Приближенное умножение тензорных матриц на основе индивидуальной фильтрации факторов

Предлагаются алгоритмы приближенного вычисления произведения матриц $\tilde{\mathbf C}\approx\mathbf C=\mathbf A\cdot\mathbf B$, где матрицы $\mathbf A$ и $\mathbf B$ заданы тензорным разложением в каноническом формате или в формате Таккера ранга $r$. Матрица $\mathbf C$ в виде полного массива не вычисляется. Вместо этого она представляется сначала аналогичным разложением с избыточным значением ранга, а затем переаппроксимируется (сжимается) с целью уменьшения ранга в рамках заданной точности. Известные алгоритмы переаппроксимации в данном случае требуют хранения массива из $r^{2d}$ элементов, где $d$ – размерность пространства. Из-за ограничений по памяти и быстродействию они неприменимы уже для типичных значений $d=3$ и $r\sim30$. В данной работе предлагаются методы, основанные на аппроксимации модовых факторов для $\mathbf C$ по индивидуально выбранным критериям точности. В качестве приложения рассматривается вычисление трехмерного потенциала Кулона. Показано, что предложенные методы эффективны, когда значение $r$ достигает нескольких сотен, а сложность операций по переаппроксимации (сжатию) $\mathbf C$ невелика по сравнению с предварительным вычислением факторов тензорного разложения $\mathbf C$ с избыточным значением ранга. Библ. 38. Табл. 4.