О размерности многообразия симметричных матриц с кратными собственными значениями

Согласно Вигнеру и фон Нейманну, размерность множества $\mathscr G$ вещественных симметричных $n\times n$-матриц, имеющих кратное собственное значение, равна $N-2$, где $N=n(n+1)/2$. При этом размерность определяется путем подсчета числа свободных параметров в спектральном разложении матрицы. Показано, что то же значение для размерности получится, если $\mathscr G$ рассматривать как алгебраическое многообразие. В доказательстве этого утверждения используется полученное Н. В. Илюшечкиным представление дискриминанта матрицы $A\in\mathscr G$ в виде суммы квадратов. Библ. 3.