О построении решений некоторых уравнений в частных производных

Изучаются дифференциальные уравнения вида
\begin{equation} \label{e1} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m a_{ij}P_{ij}(D_t)x^jD_x^iu(x,t)=0 \end{equation}
в областях $I\times[0,\infty)$, $I$ – некоторый интервал действительной оси. Выражения $P_{ij}(D_t)$ – дифференциальные полиномы с постоянными коэффициентами одного и того же порядка $l$ для всех $i,j$, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. Исследование производится с помощью методов операционного исчисления. Так как на поведение функций $u(x,t)$ при $t\to+\infty$ не накладывается никаких ограничений, то используется операционное исчисление, построенное Минусинским без всякой связи с преобразованием Лапласа [1].