Конечно-элементные реализации итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое, обеспечивающие 2-й порядок точности вплоть до оси симметрии

Ранее на основе билинейных конечных элементов в сферической системе координат были разработаны численные реализации методов с расщеплением граничных условий (ГУ) решения 1-й краевой задачи для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое при наличии осевой симметрии. Эти конечно-элементные (КЭ) реализации, обеспечивая 2-й порядок точности вне окрестностей оси симметрии, страдали потерей точности вплоть до оси симметрии (для давления даже до 1-го порядка). Недавно авторами были найдены новые, типа линейных, обладающие 2-м порядком точности вплоть до полюсов КЭ-аппроксимации оператора Лапласа–Бельтрами и угловых составляющих операторов градиента и дивергенции на сфере в $\mathbb R^3$ в осесимметричном случае, а также соответствующие КЭ-пространства. В данной работе на основе этих КЗ-аппроксимаций и пространств построены модификации указанных выше КЭ-реализаций методов с расщеплением ГУ для систем Стокса и типа Стокса. Для записи возникающих КЭ-схем на итерациях систематически используются одномерные трехдиагональные операторы по угловой и радиальной переменным, что позволяет увеличить скорость работы программ почти вдвое. Проведенные численные эксперименты обнаруживают 2-й порядок точности у модифицированных КЭ-реализаций методов по шагу сетки в норме максимума модуля уже по всему шаровому слою. Новый численный метод для системы Стокса обеспечивает высокую точность и для скорости, и для давления. В то же время построенные численные методы для систем типа Стокса в случаях, реально возникающих при дискретизациях по времени по неявной схеме начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса, при больших значениях сингулярного параметра и малых значениях шагов $\tau$ по времени приводят к непомерно большой потере точности для давления с сохранением достаточной точности для скорости. Показано, что достаточно высокая точность и для скорости, и для давления может быть обеспечена при выполнении условия вида $\tau\sim h$, где $h$ – характерный шаг пространственной сетки. Описан численный эксперимент, показывающий, каким образом можно довольно существенно повысить точность численных решений для таких реально возникающих систем типа Стокса. Библ. 22. Табл. 4.