О распределении элементов полугрупп натуральных чисел

В работе рассматриваются полугруппы натуральных чисел, порядок которых на отрезке $[1,q]$ есть $q^{\nu}$. В этой работе получены нетривиальные верхние оценки числа таких элементов на множестве $[1, t]$, где $t$ мало по сравнению с любой степенью $q$.