О равномерной сходимости на неравномерной сетке классической разностной схемы для одномерного сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии

Рассматривается двухточечная краевая задача для линейного сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии. Для численного решения указанной задачи используется классическая трехточечная разностная схема на произвольной неравномерной сетке. Введена так называемая $W^h_{1,\infty;\varepsilon^2}$-норма с весом, образованная суммой негативной $W^h_{-1,\infty}$-нормы сеточной функции и $L^h_\infty$-нормы ее разностного отношения, умноженной на малый параметр $\varepsilon^2$. Установлена равномерная по малому параметру двухсторонняя априорная оценка этой нормы сеточного решения через $W^h_{-1,\infty}$ -норму правой части. Априорная оценка получена с использованием функции Грина сеточной задачи, надлежащие оценки которой в соответствующих анизотропных нормах также установлены. Показано, что на произвольной неравномерной сетке сеточное решение равномерно по $\varepsilon$ сходится в смысле $W^h_{1,\infty;\varepsilon^2}$-нормы со скоростью $O(\max\limits_i h_i)$. Если же неравномерная сетка сгущается в окрестностях пограничных слоев не хуже, чем сетка Бахвалова или сетка Шишкина, и достаточно произвольна в других отношениях, то решение $\varepsilon$-равномерно сходится в $L^h_\infty$-норме со скоростью $O(N^{-2})$ на сетке типа Бахвалова и $O(N^{-2}\ln^2N)$ на сетке типа Шишкина, где $N$ – число узлов сетки. Библ. 11. Табл. 4.