Разностная схема повышенной точности на априорно адаптирующихся сетках для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции–диффузии

Для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции–диффузии с малым параметром $\varepsilon$ при старшей производной строится разностная схема повышенного порядка точности, сходящаяся почти $\varepsilon$-равномерно – скорость сходимости схемы слабо зависит от величины параметра $\varepsilon$; при не слишком малых значениях параметра схема сходится с порядком точности близким ко второму. При построении схемы используются монотонные классические (первого порядка точности) аппроксимации дифференциального уравнения на априорно адаптирующихся локально-равномерных сетках, являющихся равномерными на подобластях, где уточняется решение. Границы таких подобластей определяются по мажоранте сингулярной компоненты сеточного решения. Повышение точности разностной схемы достигается применением техники Ричардсона на основе двух вложенных сеток. Построенная схема сходится со скоростью $O((\varepsilon^{-1}N^{-K}\ln^2N)^2+N^{-2}\ln^4N+N^{-2}_0)$ при $N,N_0\to\infty$, где величины $N$ и $N_0$ определяют число узлов в сетках по $x$ и по $t$ соответственно, а $K$ – задаваемое число итераций для уточнения сеточного решения. Вне $\sigma$-окрестности боковой границы, около которой появляется пограничный слой, схема сходится $\varepsilon$-равномерно со вторым порядком по $t$ и со вторым порядком с точностью до логарифмического сомножителя по $x$; здесь $\sigma=O(N^{-(K-1)}\ln^2N)$. Почти $\varepsilon$-равномерно сходящаяся разностная схема сходится с дефектом $\varepsilon$-pавномерной сходимости $\nu$, а именно при условии $N^{-1}\ll\varepsilon^{\nu}$, где величина $\nu$, определяющая требуемое число итераций $K$ ($K=K(\nu)$), может выбираться достаточно малой из полуинтервала (0, 1]. При $\varepsilon^{-1}=O(N^{K-1})$ схема сходится со скоростью $O(N^{-2}\ln^4N+N^{-2}_0)$. Библ. 18.