Уравнения нелинейной дисперсии третьего порядка: ударные волны, волны разрежения и разрушения

Исследуются возникновение ударных волн и явление коллапса для уравнений нелинейной дисперсии третьего порядка. В качестве ключевой модели рассматривается уравнение
\begin{equation} u_t=(uu_x)_{xx}\quad\text{в}\quad\mathbb R\times\mathbb R_+. \label{1} \end{equation}
Показано, что в двух основных задачах Римана для (1) с начальными данными
$$ S_{\pm}(x)=\mp\operatorname{sign}{x} $$
возникают ударная волна ($u(x,t)\equiv S_{-}(x)$) и гладкая волна разрежения (для данных $S_{+}$) соответственно. С этой целью строятся различные разрушающиеся и глобальные автомодельные решения уравнения (1), на примере которых видна тонкая структура профилей ударных волн и волн разрежения. Далее развивается техника собственных функций и нелинейной емкости для доказательства разрушения решений. Изучение уравнения (1) обнаруживает черты сходства с теорией энтропии скалярных законов сохранения, таких как $u_t+uu_x=0$, разработанной O. A. Олейник и C. H. Кружковым (для уравнений в $x\in\mathbb R^N$) в 1950–60-х гг. Библ. 38. Фиг. 12.