Аннотация:
В статье решена известная проблема Дубровина–Новикова, поставленная еще в 1984 г. в связи с гамильтоновой теорией систем гидродинамического типа, — проблема классификации многомерных скобок Пуассона гидродинамического типа. В отличие от одномерного случая в общем случае невырожденные многомерные скобки Пуассона гидродинамического типа нельзя привести к постоянному виду локальными заменами координат, они порождаются, вообще говоря, нетривиальными каноническими специальными бесконечномерными алгебрами Ли. В данной работе дифференциально-геометрическими методами получена классификация всех неособых невырожденных многомерных скобок Пуассона гидродинамического типа для любого числа компонент $N$ и для любой размерности $n$. Ключевую роль в решении этой задачи сыграла теория согласованных метрик, построенная ранее автором. Библ. 20.
Ключевые слова:
Многомерная скобка Дубровина–Новикова, многомерная скобка Пуассона гидродинамического типа, тензорные препятствия, бесконечномерные алгебры Ли, согласованные метрики, плоские пучки метрик, система гидродинамического типа, согласованные скобки Пуассона.
Образец цитирования:
О. И. Мохов, “Классификация неособых многомерных скобок Дубровина–Новикова”, Функц. анализ и его прил., 42:1 (2008), 39–52; Funct. Anal. Appl., 42:1 (2008), 33–44
Xin Hu, Matteo Casati, “Multidimensional Nonhomogeneous Quasi-Linear Systems and Their Hamiltonian Structure”, SIGMA, 20 (2024), 081, 17 pp.
А. М. Гагонов, О. И. Мохов, “О согласованных диагональных метриках”, УМН, 76:6(462) (2021), 195–196; A. M. Gagonov, O. I. Mokhov, “On compatible diagonal metrics”, Russian Math. Surveys, 76:6 (2021), 1140–1142
Maltsev A.Ya. Novikov S.P., “Poisson Brackets of Hydrodynamic Type and Their Generalizations”, J. Exp. Theor. Phys., 132:4, SI (2021), 645–657
Blażej M. Szablikowski, “Bi-Hamiltonian Systems in (2+1) and Higher Dimensions Defined by Novikov Algebras”, SIGMA, 15 (2019), 094, 18 pp.
Strachan I.A.B., “A Construction of Multidimensional Dubrovin-Novikov Brackets”, J. Nonlinear Math. Phys., 26:2 (2019), 202–213
Sergyeyev A., “New Integrable (3+1)-Dimensional Systems and Contact Geometry”, Lett. Math. Phys., 108:2 (2018), 359–376
Carlet G., Casati M., Shadrin S., “Normal Forms of Dispersive Scalar Poisson Brackets With Two Independent Variables”, Lett. Math. Phys., 108:10 (2018), 2229–2253
М. Касати, “Дисперсионные деформации высшего порядка многомерных скобок Пуассона гидродинамического типа”, ТМФ, 196:2 (2018), 214–237; M. Casati, “Higher-order dispersive deformations of multidimensional Poisson brackets of hydrodynamic type”, Theoret. and Math. Phys., 196:2 (2018), 1129–1149
Carlet G., Casati M., Shadrin S., “Poisson cohomology of scalar multidimensional Dubrovin–Novikov brackets”, J. Geom. Phys., 114 (2017), 404–419
О. И. Мохов, “Пучки согласованных метрик и интегрируемые системы”, УМН, 72:5(437) (2017), 113–164; O. I. Mokhov, “Pencils of compatible metrics and integrable systems”, Russian Math. Surveys, 72:5 (2017), 889–937
Della Vedova A. Lorenzoni P. Savoldi A., “Deformations of non-semisimple Poisson pencils of hydrodynamic type”, Nonlinearity, 29:9 (2016), 2715–2754
Maltsev A.Ya., “On the canonical forms of the multi-dimensional averaged Poisson brackets”, J. Math. Phys., 57:5 (2016), 053501
Casati M., “On Deformations of Multidimensional Poisson Brackets of Hydrodynamic Type”, Commun. Math. Phys., 335:2 (2015), 851–894
Ferapontov E.V., Lorenzoni P., Savoldi A., “Hamiltonian Operators of Dubrovin-Novikov Type in 2D”, Lett. Math. Phys., 105:3 (2015), 341–377
Savoldi A., “Degenerate First-Order Hamiltonian Operators of Hydrodynamic Type in 2D”, J. Phys. A-Math. Theor., 48:26 (2015), 265202
Pavlov M.V., “Hamiltonian Formalism of Two-Dimensional Vlasov Kinetic Equation”, Proc. R. Soc. A-Math. Phys. Eng. Sci., 470:2172 (2014), 20140343
Maltsev A.Ya., “The Multi-Dimensional Hamiltonian Structures in the Whitham Method”, J. Math. Phys., 54:5 (2013), 053507
Ferapontov E.V., Novikov V.S., Stoilov N.M., “Dispersive deformations of Hamiltonian systems of hydrodynamic type in $2+1$ dimensions”, Phys. D, 241:23-24 (2012), 2138–2144
Ferapontov E.V., Odesskii A.V., Stoilov N.M., “Classification of integrable two-component Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions”, J. Math. Phys., 52:7 (2011), 073505, 28 pp.
Bogoyavlenskij O., Reynolds P., “Form-invariant Poisson brackets of hydrodynamic type with several spatial variables”, J. Math. Phys., 49:5 (2008), 053520, 15 pp.
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: