Spectral discretizations of 3-d elliptic problems and fast domain decomposition methods

Спектральная дискретизация 3-мерных эллиптических задач и быстрые методы декомпозиции области. Важный для приложений класс $hp$-дискретизаций эллиптических уравнений 2-го порядка составляют дискретизации посредством спектральных конечных элементов. Получение для них быстрых алгоритмов метода декомпозиции области сдерживалось отсутствием быстрых солверов для основных компонент метода – локальных внутренних задач на подобластях декомпозиции и их гранях. Как было недавно установлено авторами, такие солверы могут быть получены посредством специальных факторизованных предобусловливателей. Факторизованные предобусловливатели строятся, в свою очередь, с использованием некоторой существенной аналогии между матрицами жесткости спектральных и иерархических базисных $hp$-элементов (координатные функции последних определяются как тензорные произведения интегрированных полиномов Лежандра). Эта аналогия позволяет получить для матриц спектральных элементов быстрые методы решения, которые схожи с быстрыми методами решения для матриц иерархических элементов. Опираясь на эти факты и предыдущие результаты по предобусловливанию других компонент, мы получаем быстрые алгоритмы решения методом декомпозиции области для дискретизаций спектральными элементами. Библ. 39.