|
Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, том 49, номер 10, страницы 1827–1843
(Mi zvmmf4772)
|
|
|
|
Аппроксимация сингулярно возмущенных параболических уравнений в неограниченных областях при кусочно-гладких граничных условиях в случае решений, растущих на бесконечности
Г. И. Шишкин 620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН
Аннотация:
Рассматривается начально-краевая задача на неограниченной по $x$ области на прямой для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии; старшая производная уравнения содержит параметр $\varepsilon^2$, $\varepsilon\in(0,1]$. Правая часть уравнения и начальная функция при $x\to\infty$ неограниченно растут как $O(x^2)$, что приводит к неограниченному росту решения на бесконечности как $O(\Psi(x))$, где $\Psi(x)=x^2+1$. Начально-краевая функция является кусочно-гладкой. При малых значениях параметра $\varepsilon$ в окрестности боковой части границы и
в окрестности характеристик предельного уравнения, проходящих через точки негладкости начальной функции, возникают, соответственно, пограничный и внутренние слои. В этой задаче уже в случае гладких решений при фиксированных значениях параметра $\varepsilon$ ошибка сеточного решения в равномерной норме неограниченно растет при $x\to\infty$. В настоящей работе близость решений начально-краевой задачи и ее сеточных аппроксимаций рассматривается в весовой равномерной норме $\|\cdot\|^w$ с весовой функцией $\Psi^{-1}(x)$; в такой норме решение начально-краевой задачи $\varepsilon$-равномерно ограничено. С использованием метода специальных сеток, сгущающихся в окрестности пограничного слоя, либо в окрестностях пограничного и внутреннего слоев, строятся и исследуются специальные разностные схемы, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно в весовой норме. Показано, что скорость сходимости схем существенно зависит от типа негладкости в начально-краевых условиях. Рассмотрены также $\varepsilon$-равномерно сходящиеся в весовой норме сеточные аппроксимации задачи Коши, правая часть и начальная функция которой растут как $O(\Psi(x))$. Библ. 21.
Ключевые слова:
параболическое уравнение реакции-диффузии, неограниченная область, неограниченный рост решения на бесконечности, кусочно-гладкая начально-краевая функция, пограничный и внутренние слои, $\varepsilon$-равномерная сходимость, весовая равномерная норма, задача Коши.
Поступила в редакцию: 12.05.2009
Образец цитирования:
Г. И. Шишкин, “Аппроксимация сингулярно возмущенных параболических уравнений в неограниченных областях при кусочно-гладких граничных условиях в случае решений, растущих на бесконечности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 49:10 (2009), 1827–1843; Comput. Math. Math. Phys., 49:10 (2009), 1748–1764
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf4772 https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf/v49/i10/p1827
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 411 | PDF полного текста: | 97 | Список литературы: | 78 | Первая страница: | 5 |
|