Обусловленность и устойчивость разностных схем на равномерных сетках для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции–диффузии

Для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции–диффузии исследуется обусловленность и устойчивость разностных схем на равномерных сетках. Показано, что стандартная монотонная разностная схема на равномерной сетке при условии ее сходимости не является $\varepsilon$-равномерно хорошо обусловленной, как и $\varepsilon$-равномерно устойчивой к возмущению данных сеточной задачи (здесь $\varepsilon$ — возмущающий параметр, $\varepsilon\in(0,1]$). Предлагается альтернативный вариант разностной схемы — схема, использующая декомпозицию сеточного решения на регулярную и сингулярную компоненты, являющиеся решениями сеточных подзадач, рассматриваемых на равномерных сетках. Показано, что такая схема метода декомпозиции решения сходится $\varepsilon$-равномерно в равномерной норме со скоростью $O(N^{-1}\ln N+N_0^{-1})$, где $N+1$, $N_0+1$ — число узлов по $x$ и $t$ используемых сеток. Эта схема хорошо обусловлена и устойчива к возмущению данных сеточной задачи равномерно относительно параметра $\varepsilon$. Число обусловленности схемы метода декомпозиции порядка $O(\delta^{-2}\ln\delta^{-1}+\delta_0^{-1})$, т.е., с точностью до логарифмического сомножителя, такое же, как классической схемы на равномерных сетках в случае регулярной задачи; здесь $\delta=N^{-1}\ln N$ и $\delta_0=N_0^{-1}$ — точность сеточного решения по $x$ и $t$ соответственно. Библ. 23.