Сходимость метода локальной коллокации для обыкновенных дифференциальных уравнений

Для обыкновенных дифференциальных уравнений предлагается строить разностную схему методом коллокации. Эта схема успешно применялась при решении задач гидродинамической устойчивости. На примере краевой задачи для уравнения второго порядка доказана сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной. Если коэффициенты и правая часть уравнения $q$ раз непрерывно дифференцируемы и $q$-я производная удовлетворяет условию Липшица с показателем $\alpha$, то скорость сходимости не меньше, чем $C(h/n)^{q+\alpha}$ при $n>q$, где $C=\operatorname{const}$, $h=\max h_i$, $h_i$ есть $i$-шаг сетки, $n+1$ – порядок полинома, с помощью которого представлено решение на $k$-м шаге.