Вариционно-разностный метод решения задач бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны

Задача бесконечно малых изгибаний поверхности положительной кривизны по методу, предложенному И. И. Данилюком, сводится к решению краевой задачи для системы уравнений в частных производных первого порядка. Ей сопоставляется вариационная задача, которая решается разностным методом. Показывается, что в спектре разностной задачи число собственных значений порядка $O(h^2)$ ($h$ – шаг сетки) равно числу линейно-независимых решений однородной исходной задачи, остальные собственные значения больше некоторого числа $\sigma>0$, не зависящего от шага сетки; собственные функции разностной задачи, соответствующие $\lambda_h=O(h^2)$, близки с погрешностью $O(h)$ базису решений однородной исходной задачи. Показывается, что решение неоднородной разностной задачи стремится при $h\to 0$ к решению исходной, если она разрешима.