Локальная сплайн-аппроксимация на равномерной сетке

Рассматривается аппроксимация функций и их производных локальными сплайнами произвольной степени дефекта 1 по значениям функции на равномерной сетке с шагом $\alpha$. Получены асимптотические формулы по степеням $\alpha$ для простейших сплайнов Шёнберга и их производных, а также точные оценки погрешности аппроксимации. Построены сплайны минимального шаблона произвольной степени $l$, приближающие $f^{(s)}$ ($s$ произвольно) с точностью $O(\alpha^{l+1})$. Для них получены асимптотические формулы. Построены также локальные сплайны произвольной степени, квазиинтерполирующие $f^{(s)}$ и получены асимптотические формулы для них, а также асимптотические формулы для интерполяционных сплайнов дефекта 1 произвольной степени. Результаты базируются на некоторых свойствах $B$-сплайнов, установленных в статье.