Точечные интерполяционные неравенства для производных с наилучшими константами

Доказаны новые точечные оценки градиента функции $u\in C^1(\mathbb{R}^n)$ в терминах модуля непрерывности $\omega$ градиента $\nabla u$ и некоторой максимальной функции $\mathcal{M}^{\diamond}u$. Показано, что константы в этих неравенствах неулучшаемы. В частности, при $n=1$, $\omega(r)=r$ установлено неравенство типа Ландау
$$|u'(x)|^2\le\frac83\,\mathcal{M}^{\diamond}u(x)\mathcal{M}^{\diamond}u''(x),$$
в котором
$$\mathcal{M}^{\diamond}u(x)=\sup_{r>0}\frac1{2r}\bigg|\int_{x-r}^{x+r}\operatorname{sign}(y-x)u(y)\,dy\bigg|$$
и $8/3$ — неулучшаемая константа.