Порог обратимости для алгебры $H^\infty$-следов и эффективное обращение матриц

Для заданного числа $\delta$, $0<\delta<1$, построена такая последовательность Бляшке $\sigma=\{\lambda_j\}$, что любая функция $f$, $f\in H^\infty$, удовлетворяющая условиям $\delta<\delta_f=\inf_{\lambda\in\sigma}|f(\lambda)|\le\|f\|_\infty\le1$, является обратимой в алгебре следов $H^\infty|\sigma$ (с оценкой нормы обратной, зависящей только от $\delta_f$), однако найдется необратимая функция $f$, удовлетворяющая условиям $\delta=\delta_f\le\|f\|_\infty\le1$. В качестве приложения приводится контрпример к слабой форме гипотезы Бургейна–Цафрири о блочной обратимости ограниченных операторов, в которой “ортогональный (или безусловный) базис” заменен “блочно ортогональным базисом суммирования”.