Approximation of the solution and its derivative for the singularly perturbed Black–Scholes equation with nonsmooth initial data

Аппроксимация решения и производной для сингулярно возмущенного уравнения Блэка–Шоулза с негладкими начальными данными. Ш. Ли, Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина. Задача для уравнения Блэка–Шоулза, возникающая в финансовой математике, преобразованием переменных $x$, $t$ приводится к задаче Коши для сингулярно возмущенного параболического уравнения в переменных с возмущающим параметром $\varepsilon$, $\varepsilon\in(0,1]$. Эта задача имеет такие особенности, как бесконечная область, ограниченная гладкость начальной функции (ее производная первого порядка по $x$ терпит разрыв I рода в точке $x=0$, переходный слой (движущийся во времени), порождаемый кусочно-гладкой начальной функцией при малых значениях параметра $\varepsilon$, и др. Рассматривается сеточная аппроксимация решения задачи и его первой производной на конечной области, содержащей переходный слой. На равномерной сетке с использованием метода аддитивного выделения особенности типа переходного слоя строится специальная разностная схема, аппроксимирующая $\varepsilon$-равномерно решение задачи и его первую производную по $x$ с порядками скорости сходимости, близкими к 1 и 0.5 соответственно. Эффективность построенной схемы иллюстрируется численными экспериментами. Библ. 6. Фиг. 1. Табл. 7.