Сильная устойчивость схемы на локально-равномерных сетках для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции–диффузии

Для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции–диффузии с малым параметром $\varepsilon$ ($\varepsilon\in(0,1]$) при старшей производной строится разностная схема на локально-равномерных сетках, сходящаяся в равномерной норме условно – в зависимости от соотношения между параметром $\varepsilon$ и величиной $N$, определяющей число узлов используемой сетки, в частности, сходящаяся почти $\varepsilon$-равномерно (точность такой схемы слабо зависит от параметра $\varepsilon$). Исследуются устойчивость схемы к возмущению данных и ее обусловленность. При построении схемы используются классические монотонные аппроксимации краевой задачи на априорно адаптирующихся сетках, являющихся равномерными на подобластях, где уточняется решение; границы таких подобластей определяются по мажоранте сингулярной компоненты сеточного решения.
Разностная схема на локально-равномерных сетках сходится со скоростью $O(\min[\varepsilon^{-1}N^{-K}\ln N,1]+N^{-1}\ln N)$, где величина $K$ – задаваемое число итераций для уточнения сеточного решения. Схема сходится почти $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-1}\ln N)$ при условии $N^{-1}\le \varepsilon^\nu$, где величина $\nu$ (дефект $\varepsilon$-равномерной сходимости), определяющая требуемое число итераций $K$ ($K=K(\nu)\sim\nu^{-1}$), может выбираться сколь угодно малой из полуинтервала $(0, 1]$. Для числа обусловленности разностной схемы выполняется оценка $\boldsymbol{\kappa}_P=O(\varepsilon^{-1/K}\ln^{1/K}\varepsilon^{-1}\delta^{-(K+1)/K})$, где $\delta$ – точность решения схемы в равномерной норме при отсутствии возмущений. При достаточно больших $K$ схема почти $\varepsilon$-равномерно сильно устойчива. Библ. 14.