В курсе предполагается обсудить связи между гладкими, почти комплексными, комплексными и кэлеровыми структурами на компактных топологических многообразиях, а также рассмотреть эти структуры с позиций алгебраической геометрии.

Программа курса

0. Основные понятия. Окольцованные пространства. Компактные многообразия. Структурные пучки на многообразиях различных типов. Забывающие функторы.
1. Элементы топологии многообразий. Ориентация. Связные суммы, их связь с раздутием точек в случае алгебраических поверхностей. Обзор когомологических теорий. Одномерные многообразия.
2. Компактные топологические поверхности. Единственность гладкой структуры. Совпадение понятий почти комплексной и комплексной структуры. Полная топологическая классификация. Пространства модулей алгебраических кривых.
3. Гладкие структуры. Сглаживаемость $3$-мерных многообразий; единственность гладкой структуры на них. Примеры несглаживаемых многообразий. Сфера $\mathbb S^7$ группа и гладких структур на ней.
4. Почти комплексные структуры. Определения. Примеры чётномерных многообразий, не допускающих почти комплексных структур; сфера $\mathbb S^4$. География почти комплексных $4$-мерных многообразий.
5. Комплексные структуры. Интегрируемость почти комплексных структур. Примеры не интегрируемых почти комплексных структур. Сфера $\mathbb S^6$, почти комплексная структура и проблема существования комплексной структуры на ней.
6. Кэлеровы метрики на комплексных многообразиях. Связь между симплектическими, кэлеровыми и почти комплексными структурами. Произведения нечјтномерных сфер как комплексные многообразия и возможность введения кэлеровых структур на них; поверхность Хопфа $\mathbb S^1 \times \mathbb S^3$.
7. Комплексные и алгебраические многообразия. Комплексные многообразия, допускающие и не допускающие структуру алгебраических. Комплексные торы и абелевы многообразия. К3-поверхности.
8. Разные вопросы. География алгебраических поверхностей. Алгебраические и симплектические многообразия: параллели, зеркальная симметрия. Множество римановых метрик на гладком многообразии; пространства Тайхмюллера, потоки Риччи и Кэлера-Риччи. Гипотеза геометризации Терстона и её доказательство Перельманом; гипотетические параллели с программой минимальных моделей.

Задачи, листок 1

Задачи, листок 2

Задачи, листок 3

Задачи, листок 4

Задачи, листок 5

Задачи, листок 6

Задачи, листок 7

Задачи, листок 8

Задачи, листок 9

Задачи, листок 10

Программа

Лектор
Шабат Георгий Борисович

Финансовая поддержка
Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение №  075-15-2022-265).

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)