Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2022
22 июля 2022 г. 09:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Поведение больших случайных матриц. Семинар 1

В. А. Клепцын
Видеозаписи:
MP4 1,511.1 Mb
MP4 2,499.6 Mb

В. А. Клепцын



Аннотация: Посмотрим на однородный многочлен второй степени от нескольких координат — например,
$$P(x,y)=x^2+2xy-y^2.$$
Геометрически естественное действие — "покрутить" систему координат и попробовать такой заменой привести многочлен к наиболее простому виду. Например, чтобы понять его линии уровня — эллипсы или гиперболы в двумерном случае. Стандартная теорема линейной алгебры утверждает, что всегда можно “повернуть” систему координат так, чтобы получилось
$$P(y_1,...,.y_k) = c_1 y_1^2+ ... +c_k y_k^2;$$
это называется “приведением квадратичной формы к главным осям”, а числа $c_1,...,c_k$ называют собственными значениями.
Вопрос об их нахождении не только интересен геометрически — но и, например, возникает в квантовой механике (где собственными значениями оказываются “допустимые энергетические уровни”).
А что будет, если коэффициенты квадратичной формы выбираются случайно? Оказывается, с этого начинается большая, интересная, и “идущая в разные стороны” наука — которую я попробую рассказать, дойдя от её начальных глав до современных вещей (и попробую закончить нашим с Вадимом Гориным свежим результатом о поведении “матриц при нулевой температуре”, arXiv:2009.02006).
Предварительные сведения: несмотря на “алгебраическое” начало, знания линейной алгебры нам не понадобится (кроме интуитивно-геометрических вещей, которые я при необходимости продекларирую). Большая часть курса будет связана с теорией вероятностей — впрочем, опять же, нам будет достаточно интуитивного её понимания, а часть необходимых понятий и теорем мы “переоткроем” по пути. Кроме того, нам потребуется работать с интегралами — но опять же, будет достаточно их интуитивного понимания как предела сумм и как (ориентированной) площади под графиком.
Программа-максимум:
— гауссово распределение и центральная предельная теорема
— многомерное гауссовское распределение и распределение Максвелла
— вектор на случайной сфере
— теорема о концентрации меры (если успеем)
— спектр случайной матрицы и полукруговой закон Вигнера: электроны вокруг тяжёлых атомов
$\mathbb R$/$\mathbb C$/$\mathbb H$-версии задачи; «размерность» $\beta=1,2,4$ как параметр
— кристаллизация спектра при нулевой температуре
— предел малых колебаний: гауссов процесс и его описание

Website: https://mccme.ru/dubna/2022/courses/kleptsyn.html
Цикл лекций
 
  Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024