Асимптотические оценки функции Грина и “разностной ступеньки” в случае липшиц-непрерывных коэффициентов

Исследуется простейшее гиперболическое уравнение $u_t+\rho(x)u_x=0$, $\rho(x)$ предполагается липшиц-непрерывным. Получены асимптотические оценки функции Грина и “разностной ступеньки” для разностных схем максимального нечетного порядка точности $2k-1$, $k=O(\ln\tau^{-1})$, $\tau$ — шаг по времени. Накладывается естественное ограничение на отношение шагов сетки $\rho(x)\tau/h\leqslant1$. Основные асимптотические оценки получены с помощью метода перевала. Главная трудность состоит в том, что при $n\gg k^\omega$ под знаком интегралов стоят не степени одной функции, как в случае постоянных коэффициентов, а произведение существенно различных множителей. Используя липшиц-непрерывность, получаем оценки в $L_1$, близкие к оптимальным, совпадающие с оценками для случая постоянных коэффициентов.