Классическая теория Галуа преобразила средневековую алгебру – науку о решении уравнений – в современную. Занимаясь проблемой разрешимости уравнений в радикалах, французский математик Эварист Галуа (1811–1832) заложил основы теории групп и полей.
Итальянские математики XVI века (дель Ферро, Тарталья, Феррари) научились решать урав- нения 3-й и 4-й степени. Их результаты привели к открытию комплексных чисел, а Франсуа Виет, вдохновлённый "Великим искусством" Джероламо Кардано, создал современную алгебраическую символику.
Общих формул для уравнений 5-й степени никто найти не мог, и лишь в начале XIX века Нильс Абель доказал, что общие уравнения степени ≥ 5 неразрешимы в радикалах; доказательство Паоло Руффини 1799 года содержало пробел. (Отметим, что в те же годы Гаусс разными способами доказал "основную теорему алгебры".) Руффини и Абель опирались на идеи Луи Лагранжа, который первый систематически исследовал перестановки корней уравнений и разработал теорию групп перестановок. Созданный Лагранжем метод резольвент решения уравнений универсальным не был, зато вплотную приблизил задачу к окончательному решению. Критерий разрешимости уравнений в радикалах установил Галуа, введя понятия группы, нормальной подгруппы, нормального расширения и разрешимой группы.
Позднее идеи Галуа развивались и обобщались в разных направлениях и не только алгебраических.

Мы познакомим слушателей с основными понятиями и результатами классической теории Галуа. Изложение будет сопровождаться большим числом примеров и задач. Курс рассчитан на слушателей, владеющих алгеброй в объёме первого семестра математических факультетов.

Программа курса

1. Решение уравнений третьей и четвёртой степеней.
2. Метод резольвент Лагранжа решения уравнений. Теоремы Лагранжа.
3. Теорема Абеля–Руффини о неразрешимости общего уравнения степени ≥ 5.
4. Теорема Кронекера о неразрешимости одного класса уравнений над Z.
5. Построение правильных многоугольников. Периоды Гаусса. Критерий разрешимости в квадратных радикалах.
6. Группа Галуа. Соответствия Галуа. Основная теорема теории Галуа.
7. Группа Галуа двучлена. Метациклическая группа.
8. Группы Галуа многочленов степени ≤ 4 и разрешимых многочленов степени 5.
9. Циклические расширения. Теорема Артина–Шрайера.
10. Критерий разрешимости в радикалах в характеристике 0 (разрешимость группы Галуа).
11. Новые доказательства теорем Абеля–Руффини и Кронекера. Многочлены над Z с группой Галуа S_n.
12. Критерий Абеля–Галуа разрешимости неприводимого уравнения простой степени.
13. Многочлены с наперёд заданной конечной абелевой группой Галуа. Теорема Кронекера–Вебера: всякое конечное абелево расширение поля Q вкладывается в круговое.
14. Вычисление группы Галуа с помощью резольвентных многочленов.
15. Теория Галуа конечных полей. Вычисление группы Галуа с помощью редукции по простому модулю.

1. Э. Артин. Теория Галуа. МЦНМО, 2008.
2. Б. Л. ван дер Варден. Современная алгебра.
3. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. МЦНМО, 2011.
4. А. И. Кострикин. Введению в алгебру. Основные структуры. Физматлит, 2001.
5. М. М. Постников. Теория Галуа. Физматлит, 1963.
6. В. В. Прасолов. Многочлены. МЦНМО, 2001.
7. В. В. Прасолов, Ю. П. Соловьёв. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. Факториал, 1997.
8. Н. Г. Чеботарёв. Теория Галуа. URSS, 2009.

Программа

Руководитель
Канунников Андрей Леонидович