Исследование классического решения одномерной смешанной задачи для одного класса полулинейных уравнений длинных волн

Многие задачи математической физики сводятся к решению одномерных и многомерных начальных и начально-краевых задач для, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений типа Соболева. Данная работа посвящена изучению вопросов локальной и глобальной разрешимости в классическом смысле одномерной смешанной задачи с однородными граничными условиями типа Рикье для одного класса полулинейных уравнений длинных волн вида {\footnotesize
$$ U_{tt}(t, x)-U_{xx}(t, x)-\alpha U_{ttxx}(t, x)=F(t, x, U(t, x), U_x(t, x), U_{xx}(t, x), U_t(t, x), U_{tx}(t, x), U_{txx}(t, x)), $$
} где $\alpha>0$ — фиксированное число; $0\leq t\leq T$, $0\leq x\leq\pi$; $0<T<+\infty$; $F$ — заданная функция, а $U(t, x)$ — искомая функция. С помощью неравенства Гронуолла–Беллмана доказана теорема о единственности, комбинированием обобщенного принципа сжатых отображений с принципом Шаудера о неподвижной точке доказана теорема существования в малом и методом априорных оценок доказана теорема существования в целом классического решения рассматриваемой смешанной задачи. Библ. 11.