Условная $\varepsilon$-равномерная сходимость алгоритмов адаптации в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных задач

На отрезке $[-1, 1]$ рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения реакции-диффузии. Старшая производная входит в уравнение с малым параметром $\varepsilon^2$, $\varepsilon\in (0, 1]$. При стремлении малого параметра к нулю в окрестности концов отрезка возникают пограничные слои. Приводится алгоритм построения апостериорно адаптирующихся кусочно-равномерных сеток. Процесс адаптации состоит в уточнении расположения границы погранслоя и переизмельчении сетки в пограничных слоях. Для построения приближенного решения используется метод конечных элементов. Доказывается, что построенная последовательность сеток сходится "условно $\varepsilon$-равномерно" к некоторому предельному разбиению, на котором доказана оценка погрешности $O(N^{-2}\ln^3N)$. Основные результаты получены в предположении $\varepsilon\ll N^{-1}$, где $N$ — число узлов сетки, т.е. речь идет об условной $\varepsilon$-равномерной сходимости. В обоснованиях используется галеркинский проектор и его квазиоптимальность. Библ. 15. Табл. 1.