|
Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012, том 52, номер 6, страницы 1010–1041
(Mi zvmmf9619)
|
|
|
|
Сильная устойчивость схемы на локально-равномерных сетках для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции–диффузии
Г. И. Шишкин 620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН
Аннотация:
Для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции–диффузии с малым параметром $\varepsilon$ ($\varepsilon\in(0,1]$) при старшей производной строится разностная схема на локально-равномерных сетках, сходящаяся в равномерной норме условно – в зависимости от соотношения между параметром $\varepsilon$ и величиной $N$, определяющей число узлов используемой сетки, в частности, сходящаяся почти $\varepsilon$-равномерно (точность такой схемы слабо зависит от параметра $\varepsilon$). Исследуются устойчивость схемы к возмущению данных и ее обусловленность. При построении схемы используются классические монотонные аппроксимации краевой задачи на априорно адаптирующихся сетках, являющихся равномерными на подобластях, где уточняется решение; границы таких подобластей определяются по мажоранте сингулярной компоненты сеточного решения.
Разностная схема на локально-равномерных сетках сходится со скоростью $O(\min[\varepsilon^{-1}N^{-K}\ln N,1]+N^{-1}\ln N)$, где величина $K$ – задаваемое число итераций для уточнения сеточного решения. Схема сходится почти $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-1}\ln N)$ при условии $N^{-1}\le \varepsilon^\nu$, где величина $\nu$ (дефект $\varepsilon$-равномерной сходимости), определяющая требуемое число итераций $K$ ($K=K(\nu)\sim\nu^{-1}$), может выбираться сколь угодно малой из полуинтервала $(0, 1]$. Для числа обусловленности разностной схемы выполняется оценка $\boldsymbol{\kappa}_P=O(\varepsilon^{-1/K}\ln^{1/K}\varepsilon^{-1}\delta^{-(K+1)/K})$, где $\delta$ – точность решения схемы в равномерной норме при отсутствии возмущений. При достаточно больших $K$ схема почти $\varepsilon$-равномерно сильно устойчива. Библ. 14.
Ключевые слова:
сингулярно возмущенная краевая задача, обыкновенное дифференциальное уравнение конвекции–диффузии, априорно адаптирующиеся сетки, локально-равномерные сетки, почти $\varepsilon$-равномерная сходимость, равномерная норма, сильная устойчивость разностной схемы, обусловленность разностной схемы.
Поступила в редакцию: 14.12.2011
Образец цитирования:
Г. И. Шишкин, “Сильная устойчивость схемы на локально-равномерных сетках для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции–диффузии”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:6 (2012), 1010–1041; Comput. Math. Math. Phys., 52:6 (2012), 895–925
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf9619 https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf/v52/i6/p1010
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 350 | PDF полного текста: | 75 | Список литературы: | 61 | Первая страница: | 21 |
|