Необходимые условия для $\varepsilon$-равномерной сходимости разностных схем для параболических уравнений с движущимися пограничными слоями

Рассматривается сеточная аппроксимация краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения типа реакции-диффузии в области с границами, движущимися в сторону положительного направления оси $x$. При малых значениях параметра $\varepsilon$ (параметра при старших производных уравнения: $\varepsilon\in(0,1]$) в окрестности левой боковой границы $S_1^L$ появляется движущийся пограничный слой. В случае стационарных пограничных слоев классические разностные схемы на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в слоях, сходятся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-1}\ln N+N_0)$, где величины $N$ и $N_0$ определяют число узлов сетки по $x$ и $t$. Для рассматриваемой задачи классические разностные схемы на основе равномерных сеток сходятся лишь при условии $N^{-1}+N_0^{-1}\ll\varepsilon$. Оказывается, что в классе разностных схем на основе прямоугольных сеток, сгущающихся по $x$ и $t$ в окрестности множества $S_1^L$, сходимость при условии $N^{-1}+N_0^{-1}\le\varepsilon^{1/2}$ недостижима. Рассмотрение поперечников, аналогичных поперечникам по Колмогорову, позволило установить необходимые и достаточные условия для $\varepsilon$-равномерной сходимости аппроксимаций решения краевой задачи. С использованием этих условий строится схема, сходящаяся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $O(N^{-1}\ln N+N_0)$. Библ. 18.