• Несколько частиц случайно и независимо блуждают по целым точкам прямой. Какова вероятность, что за время $T$ их траектории не пересекутся? Каково условное, при условии отсутствия пересечений, распределение положений частиц?
• Дан конечный связный граф. Поддерево нашего графа, содержащее все его вершины, называется остовным. Сколько у графа есть остовных деревьев? Какая доля их содержит данное ребро? данный набор рёбер?
• Коэффициенты степенного ряда— независимые стандартные гауссовские комплексные случайные величины. Какова вероятность, что у задаваемой рядом голоморфной функции нет нулей внутри круга радиуса $1/2$?
• Элементы комплексной матрицы — независимы и гауссовы. Как распределено её наименьшее сингулярное число?

Формулировки этих задач сильно отличаются, а решения похожи: во всех задачах возникает замечательный объект: детерминантный точечный процесс. Первый пример детерминантного процесса возник в 60-е годы в работах Дайсона, посвящённых матрицам, чьи элементы задаются случаем — как в последней задаче. С тех пор область применения детерминантных процессов постоянно расширяется.

Теория детерминантных процессов — активно развивающаяся молодая область математики. Мы начнём с основ, однако довольно быстро выйдем на открытые вопросы. Мы особенно будем стараться подчеркнуть связь теории с классическим анализом.

Примерное содержание курса

1. Ортогональные полиномиальные ансамбли. Случайные матрицы (Фишер, Вишарт, Вигнер, Дайсон). Радиальная часть меры Хаара на унитарной группе.
2. Скейлинговый предел кругового унитарного ансамбля — синус-процесс Дайсона.
3. Случайные диаграммы Юнга. Меры Шура. Дискретный синус-процесс Бородина-Окунькова-Ольшанского. Теоремы Сегё и формула Бородина-Окунькова.
4. Детерминантные процессы с ядрами Бесселя и Эйри.
5. Теорема Макки-Сошникова-Шираи-Такахаси о существовании детерминантного процесса.
6. Меры Пальма. Теорема Шираи-Такахаси о мере Пальма детерминантного процесса. Жёсткость детерминантных процессов.
7. Квази-симметрии детерминантных процессов.
8. Предельные теоремы для детерминантных процессов. Центральная предельная теорема Сошникова и скорость сходимости в ней.
9. *Гауссов мультипликативный хаос для синус-процесса.

Программа

Лекторы
Буфетов Александр Игоревич
Горбунов Сергей Михайлович
Клименко Алексей Владимирович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение №  075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)