К теории двухэтапной асимптотически устойчивой схемы второго порядка точности для неоднородной параболической начально-краевой задачи

Рассмотрено распространение на случай неоднородного параболического уравнения при неоднородном граничном условии Дирихле двухэтапной асимптотически устойчивой разностной схемы, известной для однородного уравнения при однородном граничном и неоднородном начальном условиях. Показано, что эта разностная схема в классе двухэтапных (на каждом шаге по времени) однозначно определяется из условий обеспечения достаточно быстрого затухания по времени высокочастотных по пространству возмущений, обеспечения второго порядка точности, а также минимизации ошибки. Проведены сравнения, которые показывают определенные преимущества двухэтапной схемы перед некоторыми из употребительных разностных схем. Установлено, что указанное распространение схемы в случае неоднородного уравнения и однородного граничного условия обеспечивает также второй порядок точности по временн м шагам (на отдельных гармониках). Исследуется возможность обеспечения второго порядка точности и в случае неоднородного первого краевого условия, в том числе за счет изменения граничных значений в узлах временной сетки на величины порядка $O(\tau^2)$, где $\tau$ — шаг по времени. Для одномерного уравнения теплопроводности при произвольных, достаточно гладких граничных данных получена оценка ошибки несколько хуже: $O\left(\tau^2\ln\frac T\tau\right)$, $T$ — длина временного интервала. Библ. 7.