On domain decomposition preconditioner of BPS type for finite element discretizations of 3D elliptic equations

BPS – эффективный и достаточно общий предобусловливатель метода декомпозиции области типа Дирихле-Дирихле, предложенный в известной серии статей Брэмбла, Пасьяка и Шатца, опубликованной в 1986–1989 гг. Он стал основой для целого семейства предобусловливателей-солверов метода декомпозиции области для $h$ и $hp$-дискретизаций эллиптических краевых задач. Для его оригинального варианта, предназначенного для $h$-версии метода конечных элементов, упомянутые авторы доказали оценку $O(1+\log^2H/h)$ относительного числа обусловленности при некоторых ограничениях на декомпозицию области и конечно-элементную дискретизацию. Здесь $H/h$ – максимальное отношение характерных размеров подобластей декомпозиции и конечных элементов. Предполагалось, что подобласти декомпозиции являются образами единичного куба при использовании трилинейных отображений. Позднее аналогичные оценки были получены для более общих декомпозиций $h$-дискретизаций посредством более редких вложенных тетраэдральных сеток. Эти результаты, сопровождавшиеся развитием математического аппарата исследования таких методов декомпозиции, были суммированы в книге Тозелли и Видлунда, опубликованной в 2005 г. Настоящая статья также ограничивается рассмотрением $h$-дискретизаций. Здесь расширяется класс допустимых декомпозиций для применения BPS предобусловливателей, в которых подобластями декомпозиции могут быть любые выпуклые многогранники, удовлетворяющие некоторым условиям регулярности формы. Доказывается оценка относительного числа обусловленности с такой же зависимостью от $H/h$, как в приведенной выше оценке. При ее доказательстве несколько упрощено доказательство так называемой абстрактной оценки относительного числа обусловленности предобусловливателя метода декомпозиции. В части анализа предобусловливания интерфейсной задачи наши технические приемы являются обобщением использовавшихся Брэмблом, Пасьяком и Шатцем. Библ. 47.