PRV-формула для разложения тензорных произведений и ее приложения

Пусть $G$ — полупростая алгебраическая группа, $V$ — простой конечномерный самодвойственный $G$-модуль и $W$ — произвольный простой конечномерный G$-модуль. Используя формулу Партасарати, Варадарайана и Ранга Рао для тройных кратностей, мы получим описание кратностей вхождения модуля $W$ в симметрический и внешний квадраты модуля $V$ в терминах действия элемента наибольшей длины в группе Вейля на некотором подпространстве в $V^T$, где $T\subset G$ --- максимальный тор. В качестве приложения рассмотрены случаи, когда $V$ --- присоединенный, младший присоединенный или, более общо, малый $G$-модуль. Получена также общая оценка сверху на тройные кратности в терминах функции разбиения Костанта. Библ. 10.