Метод асимптотических конструкций повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии

Рассматривается задача Дирихле на отрезке для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения конвекции-диффузии; старшая производная уравнения содержит параметр $\varepsilon$, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0, 1]. Для такого типа линейной задачи $\varepsilon$-равномерная скорость сходимости (по $x$ и $t$) хорошо известных схем не выше первого порядка (в равномерной норме). Для рассматриваемой краевой задачи строятся сеточные аппроксимации, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-2}\ln^2N+N_0^{-2})$, где $N+1$ и $N_0+1$ – число узлов сетки по $x$ и $t$ соответственно. По оси $x$ используются кусочно-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничном слое. В том случае, когда значения параметра малы по сравнению с эффективным шагом пространственной сетки, применяется метод декомпозиции области, мотивируемый “асимптотическими конструкциями”. Используются монотонные аппроксимации “вспомогательных” подзадач, описывающих главные члены асимптотического разложения решения вне окрестности погранслоя. В окрестности пограничного слоя (ширины $O(\varepsilon\ln N)$) первая производная по $x$ аппроксимируется центральной разностной производной. Указанные подзадачи решаются на подобластях последовательно, причем на равномерных сетках. Если же значения параметра не являются достаточно малыми (по сравнению с эффективным шагом сетки по $x$), применяются классические неявные разностные схемы с аппроксимацией первой производной по $x$ центральной разностной производной. Для улучшения точности по $t$ используется техника дефект-коррекции. Отметим, что вычисление решений построенной разностной схемы (схемы на основе метода “асимптотических конструкций”) существенно упрощается при достаточно малых значениях параметра $\varepsilon$. Библ. 27.