Ковры и деревья на простых 4-контурах гиперболической плоскости положительной кривизны

Гиперболическую плоскость $\widehat{H}$ положительной кривизны рассматриваем в проективной интерпретации Кэли–Клейна как внешнюю относительно овальной линии $\gamma$, называемой абсолютом, область проективной плоскости $P_2$, на которой в качестве прямых приняты эллиптические прямые, пересекающие абсолют в двух мнимо сопряженных точках, расположенные вне линии $\gamma$ части гиперболических прямых, пересекающих $\gamma$ в двух действительных точках, и касающиеся абсолюта параболические, изотропные на $\widehat{H}$, прямые с выколотой несобственной точкой. На внутренней области относительно овальной линии плоскости $P_2$ реализуется полная плоскость Лобачевского. Подгруппа $G$ группы проективных преобразований плоскости $P_2$, группа автоморфизмов овальной линии $\gamma$, является общей для $\widehat{H}$ и плоскости Лобачевского фундаментальной группой преобразований.
Простым 4-контуром плоскости $\widehat{H}$ названа не имеющая точек самопересечения совокупность четырех отрезков параболических прямых, циклически соединяющих четыре данные точки. В работе [1] простой 4-контур использован в качестве ячейки моноэдральных изотропных разбиений плоскости $\widehat{H}$. Интересными оказываются объекты плоскости $\widehat{H}$, полученные в результате особых разбиений простого 4-контура на простые 4-контуры. В докладе предполагаем доказать геометрические факты, составляющие основу построения некоторых из этих объектов. Опишем процесс (диссекториальное разбиение), позволяющий на простых 4-контурах построить ковры и простые ковры, приведем примеры ковров. Покажем, что диссекториальное разбиение позволяет с каждым простым 4-контуром однозначно связать взвешенный граф, двоичное ориентированное дерево $\Gamma$. Докажем, что ветви дерева $\Gamma$ «не переплетаются».

Список литературы

1. Л. Н. Ромакина, “Простые разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны”, Матем. сб., 203:9 (2012), 83–116        ; L. N. Romakina, “Simple partitions of a hyperbolic plane of positive curvature”, Sb. Math., 203:9 (2012), 1310–1341