Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в эллиптических задачах с разрывными коэффициентами

Предложен метод решения эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами на основе аппроксимации интеграла энергии и последующего построения разностной схемы посредством варьирования соответствующих функционалов. Показано, что решение исходной задачи может быть аппроксимировано с некоторой точностью элементом линейной оболочки, натянутой на базисные вектора, отражающие особенности решения: для элементов линейной оболочки на разрыве непрерывны как нормальная к границе составляющая потока, так и касательная составляющая градиента. Выражение для интеграла энергии является точным для элементов линейной оболочки и аппроксимирует с некоторой точностью интеграл энергии для произвольных решений. Разностные сетки могут быть как адаптированными к структуре среды, как в методе опорных операторов, так и неадаптированными, например, прямоугольными, как в методе осреднения. Доказана слабая сходимость алгоритмов. Обсуждается вопрос выбора объема, присоединенного к узлу сетки таким образом, чтобы обеспечить выполнение условий аппроксимации потоков на гранях этого объема. Показано, что в двумерных задачах возможно построение такого объема, и для таких задач доказана сильная сходимость. Библ. 9. Фиг. 3.