Приближение аналитических периодических функций линейными средними рядов Фурье

Работа касается вопросов приближения периодических дифференцируемых функций высокой гладкости повторными средними арифметическими сумм Фурье. Одна из наиболее общих классификаций периодических функций в настоящее время — классификация, предложенная A. И. Степанцом, основанная на понятии $ (\psi, \beta) $-дифференцирования. Она позволяет единым образом классифицировать суммируемые периодические функции, начиная от функций, ряд Фурье которых может расходиться, и заканчивая бесконечно дифференцируемыми функциями, включая аналитические и целые. При соответствующем выборе параметров, классы $ (\psi, \beta) $-дифференцируемых функций совпадают с известными классами Вейля, классами Соболева $W^l_p$ и классами сверток с фиксированными ядрами.
В течение последних десятилетий суммы Валле Пуссена и их особые случаи (суммы Фурье и суммы Фейера) интенсивно изучались многими выдающимися специалистами в теории функций.
В настоящее время, большой объем фактического материала накоплен в многочисленных публикациях. Одно из самых важных направлений в этой области — исследование приближающих свойств указанных сумм для различных классов функций.
Цель работы — систематизировать известные результаты, связанные с приближающими свойствами методов суммирования Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона, а также представить новые факты, полученные для их обобщений.
В ряде случаев установлены асимптотические формулы для точных верхних граней отклонений в равномерной метрике тригонометрических полиномов $V_{n,p}^{(2)}(f; x)$, порождаемых повторным применением метода суммирования Валле Пуссена, на классах $C^\psi_ {\beta, \infty} $ и $C^\psi_\beta H_\omega$, которые задаются мультипликаторами $\psi(k)$ и сдвигами по аргументу $\beta$ при условии, что последовательности $\psi(k)$, определяющие указанные классы, убывают к нулю со скоростью геометрической прогрессии (в этом случае функции из классов $C^\psi_ {\beta, \infty} $ и $C^\psi_\beta H_\omega$ допускают регулярное продолжение в соответствующую полосу комплексной плоскости).
В работе рассмотрены обобщенные суммы Валле Пуссена, изучены их приближающие свойства на классах аналитических периодических функций. Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений повторных сумм Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона. В соответствующих случаях эти равенства гарантируют решение задачи Колмогорова-Никольского для повторных сумм Валле Пуссена и классов интегралов Пуассона. Указаны условия, при которых повторные суммы предоставляют лучший порядок приближения, чем обычные суммы Валле Пуссена.
Библиография: 16 названий.