Геометрия пространств с проективными метриками Кэли–Клейна и обобщенными проективными метриками; геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны; геометрия гиперболического пространства положительной кривизны: теория объемов в неевклидовых пространствах.

В 2014 г. показано, что выбор евклидовой метрики для описания геометрии окружающего пространства субъективен, он определен строением человеческого глаза. Первое описание данной идеи предложено (на плохом английском) в статье L. N. Romakina, An eye as the tool of a choice of the Euclidean metric for the description of real physical space, Journal of Basic and Applied Research International, 2015, vol. 9, iss. 3, pp. 147--154.

See more at: http://www.ikpress.org/abstract.php?iid=564&id=42&aid=4148

1. 1995–1998 гг. В биаксиально-флаговых пространствах эллиптического и гиперболического типов методом внешних форм Картана исследованы линии, поверхности и линейчатые образы (комплексы, конгруэнции и регулюсы).

2. 1998–2008 гг. Исследованы замечательные линии псевдоевклидовой плоскости. Построены геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей (проведены классификации преобразований фундаментальных групп, предложены конструктивные определения преобразований каждого вида, доказаны основные свойства преобразований; построены теории линий второго порядка указанных плоскостей). Основные результаты опубликованы в книге "Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей" (см. раздел Основные публикации).

3. 2009–2012 гг. Получен ряд важных результатов в геометрии гиперболической плоскости $\widehat{H}$ положительной кривизны.

Построена тригонометрия плоскости $\widehat{H}$: проведена классификация трехвершинников плоскости $\widehat{H}$; доказано, что положение на абсолюте несобственных точек сторон и типы сторон и углов трехвершинника определяют на $\widehat{H}$ 22 инвариантных относительно фундаментальной группы $G$ плоскости $\widehat{H}$ типа трехвершинников; показано, что трехвершинники 10 типов обладают внутренностью; для каждого типа трехвершинников с непараболическими сторонами доказаны теоремы синусов и косинусов; для трехвершинников, содержащих параболическое ребро, получены соотношения, характеризующие зависимость между длинами непараболических ребер, мерами углов (в случае их существования) и полярными мерами параболических ребер.

Исследованы конечные замкнутые контуры плоскости $\widehat{H}$, в частности, правильные $n$-контуры. Введены и исследованы гиперциклические и орициклические ломаные плоскости $\widehat{H}$. С помощью правильных $n$-контуров, гиперциклических и орициклических ломаных построены первые разбиения плоскости $\widehat{H}$. Ячейки первых построенных разбиений – простые конечные замкнутые 4-контуры. Разбиения являются моноэдральными, обладают симметриями, не являются правильными и не являются нормальными. Ячейки разбиения могут быть объединены в аналоги мозаик, названные черепицами. Исследованы некоторые типы черепиц, в частности, фрактальные ленточные черепицы.

Для простых $n$-контуров доказан аналог теоремы Жордана. Получены аналоги функции Лобачевского, выражающие зависимость угла квазипараллельности и квазиугла параллельности в точке относительно заданной прямой плоскости $\widehat{H}$ от расстояния данной точки до заданной прямой.

Исследованы линии второго порядка плоскости $\widehat{H}$. На $\widehat{H}$ существует 15 типов овальных линий, определенных основными геометрическими ковариантами и свойством выпуклости линии. Линии 8 типов являются собственными. Доказаны метрические свойства линий каждого типа, подробно изучены линии четырех типов, являющиеся траекториями точек в движениях группы $G$. Данные линии участвуют в разбиениях плоскости $\widehat{H}$.

На простом 4-контуре построены особого вида разбиения и исследованы объекты, порожденные этими разбиениями: ковры и простые ковры.

Построены первые триангуляции плоскости $\widehat{H}$.

Введены различные системы ортогональных криволинейных координат плоскости $\widehat{H}$. Получен ряд результатов в теории площадей плоскости $\widehat{H}$.

Как возможные ячейки разбиения исследованы параллелограммы данной плоскости. Для параллелограммов каждого из 10 родов доказаны основные топологические и метрические свойства.

Свойства фигур плоскости $\widehat{H}$ использованы при исследовании многогранников копсевдоевклидова пространства. Введены в рассмотрение и исследованы параболические многогранники пространства $R_{1}^{*3}$, доказано, что каждый параболический топологически правильный многогранник в $R_{1}^{*3}$ является гексаэдром. Проведена классификация параболических гексаэдров пространства $R_{1}^{*3}$.

Исследованы особого вида трапеции, вписанные в кольцо между орициклами плоскости $\widehat{H}$, названные орициклическими $n$-трапециями. Построены нормальные моноэдральные разбиения плоскости $\widehat{H}$ правильными орициклическими $n$-трапециями.

В 2015--2016 гг. исследованы траектории точек генератора движения Кардано на плоскости $\widehat{H}$. Показано, что середина генерирующего отрезка описывает линию, проективно эквивалентную овалу Кассини, в частности, лемнискате Бернулли, если генерирующий отрезок параболический. http://www.heldermann.de/JGG/JGG20/JGG202/jgg20016.htm

В 2016 - 2017 гг. получены первые формулы объемов тел в гиперболическом пространстве положительной кривизны.

В 2018 г. найден и обоснован универсальный метод построения кубических кривых с узловой точкой (крунодальных кубик). Предложены методы моделирования таких кривых.

В 2022 г. получены аналоги треугольников Серпинского. Совместно с И. Ушаковым подготовлены программные комплексы для визуализации игры Хаос на различных фигурах расширенной гиперболической плоскости. Введено понятие гомотетии данной плоскости, доказаны некоторые ее свойства.

1. L. N. Romakina, “An eye as the tool of a choice of the Euclidean metric for the description of real physical space”, Journal of Basic and Applied Research International (IKP), 9:3 (2015), 147–154 http://www.ikpress.org/
2. Lyudmila Romakina, “The area of a generalized polygon without parabolic edges of a hyperbolic plane of positive curvature”, Asian Journal of Mathematics and Computer Research, 10:4 (2016), 293–310
3. Л. Н. Ромакина, Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей, Изд-во “Научная книга”, Саратов, 2008, 279 с.
4. Л. Н. Ромакина, Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны. Ч. 1: Тригонометрия, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2013, 244 с. http://window.edu.ru/resource/006/80006
5. Л. Н. Ромакина, Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны. Ч. 2: Преобразования и простые разбиения, Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2013, 274 с. http://window.edu.ru/resource/007/80007

• Саратовский государственный университет
• Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, механико-математический факультет