Об унимодальности простейшей гауссовой смеси

На основе принципа сжимающих отображений и классических теорем математического анализа получено несколько достаточных условий унимодальности смеси нормальных распределений с различными средними значениями $\mu_i$, $i=1,2,\dots,k$, $2\le k<\infty$, и с равными дисперсиями, взятых со своими априорными вероятностями $\pi_i\in(0,1)$. Если $f(x)$ – плотность вероятности этой смеси, то уравнение $f'_x(x)=0$ представимо в виде $x=\varphi(x)$, где $\varphi$ – непрерывный монотонно возрастающий оператор на всей числовой оси. Получены условия унимодальности смеси не только для $k=2$ при малых и больших значениях расстояния Махаланобиса $\rho_{21}$ ($\rho_{21}\le2$ и $\rho_{21}>2$), но и для $k\ge3$. Доказано, что верхняя граница $\rho^*$ тех значений $\rho_{k1}$, при которых смесь унимодальна, является возрастающей функцией параметра $k$. Библ. 17.