеВ основу работы легли три классических результата про делимость в группах: теоремы Фробениуса (1895), Соломона (1969) и Ивасаки (1985). Теорема Фробениуса ([1], см. также [2]). Число решений уравнения $x^n{=}\,1$ в конечной группе $G$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(|G|,n)$ для любого натурального $n$. Теорема Соломона (см. [3]). В любой группе число решений конечной системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если уравнений меньше, чем неизвестных. Другими словами, число гомоморфизмов $\langle x_1,\dots,x_m\mid w_1=\dots=w_n=1\rangle\to G$ делится на $|G|$, если $m>n$. Теорема Ивасаки (см. [4]). Для любого целого $n$ число элементов конечной группы $G$, $n$-е степени которых лежат в данной подгруппе $A\subseteq G$, делится на $|A|$. Эти теоремы много раз обобщались в разных направлениях (см. [5]–[21] и литературу там цитируемую). Например, в [16] доказано следующее обобщение теоремы Соломона. Теорема Гордона–Родригеса–Виллегаса (см. [16]). Число гомоморфизмов $F\to G$ делится на порядок группы $G$, если $F$ – конечно порожденная группа, коммутант которой имеет бесконечный индекс. Позже выяснилось, что между тремя классическими результатами есть связь: – в [19] доказан некоторый общий факт, который мы здесь называем теоремой КМ, включающий в себя в качестве частных случаев теоремы Соломона и Ивасаки (и их обобщения); – в [20] показано, что все три классических теоремы (и их обобщения, включая теорему КМ) являются частными случаями одной очень общей теоремы, которую мы здесь называем теоремой BKV (см. § 1). Авторы [19] выводят из теоремы КМ следующий факт о делимости числа гомоморфизмов, удовлетворяющих условиям типа инъективности или сюръективности. Пусть $F\supseteq W$ и $G\supseteq A$ – группы и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Hom}(F,W;G,A)&\,{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)\subseteq A\}, \\ \operatorname{Epi}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)=A\}, \\ \operatorname{Mono}(F,W;G,A)&{=}\,\{\phi\colon F\to G\mid \phi(W)\,{\subseteq}\, A \text{ и ограничение $\phi$ на $W$ инъективно}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема (об эпи-, моно- и гомоморфизмах; см. [19]). Пусть $W$ – подгруппа конечно порожденной группы $F$, коммутант $F'$ которой имеет бесконечный индекс, а $A$ – подгруппа группы $G$. Тогда a) и $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$, и $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$, и $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делятся на порядок нормализатора $N(A)$ подгруппы $A$, если индекс $|F:F'W|$ бесконечен; b) $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ делится на $|A|$; c) $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ делится на $|A'|$. Целью настоящей работы является добавление “фробениусовости” в эту теорему, т. е. избавление от условий $|F:F'|=\infty$ и $|F:F'W|=\infty$. Результат оказался ожидаемым для утверждений a) и b), гораздо менее очевидным в случае c), кроме того, возникает новое утверждение d). “Фробениусова” теорема (об эпи-, моно- и гомоморфизмах). Пусть $A$ – подгруппа группы $G$, а $W$ – подгруппа конечно порожденной группы $F$. Тогда a) и $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$, и $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$, и $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делятся на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(N(A),\exp(F/(F'W))\bigr)$; b) $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(A,\exp(F/F'))$; c) $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(A'A^{\exp(F/F')},\exp(F/F')\bigr)$; d) $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(A,\exp\bigl(F/(F'Z(W))\bigr)\bigr)$. Это сильно упрощенная формулировка приведенной ниже теоремы 1, точнее ее следствия (см. § 3). Все, что здесь утверждается по поводу числа $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$, не является новым – эти факты, установленные в [20], мы включили просто для полноты картины. Отметим, что в этой теореме не предполагается, что группа $G$ конечна. Мы придерживаемся обозначений из [20]: наибольшим общим делителем $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,n)$ группы $G$ и целого числа $n$ мы называем наименьшее общее кратное порядков подгрупп группы $G$, делящих $n$; делимость всегда понимается в смысле кардинальной арифметики: каждый бесконечный кардинал делится на все меньшие ненулевые кардиналы (и, разумеется, нуль делится на все кардиналы, а на нуль делится только нуль). Это означает, что $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,0)=|G|$ для любой группы $G$; а, например, $\operatorname{\textrm{НОД}}(\mathbf{SL}_2(\mathbb{Z}),2020)=2$. Без потери общности будем считать все группы в настоящей работе конечными, а в этом случае $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,n)=\operatorname{\textrm{НОД}}(|G|,n)$ по теореме Силова (и поскольку конечная $p$-группа содержит подгруппы всех возможных порядков). Пункт b) этой теоремы, разумеется, содержит классические теоремы – Фробениуса (достаточно взять в качестве $F=W$ циклическую группу и положить $A=G$); – Соломона и даже Гордона–Родригеса-Виллегаса (достаточно взять в качестве $F=W$ конечно порожденную группу, коммутант которой имеет бесконечный индекс и положить $A=G$); – Ивасаки (достаточно положить $F=\mathbb{Z}\supseteq n\mathbb{Z}=W$). А если, например, взять в пункте c) теоремы в качестве $F=W$ свободное произведение циклических групп и положить $A=G$, то мы получим следующий факт. Следствие (о системах порождающих). Для любой группы $G$ и любых $k_i\,{\in}\,\mathbb{Z}$ число наборов $(g_1,\dots,g_n)$ элементов группы $G$ таких, что $\langle g_1,\dots,g_n\rangle\,{=}\,G$ и $g_i^{k_i}=1$, делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}\bigl(G'\cdot G^{\operatorname{\textrm{НОК}}(k_1,\dots,\,k_n)}, \operatorname{\textrm{НОК}}(k_1,\dots,\,k_n)\bigr)$. (Здесь и далее $G^m:=\langle\{g^m\mid g\in G\}\rangle$.) Отметим, что ключом к нашему обобщению теоремы об эпи- моно- и гомоморфизмах является использование вместо теоремы КМ ее “фробениусова аналога”, т. е. теоремы BKV. Однако на самом деле мы обобщаем и саму теорему BKV (см. основную теорему в § 1 и ее доказательство в § 2). Обозначения и соглашения, которые мы используем, в целом стандартны. Отметим только, что если $k\,{\in}\,\mathbb{Z}$, а $x$ и $y$ – элементы некоторой группы, то $x^y$, $x^{ky}$ и $x^{-y}$ обозначают $y^{-1}xy$, $y^{-1}x^ky$ и $y^{-1}x^{-1}y$ соответственно. Коммутант группы $G$ мы обозначаем символом $G'$ или $[G,G]$, а центр группы $G$ – символом $Z(G)$; подгруппу группы $G$, порожденную $n$-ми степенями всех элементов – символом $G^n$. Мощность множества $X$ обозначаем $|X|$; если $X$ – подмножество некоторой группы, то $\langle X\rangle$, $C(X)$ и $N(X)$ означают соответственно подгруппу, порожденную множеством $X$, централизатор множества $X$ и нормализатор множества $X$. Индекс подгруппы $H$ группы $G$ обозначается $|G\,{:}\,H|$. Буква $\mathbb{Z}$ обозначает множество целых чисел. $\operatorname{\textrm{НОД}}$ и $\operatorname{\textrm{НОК}}$ – это наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Символом $\exp(G)$ – период (экспоненту) группы $G$, если этот период конечен; и считаем $\exp(G)=0$, если период бесконечен. Кроме того, отметим еще раз, что конечность групп нигде не предполагается по умолчанию, делимость всегда понимается в смысле кардинальной арифметики (бесконечный кардинал делится на все ненулевые кардиналы, не превосходящие его), а $\operatorname{\textrm{НОД}}(G,n):=\operatorname{\textrm{НОК}}(\{|H|\bigm| H \text{ - подгруппа в } G \text{ и } |H| \text{ делит } n\})$. § 1. Основная теоремаГруппу $F$ с фиксированным эпиморфизмом $F\to\mathbb{Z}_n:=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (где $n\in\mathbb{Z}$) мы называем $n$-индексированной группой [20]. Этот эпиморфизм $F\to\mathbb{Z}_n$ мы называем степенью и обозначаем $\deg$. Таким образом, для любого элемента $f$ индексированной группы $F$ определен элемент $\deg f\in\mathbb{Z}_n$, причем группа $F$ содержит элементы всех степеней и ${\deg(fg)=\deg f+\deg g}$ для любых $f,g\in F$. Пусть имеется гомоморфизм $\phi\colon F\to G$ из $n$-индексированной группы $F$ в какую-то группу $G$ и подгруппа $H$ группы $G$. Подгруппу
$$
\begin{equation*}
H_\phi=\bigcap_{f\in F}H^{\phi(f)}\cap C\bigl(\phi(\ker\deg)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
называют $\phi$-сердцевиной подгруппы $H$ [19]. Другими словами, $\phi$-сердцевина $H_\phi$ подгруппы $H$ состоит из таких ее элементов $h$, что $h^{\phi(f)}\in H$ для всех $f$, причем $h^{\phi(f)}=h$, если $\deg f=0$. Теорема BKV (см. [20]). Пусть целое число $n$ делится на порядок подгруппы $H$ некоторой группы $G$, и некоторое множество $\Phi$ гомоморфизмов из $n$-индексированной группы $F$ в $G$ удовлетворяет следующим условиям. I. $\Phi$ инвариантно относительно сопряжения элементами из $H$: если $h\in H$ и $\phi\in\Phi$, то гомоморфизм $\psi\colon f\mapsto\phi(f)^h$ тоже лежит в $\Phi$. II. Для любого $\phi\in\Phi$ и любого элемента $h$ из $\phi$-сердцевины $H_\phi$ подгруппы $H$ гомоморфизм $\psi$, определенный правилом
$$
\begin{equation*}
\psi(f)= \begin{cases} \phi(f) &\text{для всех элементов $f\in F$ степени нуль}; \\ \phi(f)h &\text{для некоторого элемента $f\in F$ степени один} \\ &\quad\text{(а, значит, и для всех элементов степени один)}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
также содержится в $\Phi$. Тогда $|\Phi|$ делится на $|H|$. Отметим, что – отображение $\psi$ из условия I является гомоморфизмом при любом $h\in G$; а формула для $\psi$ из условия II определяет гомоморфизм при любых $h\in H_\phi$ (как объясняется в [20]); смысл условий I и II состоит в том, что эти гомоморфизмы лежат в $\Phi$; – согласно лемме 3 из [20] в условии II теоремы BKV $\psi(f)\in\phi(f)H_\phi$ для всех $f\in F$; – условие “$n$ делится на порядок подгруппы $H$” можно опустить, но тогда в заключении теоремы следует написать: “$|\Phi|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(H,n)$” (вместо “$|\Phi|$ делится на $|H|$”); это вытекает сразу из определения наибольшего общего делителя группы и числа (см. Введение) и из того, что если условия I и II выполнены для $H$, то они выполнены и для любой подгруппы группы $H$; – теорема КМ – это в точности теорема BKV при $n=0$. Основная теорема. Пусть $F$ – $n$-индексированная группа, $H$ – подгруппа группы $G$, $k$ – натуральное число, $\Phi$ – некоторое множество гомоморфизмов из $F$ в $G$, удовлетворяющее следующим условиям: (i) для всех $\phi\in\Phi$ и $h\in H$ гомоморфизм $\psi\colon f\mapsto\phi(f)^h$ лежит в $\Phi$; (ii) для каждого $\phi\in\Phi$ $\phi$-сердцевина $H_\phi$ подгруппы $H$ содержит подгруппу $H_{\phi,k}$ такую, что
Тогда $|\Phi|$ делится на $\operatorname{\textrm{НОД}}(H,n)$. Этот факт обобщает теорему BKV и по сути (т. е. с учетом замечаний после теоремы BKV) превращается в нее, если положить $k=1$ и $H_{\phi,k}=H_\phi$. § 2. Доказательство основной теоремыМожно предполагать, что $|H|$ делит $n$ (по определению наибольшего общего делителя группы и числа и поскольку условия (i) и (ii) сохраняются при замене $H$ на ее подгруппу). Далее достаточно показать, что условия I и II теоремы BKV выполнены для этих $F$, $G$, $H$ и $\Phi$. Условие I очевидно выполнено в силу условия (i). Проверим условие II. Пусть $\phi\in\Phi$, элемент $f_1\in F$ имеет степень один, $\phi(f_1)=g$ и $h\in H_\phi$. Надо показать, что гомоморфизм $\psi\colon F\to G$, совпадающий с $\phi$ на элементах степени нуль и переводящий $f_1$ в $gh$, лежит в $\Phi$. Каждый элемент $w\in F$, степень которого делится на $k$, можно записать в виде $w=f_0f_1^{ki}$ для некоторых $i\in\mathbb{Z}$ и $f_0\in\ker\deg$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\psi(w)=\psi(f_0f_1^{ki})=\psi(f_0)(gh)^{ki}=\phi(f_0)(gh)^{ki}
\end{equation*}
\notag
$$
(поскольку $\phi$ и $\psi$ совпадают на $\ker\deg$). Подгруппа $H_\phi$ нормальна в $\langle H_\phi,g\rangle$ по определению $\phi$-сердцевины $H_\phi$. Лемма Брауэра (см. [22], также [20]). Если $U$ – конечная нормальная подгруппа группы $V$, то для всех $v\in V$ и $u\in U$ элементы $v^{|U|}$ и $(vu)^{|U|}$ сопряжены с помощью элемента из $U$. Применив лемму Брауэра к нормальной подгруппе $H_\phi/H_{\phi,k}$ группы $\langle g, H_\phi\rangle/H_{\phi,k}$, мы получим включение $(gh)^{ki}\in g^{kih'}H_{\phi,k}$ для некоторого $h'\in H_\phi$, который не зависит ни от $i$, ни от $w$, а определяется только гомоморфизмами $\phi$ и $\psi$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(w)&= \phi(f_0)(gh)^{ki}\in \phi(f_0)g^{kih'}H_{\phi,k} \stackrel{(1)}{=} \bigl(\phi(f_0)g^{ki}\bigr)^{h'}H_{\phi,k}\stackrel{(2)}{=} \bigl(\phi(f_0f_1^{ki})\bigr)^{h'}H_{\phi,k} \\ &\!\stackrel{(3)}{=} \bigl(\phi(w)\bigr)^{h'}H_{\phi,k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где равенство $\stackrel{(1)}{=}$ вытекает из того, что элемент $h'\in H_\phi$ коммутирует с образом $\phi(f_0)$ элемента $f_0$ степени нуль по определению $\phi$-сердцевины $H_\phi$; равенство $\stackrel{(2)}{=}$ вытекает из определения элемента $g$; равенство $\stackrel{(3)}{=}$ вытекает из определения элемента $w$. Гомоморфизм $f\mapsto \bigl(\phi(f)\bigr)^{h'}$ лежит в $\Phi$ по условию (i), и, следовательно, $\psi\in\Phi$ по условию (ii). Доказательство основной теоремы завершено. § 3. На что делится число эпи-, моно- и гомоморфизмовПусть $\Phi$ – некоторое множество гомоморфизмов из $n$-индексированной группы $F$ в группу $G$, а $B$ и $H$ – подгруппы в $G$. Подгруппу $H$ назовем $(B,k,\Phi)$-гладкой, если при всех $\phi\in\Phi$ группа $H_\phi\cap B$ содержит нормальную в $\langle H_\phi,\phi(F)\rangle$ подгруппу $\widehat B$ (зависящую от $\phi$) такую, что $|H_\phi/\widehat B|$ делит $k$. Следующая лемма содержит вполне очевидные примеры гладких подгрупп. Лемма (о гладких подгруппах). Следующие подгруппы группы $G$ являются $(B,k,\Phi)$-гладкими: 1) любая подгруппа, содержащаяся в $B$; 2) любая подгруппа, порядок которой делит $k$; 3) любая подгруппа $H$ такая, что $|H:H\cap B|$ делит $k$, если $B\triangleleft G$. Доказательство. Достаточно взять в качестве $\widehat B$ следующие подгруппы: 1) $H_\phi$, 2) $\{1\}$, 3) $H\cap B$. Теорема 1. Пусть $A$ – подгруппа группы $G$, а $W$ – подгруппа $n$-индексированной группы $F$, причем $\deg(W)=k\mathbb{Z}_n$. Пусть a) $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ для любой $(A,k,\operatorname{Hom}(F,W;G,A))$-гладкой подгруппы $H\subseteq N(A)$ группы $G$; b) $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ для любой $(A'A^n,k,\operatorname{Epi}(F,W;G,A))$-гладкой подгруппы $H\subseteq N(A)$ группы $G$, где $A^n:=\langle\{a^n\mid a\in A\}\rangle$; c) $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ для любой $(A,k,\operatorname{Mono}(F,W;G,A))$-гладкой подгруппы $H\subseteq N(A)$ группы $G$, если индексация группы $F$ выбрана так, что $\deg(w)=0$ для каждого центрального (в $W$) элемента $w\in W$ такого, что $w^n=1$. Заметим, что подгруппа $A'A^n$, о которой идет речь в п. b), и подгруппа $\{w\,{\in}\, Z(W)\mid w^n\,{=}\,1\}$, о которой говорится в п. c), суть ни что иное, как вербальная подгруппа группы $A$ и маргинальная подгруппа группы $W$, соответствующие многообразию абелевых групп экспоненты $n$. Доказательство теоремы 1. Достаточно проверить, что условия (i) и (ii) основной теоремы выполнены для данных $F$, $G$, $H$, $k$, $\Phi$ и $H_{\phi,k}=\widehat B$ (где $\widehat B$ из определения гладкой подгруппы $B$, в качестве которой мы берем $A$ в п. a) и c) и $A'A^n$ в п. b)). Первые два пункта условия (ii) заведомо выполнены по определению гладкости, нуждается в проверке только последний пункт условия (ii). a) $B=A$ и $\Phi=\operatorname{Hom}(F,W;G,A)$. Условие (i) очевидно выполнено, поскольку $H\subseteq N(A)$. Условие (ii) тоже выполнено, поскольку для всех $w\in W$ мы имеем $\psi(w)\in\phi(w)\widehat B\subseteq\phi(w)A=A$, т. е. $\psi\in\Phi$, что и требовалось. b) $B=A'A^n$ и $\Phi=\operatorname{Epi}(F,W;G,A)$. Условие (i) очевидно выполнено по той же причине: $H\subseteq N(A)$. Условие (ii) тоже выполнено:
$$
\begin{equation*}
A\stackrel{(1)}{=}\phi(W)\stackrel{(2)}{\subseteq}\psi(W)A'A^n\stackrel{(3)}{=}\psi(W)\phi(W'W^n) \stackrel{(4)}{=}\psi(W)\psi(W'W^n)=\psi(W),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\stackrel{(1)}{=}$ выполнено по определению $\Phi\ni\phi$; $\stackrel{(2)}{\subseteq}$ выполнено по определению $\psi$ из условия (ii) при $B=A'A^n\supseteq\widehat B=H_{\phi,k}$; $\stackrel{(3)}{=}$ следует из $\stackrel{(1)}{=}$; $\stackrel{(4)}{=}$ следует из того, что $\deg(W'W^n)=\{0\}$, а $\psi$ и $\phi$ из условия (ii) совпадают на элементах степени нуль. В итоге мы получили, что $A=\psi(W)$, т. е. $\psi\in\Phi$, что и требовалось. c) $B=A$ и $\Phi=\operatorname{Mono}(F,W;G,A)$. Условие (i) очевидно выполнено по той же причине: $H\subseteq N(A)$. Покажем, что (ii) тоже выполнено. Во-первых, $\psi(W)\subseteq\phi(W)A=A$. Осталось показать, что $\ker\psi\cap W=\{1\}$. Пусть $w\in\ker\psi\cap W$. Тогда – для каждого $w'\in W$ имеем $1=\psi([w,w'])=\phi([w,w'])$ (так как коммутаторы имеют степень нуль, а на элементах степени нуль $\phi$ и $\psi$ совпадают), следовательно, $[w,w']=1$ (так как гомоморфизм $\phi$ инъективен на $W$), т. е. $w\in Z(W)$; – аналогично получаем $1=\psi(w^n)=\phi(w^n)$ (так как $\deg(w^n)=n\deg(w)=0$, а на элементах степени нуль $\phi$ и $\psi$ совпадают), следовательно, $w^n=1$ (так как гомоморфизм $\phi$ инъективен на $W$). Мы получили, что $w$ – центральный элемент группы $W$ и $w^n=1$, а такие элементы имеют степень нуль по условию. Значит, $\phi(w)=\psi(w)=1$, т. е. $w=1$ в силу того, что $\phi\in\operatorname{Mono}(F,W:G,A)$. Стало быть, $\ker\psi\cap W=\{1\}$, что и требовалось. Теорема 1 доказана. Следствие. В условиях теоремы 1 и $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$, и $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$, и $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делятся на $\operatorname{\textrm{НОД}}(k,N(A))$. Кроме того, a) $|{\operatorname{Hom}(F,W;G,A)}|$ делится
b) $|{\operatorname{Epi}(F,W;G,A)}|$ делится
c) если $\deg\bigl(\{w\in Z(W)\mid w^n=1\}\bigr)=\{0\}$, то $|{\operatorname{Mono}(F,W;G,A)}|$ делится Доказательство. Первое утверждение (о делимости на $\operatorname{\textrm{НОД}}(k,N(A))$) вытекает непосредственно из теоремы 1 и утверждения 2) леммы о гладких подгруппах.
Остальные утверждения этого следствия также вытекают из теоремы 1 и подходящего утверждения о гладких подгруппах. a) Делимость на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,A)$ сразу вытекает из утверждения 1) леммы о гладких подгруппах. Делимость на $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,|G|,k\cdot|A|)$ следует из утверждения 3) леммы о гладких подгруппах. Действительно, достаточно в теореме 1 взять в качестве $H$ $p$-подгруппу группы $G$, порядок которой есть максимальная степень $p^i$ числа $p$, делящая $\operatorname{\textrm{НОД}}(n,k|A|,|G|)$, причем выбрать $H$
Эта подгруппа будет $(A,k,\operatorname{Hom}(F,W;G,A))$-гладкой по лемме о гладких подгруппах. Значит, $|H|$ делит $\operatorname{Hom}(F,W;G,A)$ в силу теоремы 1. Проделав это для всех простых $p$, мы получим нужную делимость. b) Второе утверждение п. b) доказывается точно так же, как второе утверждение п. a). Чтобы доказать первое утверждение п. b), по теореме 1 достаточно убедиться, что подгруппа $H$ является $(A'A^n,k,\operatorname{Epi}(F,W;G,A))$-гладкой, т. е. при всех $\phi\in\operatorname{Epi}(F,W;G,A)$ группа $H_\phi\cap(A'A^n)$ содержит нормальную в $\langle H_\phi,\phi(F)\rangle$ подгруппу $\widehat B$ такую, что $|H_\phi/\widehat B|$ делит $k$. В качестве такой подгруппы $\widehat B$ достаточно взять $Z(A'A^n)\cap H_\phi$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
H_\phi \stackrel{(1)}{\subseteq} C\bigl(\phi(\ker\deg)\bigr) \stackrel{(2)}{\subseteq} C\bigl(\phi(W'W^n)\bigr) \stackrel{(3)}{=} C(A'A^n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\stackrel{(1)}{\subseteq}$ вытекает из определения $\phi$-сердцевины $H_\phi$, $\stackrel{(2)}{\subseteq}$ вытекает из того, что $\deg(W'W^n)=\{0\}$, а $\stackrel{(3)}{=}$ вытекает из равенства $\phi(W)=A$. Значит, по теореме Лагранжа $|H_\phi/(Z(A'A^n)\cap H_\phi)|$ делит
$$
\begin{equation*}
\bigl|\bigl(C(A'A^n)\cap H\bigr)/\bigl(Z(A'A^n)\cap H\bigr)\bigr|,
\end{equation*}
\notag
$$
что делит $k$ по условию. c) Доказательство аналогично п. a). Следствие доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BruKly22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|