Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенного параболического уравнения на составной области в случае сосредоточенного источника на движущейся границе раздела

В составной области (на оси $x$) с движущейся границей раздела подобластей рассматривается начальная задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии в случае сосредоточенного источника на границе раздела. Монотонные классические разностные схемы для задач такого класса сходятся лишь при $\varepsilon\gg N^{-1}+N_0^{-1}$, где $\varepsilon$ – возмущающий параметр, $N$ и $N_0$ определяют число узлов сетки по переменным $x$ (на единичном отрезке) и $t$. Исследуются схемы на адаптивных сетках, локально сгущающихся в окрестности множества $\gamma^*$ – траектории движущегося источника. Показано, что в классе классических разностных аппроксимаций задачи на прямоугольных сетках, локально сгущающихся по $x$ и $t$ априорно либо апостериорно, не существует схем, сходящихся $\varepsilon$-равномерно и, в частности, уже при условии $\varepsilon\approx N^{-2}+N_0^{-2}$, если общее число узлов локально сгущающейся сетки между сечениями $x_0$ и $x_0+1$ при произвольном $x_0\in\mathbb R$ порядка $NN_0$. Таким образом, непосредственное применение адаптивных сеток не позволяет существенно расширить область сходимости классических численных методов. Рассмотрение поперечников по Колмогорову ($d_P$, где $P=NN_0$) позволило установить условия, необходимые для $\varepsilon$-равномерной сходимости (при $P\to\infty$) оптимальных аппроксимаций решений начальных задач. Так, использование сгущающихся сеток, однако в локальной системе координат, адаптирующейся к множеству $\gamma^*$, позволяет строить схемы, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно при $N,N_0\to\infty$. Приводятся схемы, сходящиеся $2$-равномерно со скоростью $O(N^{-k}\ln^kN+N_0^{-1})$, $k=1,2$. Библ. 14.