В курсе будет показано, что аксиоматика квантовой механики приводит к возникновению особой математической дисциплины – квантовой (или некоммутативной) теории вероятностей. Эта теория хотя и использует терминологию классической теории вероятностей, но ни в коем случае не может быть к ней сведена. Тем не менее, такие понятия классической теории вероятностей как события, случайные величины, математическое ожидание, ковариации и корреляции широко используются в квантовой теории вероятностей и дают возможность понять, в чем эти две теории близки, а в чем принципиально отличаются.

1. Аксиоматика Макки квантовой механики. Квантовые состояния и измерения.
2. Проекторы как квантовые события. Меры на решетке ортогональных проекторов. Теорема Глизона. Квантовые состояния, ассоциированные с мерами на проекторах.
3. Положительные операторозначные меры как квантовые случайные величины (обобщенные квантовые наблюдаемые, квантовые измерения). Формула Борна.
4. Случай проекторозначных мер. Самосопряженные операторы. Спектральная теорема. Дискретный и непрерывный спектры. Пространство волновых функций $L^ 2(\mu)$, ассоциированных с квантовой наблюдаемой.
5. Рандомизация случайных величин. Теорема Наймарка о дилатации положительных операторнозначных мер.
6. Математические ожидания, дисперсии и ковариации квантовых случайных величин. Соотношение неопределенностей Шредингера–Робертсона для произведения дисперсий.
7. Тензорные произведения гильбертовых пространств. Составные квантовые системы. Сцепленные и сепарабельные состояния. Проверка сцепленности с использованием критерия Переса–Городецких. Свидетели сцепленности.
8. Классические и квантовые корреляции. Неравенство Белла–Клаузера–Хорна–Шимони. Граница Цирельсона.
9. Квантовые каналы передачи информации. Разложение Крауса. Каналы, кодирующие и декодирующие классическую и квантовую информацию. Теорема Холево о существовании меры, определяемой измерением квантового состояния.
10. Случай квантовых наблюдаемых, являющихся линейными комбинациями операторов координаты и импульса. Дробное преобразование Фурье.
11. Некоммутативные графы, ассоцииированные с квантовыми каналами. Теорема об общем виде некоммутативного операторного графа в конечномерном случае. Некоммутативные графы, порождаемые положительными операторнозначными мерами (разложениями единицы). Ковариантные разложения единицы.
12. Передача информации с нулевой ошибкой. Квантовые коды, исправляющие ошибки. Квантовые антиклики.

1. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.
2. И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.
3. Дж. Макки. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Мир, 1965.
4. И. фон Нейман. Математические основания квантовой механики. М.: Наука, 1964.
5. А.С. Холево. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980.
6. А.С. Холево. Квантовые системы, каналы, информация. М.: МЦНМО,
7. 7. B.S. Cirel’son. Quantum generalizations of Bell’s inequality. Lett. Math. Phys. 4:2 (1980) 93–100.
8. A.S. Holevo, Entanglement-Breaking Channels in Infinite Dimensions, Problems Inform. Transmission, 44:3 (2008), 171-184
9. E. Knill, R. Laflamme. Theory of quantum error-correcting codes. Phys. Rev. A 55 (1997) 900–911.
10. N. Weaver. ”Quantum” Ramsey theorem for operator systems. Proc. Amer. Math. Soc. 145 (2017) 4595–4605.

Финансовая поддержка. Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2019-1614).

Программа

Руководитель семинара
Амосов Григорий Геннадьевич

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)